基于SVD/小波的MEMS陀螺誤差分析及降噪處理

楊菊花，張琳婧，陳光武，程鑒皓，劉 昊

(1.蘭州交通大學(xué) 交通運輸學(xué)院，蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 自動控制研究所 蘭州 730070；3.甘肅省高原交通信息工程及控制重點實驗室，蘭州 730070)

0 引 言

微機電系統(tǒng)(micro electro mechanical system，MEMS)系列傳感器因其低廉的成本和較高的使用性價比在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(簡稱慣導(dǎo))中應(yīng)用廣泛，但其劣勢是精度低，噪聲高，特別是MEMS系列的陀螺儀。MEMS陀螺儀輸出信號為典型的非平穩(wěn)序列，其降噪性能的好壞對保證慣導(dǎo)精度起著重要的作用。為了提高M(jìn)EMS陀螺的測量精度，常用的有時間序列分析和實時濾波方法。文獻(xiàn)[1]提出一種基于遺忘因子遞推最小二乘估計的時變自回歸滑動平均模型補償方法；文獻(xiàn)[2]在基于噪聲未知但分布有界的條件上引入一種具有遞推特性的定界橢球自適應(yīng)約束最小二乘法；文獻(xiàn)[3]提出一種基于支持向量回歸機的預(yù)測補償算法。文獻(xiàn)[4-5]使用了實時濾波技術(shù)，具體有卡爾曼濾波與小波變換，單純使用濾波技術(shù)總是有很多假定條件，而非平穩(wěn)序列明顯不包括在假定條件里。依據(jù)文獻(xiàn)[6]，陀螺噪聲功率譜密度值在低頻部分最顯著，若選擇低階濾波對低頻噪聲無能為力，若選擇高階濾波則引起相位延遲。既然不可以把陀螺隨機漂移視作可長期預(yù)測的隨時間而變的平穩(wěn)序列，也不可將它限定在頻域上的某一端，那么，文獻(xiàn)[2]中噪聲未知但有界的思想可以借鑒，從濾波的技術(shù)層面來考慮輸出時間序列的具體需求，摒棄建模的環(huán)節(jié)，正視信號的弱非線性，在時域與頻域中并行降噪，由此提出一種基于SVD/小波的MEMS陀螺信號降噪處理方法。

1 MEMS陀螺的誤差分析

實際使用中由于復(fù)雜多變的環(huán)境，根據(jù)MEMS陀螺解算的位置、姿態(tài)誤差會不斷累加，依據(jù)文獻(xiàn)[7]，確定性誤差和隨機性誤差是MEMS陀螺噪聲的主要來源，而補償誤差的方式有3種選擇：①設(shè)計電路或硬件結(jié)構(gòu)，實行硬件補償；②設(shè)計相關(guān)試驗估計相關(guān)系數(shù)，實行軟件補償；③進(jìn)行濾波矯正。前2種誤差補償?shù)姆绞结槍Υ_定性誤差，由于確定性誤差中安裝誤差與比例因子誤差為主要來源，而這2種誤差可由轉(zhuǎn)臺的校準(zhǔn)測試補償，但因為這種補償方式涉及不同轉(zhuǎn)臺的型號、性能和工作方式，所以先不考慮。第3種誤差補償方式針對隨機性誤差，這是目前研究的主要內(nèi)容。

MEMS陀螺屬于慣性器件，隨機誤差包括靜態(tài)條件下測試的隨機誤差、確定性誤差經(jīng)過補償后遺留下來的誤差和實際使用環(huán)境中運載體線運動和角運動、溫度、磁場、壓力等任意組合激勵出來的其余誤差[8-10]，描述MEMS陀螺器件精度性最常用的指標(biāo)是隨機漂移穩(wěn)定性。MEMS陀螺隨機漂移是一個存在線性趨勢項而緩慢變化的過程，在尺幅分解中，信號的低頻部分隨著層次的增加其含有的高頻信息會隨之減少，每增加一個分解層次，就會有更高頻率的信息被去除，所剩下的就是信號的發(fā)展趨勢，即表明陀螺輸出信號是以低頻為主的非平穩(wěn)信號。

陀螺隨機漂移作為一種非平穩(wěn)序列，在整個時間和頻率譜上是非均勻的，雖然貌似無規(guī)律可循，但此種序列在多個時間尺度上是存在自相似性的[11]，即擁有短期可預(yù)測的特性。小波變換降噪效果良好，但對微弱信號的去噪效果較差，存在諸如頻率重疊、閾值不穩(wěn)定以及分解和重構(gòu)算法錯誤等問題，在信號分量和噪聲分量的頻帶混疊比較嚴(yán)重時，小波降噪就有較大的局限[12]。微弱信號檢測是在噪聲下對微弱信號快速、準(zhǔn)確、高靈敏度的采集和處理，奇異值矢量能顯示矩陣的時頻信息，現(xiàn)有小波結(jié)合奇異值的做法大多用在圖像紋理分類與信號消噪上，有音頻[13]的處理，加速度計[14]的消噪，對心電信號[15]的濾波等。

2 MEMS陀螺的降噪處理

小波降噪是根據(jù)信號和噪聲的小波系數(shù)在不同尺度上具有不同性質(zhì)的機理，在小波域內(nèi)對含噪信號的小波系數(shù)進(jìn)行處理，由于小波窗口面積大小不變而形狀可變，因此，它在低頻帶中具有相對較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率。消噪過程如下。

1)選擇合適的小波分解層次，對實際信號進(jìn)行小波分解；

2)對小波分解后的高頻系數(shù)進(jìn)行處理；

3)重構(gòu)信號，得降噪后的真實信號。

該處理有3點優(yōu)勢：①低熵性。小波系數(shù)的稀疏分布，使變換后的熵降低；②多分辨性。采用多分辨率的方法，能夠非常好地刻畫信號的非平穩(wěn)性特征，比如斷點、邊緣、縫隙等；③選擇基底的靈活。小波變換可靈活選擇不同的小波基，降噪主要有小波包和閾值降噪法，相比較，閾值去噪使用方便，計算簡單，效果良好，成為廣泛使用的降噪方式。

2.1 小波框架

小波框架可以看作由一個母函數(shù)進(jìn)行平移和膨脹作用后得到的一系列函數(shù){φi,k}i∈I，設(shè)Sn為膨脹算子，Nn為平移算子，則φi,k=SnNnφ0,k。構(gòu)造出來的小波框架φ需要盡可能地產(chǎn)生多的接近于零的系數(shù)(f,φi,k)逼近選定信號，φ有2個特點：①系數(shù)冗余；②系數(shù)必須無窮小。為了更好地描述信號的局部特性，希望φ具有短支撐性和足夠的消失矩，短支撐性對應(yīng)高的時間分辨率，高消失矩則對應(yīng)構(gòu)造小波基的無窮小性質(zhì)。

對微弱信號的去除，其關(guān)鍵一步選取分解層數(shù)就不可如傳統(tǒng)般地依據(jù)大量實驗確定，不僅適應(yīng)性差、計算量大，且降噪后信號大多數(shù)處于過度扼殺和過度保留的結(jié)果?；诖?，設(shè)計了一種自適應(yīng)選取分解層數(shù)的方式，分解層數(shù)代表濾波的反復(fù)性，這種反復(fù)性的分寸則由高頻小波系數(shù)是否滿足白化噪聲來把握。

2.2 小波閾值

小波閾值降噪流程如圖1，特別選擇變換函數(shù)[16]g(x)對分解后小波系數(shù)進(jìn)行細(xì)節(jié)放大，表示為

(1)

將系數(shù)譜中間混淆區(qū)域的差別放大，兩端不易混淆的區(qū)域縮小，以便識別噪聲，最后依據(jù)閾值選擇分量進(jìn)行重構(gòu)。

所謂閾值去噪，主要工作就是對系數(shù)進(jìn)行選定規(guī)則下的一個萎縮，無論是傳統(tǒng)的閾值還是后續(xù)發(fā)展的模糊閾值，區(qū)別只在于選定規(guī)則的不同，實質(zhì)依舊是萎縮系數(shù)。選取閾值表達(dá)[17]為

(2)

(2)式中：j為分解尺度；σ為噪聲水平；γ為閾值常數(shù)；n為采樣個數(shù)；a，b，c為調(diào)節(jié)因子。

2.3 SVD/小波

奇異值分解(singular value decomposition，SVD)作為一種信號分析的有效工具，特別針對非線性、非平穩(wěn)的信號，可以將數(shù)據(jù)主導(dǎo)特征用少數(shù)分解系數(shù)集中體現(xiàn)出來，第1個優(yōu)勢，數(shù)量少；第2個優(yōu)勢，穩(wěn)定。在具體應(yīng)用中經(jīng)過正交變換將原矩陣化為一個對角元素為奇異值的對角矩陣，由于SVD的穩(wěn)定性和不變性[18]，序列通過SVD可分成2個不同的部分，一部分代表信號能量；另一部分代表噪聲能量。奇異值在低于選定閾值時與噪聲子空間相關(guān)，噪聲存在于整個時間上且相互無關(guān)，所對應(yīng)的奇異值小。信號的主要分量與大奇異值相對應(yīng)，數(shù)值越大，坐標(biāo)值在對應(yīng)坐標(biāo)軸上的離散程度越大，對應(yīng)的能量和所占比重也越大，該坐標(biāo)值反映的特征信息也越重要，基于此可以忽略較小奇異值所對應(yīng)的坐標(biāo)值。

SVD/小波算法的本質(zhì)就是精細(xì)化分塊后根據(jù)奇異值蘊含的權(quán)重信息得以構(gòu)建小波系數(shù)譜的重分配規(guī)則。對于一維測量信號，可生成二維Hankel矩陣來使用SVD。首先為克服固定小波分解層數(shù)對降噪效果的限制，設(shè)計自適應(yīng)算法確定小波最優(yōu)分解層數(shù)N，選擇依據(jù)為分解后的高頻系數(shù)是否滿足白化檢驗，滿足則確定最優(yōu)分解層數(shù)N；然后對信號進(jìn)行N層分解，得小波系數(shù)向量W；接著引入SVD算法，處理W生成Hankel矩陣Z，Hankel矩陣Z經(jīng)過SVD可得到一系列子矩陣的疊加，即得到時頻矢量ui和vi，矩陣包含的時頻信息也會被分解到由ui和vi構(gòu)成的時頻平面中；最后選取子空間提取小波系數(shù)進(jìn)行重分配，通過閾值(1)式重構(gòu)干凈信號。經(jīng)由SVD分解，每個子空間中的時頻信息都通過ui和vi來表達(dá)，所以包含周期沖擊、微弱分量的信號必然反映在子空間中的時間矢量和頻率矢量上。流程圖如圖2。

3 試 驗

針對陀螺降噪的算法驗證，設(shè)計試驗對比陀螺降噪前后的信號輸出，分為靜、動態(tài)2塊內(nèi)容。試驗環(huán)境中使用的雙軸電動轉(zhuǎn)臺如圖3，技術(shù)參數(shù)如表1，圖3中：標(biāo)1處為主軸；標(biāo)2處為俯仰軸；標(biāo)3處為該系統(tǒng)配備的MEMS器件的AHRS航姿參考系統(tǒng)。該款A(yù)HRS航姿參考系統(tǒng)由三軸MEMS陀螺、三軸MEMS加表、三軸磁強計構(gòu)成，是一款完整的9自由度全姿態(tài)測量傳感器的組合裝置，可實現(xiàn)三維空間任意位置和角度的姿態(tài)測量。

靜態(tài)試驗選取三軸轉(zhuǎn)臺內(nèi)置AHRS航姿參考系統(tǒng)的MEMS陀螺輸出的角速率進(jìn)行分析，其輸出頻率100 Hz，采集時長180 s，外部輸入量為零值，恒溫條件，此時陀螺的期望輸出值為零值，但實際值是在零值的上下范圍內(nèi)波動的，如圖4。由于轉(zhuǎn)臺的振動和周圍環(huán)境的干擾，實測時陀螺輸出會存在一些在短時刻內(nèi)大幅度跳躍的明顯異常值，如圖4中藍(lán)色圓點所示，所以在采集實際輸出值后需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，剔除掉不正常的跳躍值，預(yù)處理后信號信噪比為8.633 4。

表1 雙軸轉(zhuǎn)臺的技術(shù)參數(shù)

選擇dB3小波基對轉(zhuǎn)臺陀螺的零位噪聲進(jìn)行特征分析，如圖5，由于小波每次分解都保留高通部分的濾波結(jié)果，所以信號的高頻系數(shù)幅值隨著分解層次的增加逐漸地增大，圖5中的cd1，cd2，cd3分別為第1，2，3層小波分解后的高頻系數(shù)，在這里已經(jīng)體現(xiàn)了信號的細(xì)節(jié)特征。

MEMS慣性傳感器的興起和它性能的不斷提高，已經(jīng)是新一代INS的重要部件，并能滿足車載導(dǎo)航系統(tǒng)低成本和微型化的需要。慣性導(dǎo)航的優(yōu)勢是高更新率，三維空間位置和速度以及姿態(tài)和航向信息的輸出，根據(jù)這些信息就可以推導(dǎo)出載體的姿態(tài)，速度和位置。陀螺儀的輸出是影響慣導(dǎo)平臺解算的姿態(tài)精度的關(guān)鍵信息源。上述試驗終究只是在一種平穩(wěn)的試驗環(huán)境里，無法檢測該算法在動態(tài)環(huán)境中的性能，所以接著設(shè)計了動態(tài)試驗。

動態(tài)試驗使用雙軸電動轉(zhuǎn)臺，MEMS的AHRS航姿參考系統(tǒng)是固定在轉(zhuǎn)臺主軸上的，連接電源將主軸置水平位后預(yù)熱20 min，設(shè)定主軸和俯仰軸為10 °/s的恒定速率，其中，設(shè)主軸順時針方向轉(zhuǎn)動、俯仰軸逆時針方向轉(zhuǎn)動，數(shù)據(jù)處理以陀螺儀的X軸輸出信號為例，采集時長5 min，經(jīng)采樣與該文算法降噪處理后數(shù)據(jù)繪制如圖6。

從統(tǒng)計學(xué)角度分析算法性能需要使用重構(gòu)信號偏離原始信號的誤差來衡量信號質(zhì)量，常用的指標(biāo)有均方根誤差(root mean square error,RMSE)、信噪比(signal noise ratio,SNR)。動態(tài)驗證比起靜態(tài)較為復(fù)雜，所以采集了5組數(shù)據(jù)，分別是主軸和俯仰軸的恒定速率為10，15，20，25，30 °/s時的陀螺動態(tài)輸出(轉(zhuǎn)臺速率轉(zhuǎn)動為0～50 °/s)，并求出了5組數(shù)據(jù)降噪前后的信噪比與均方誤差，如表2。選取傳統(tǒng)小波閾值軟閾值法與該文算法進(jìn)行對比，小波閾值并沒辦法準(zhǔn)確分解出小信號分量，即使信號會經(jīng)過閾值化后重構(gòu)，也依舊受到較多噪聲干擾。頻率譜圖是在頻率的角度上對算法的性能進(jìn)行的分析，在統(tǒng)計意義下描述隨機信號，就需要估計它的功率譜密度。功率譜的主要特點在于描述時間序列的頻譜特性，是一種分析數(shù)據(jù)及表示數(shù)據(jù)特性的方法。該文對比了轉(zhuǎn)臺在10 °/s的速率下運動時陀螺降噪前后的信號，如圖7，表明SVD/小波降噪方法能克服細(xì)節(jié)信號中噪聲的干擾，降噪后的信號功率集中分布在低頻段，信號優(yōu)化效果良好。2種性能分析方法的數(shù)據(jù)對比，都驗證了動態(tài)試驗中該文算法的可行性。

表2 傳統(tǒng)小波軟閾值與該文算法的降噪性能比較Tab.2 Comparison of traditional wavelet soft threshold and noise reduction performance of the proposed algorithm

4 結(jié) 論

針對MEMS陀螺的隨機誤差，研究分析得其是一種非平穩(wěn)序列，單一的頻域和時域分析法雖可降低大部分噪聲，但不足以剔除較微弱的噪聲信號。陀螺隨機誤差呈現(xiàn)短期可預(yù)測的特性，而且隨著時間的增長其隨機漂移因蘊含較多細(xì)節(jié)特征呈現(xiàn)不可預(yù)測特性。

SVD/小波的降噪算法在頻域和時域上都有較好分析能力，將SVD引入小波變換消噪過程中，通過奇異值重新構(gòu)建小波系數(shù)的譜分配規(guī)則以選取子空間重構(gòu)來實現(xiàn)信號在小波域中的SVD濾波，可最大程度上保留有用信息，剔除微弱噪聲，相比較傳統(tǒng)小波軟閾值算法，SVD/小波在處理信號的細(xì)節(jié)部分上凸顯優(yōu)勢。