一個(gè)新三維混沌系統(tǒng)及其自適應(yīng)滑模同步控制

鮮永菊，扶坤榮，吳周青，徐昌彪

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065；2.重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院，重慶 400065)

0 引 言

混沌是確定與不確定、規(guī)則與非規(guī)則、有序與無(wú)序融為一體的現(xiàn)象，是非線性系統(tǒng)中所特有的一種運(yùn)動(dòng)形式，在電子信息工程、生物醫(yī)藥工程、動(dòng)力學(xué)工程等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用前景[1-4]。

自麻省理工大學(xué)氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個(gè)奇怪吸引子—Lorenz吸引子以來(lái)，人們經(jīng)過(guò)不斷的研究與探索，發(fā)現(xiàn)了許多新的混沌系統(tǒng)，如Chen,Lü,Bao等。大量研究工作表明，新型混沌系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)，能為研究混沌的應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)，因此，尋找新型的混沌系統(tǒng)具有重要的研究?jī)r(jià)值[5]。

具有共存吸引子的系統(tǒng)在工程中有更高的靈活性和可塑性，因此，共存吸引子在許多實(shí)際系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值[6]。在復(fù)雜性科學(xué)領(lǐng)域，共存吸引子的研究是一項(xiàng)非常有趣和富有挑戰(zhàn)性的工作。對(duì)于給定的系統(tǒng)參數(shù)，現(xiàn)有的混沌系統(tǒng)大多只有一個(gè)混沌吸引子，只有少數(shù)文獻(xiàn)提到具有多個(gè)共存吸引子的系統(tǒng)[7-10]。文獻(xiàn)[7]提出了一個(gè)無(wú)平衡存在部分重疊的共存混沌吸引子的三維自治連續(xù)混沌系統(tǒng)。文獻(xiàn)[8]提出了一個(gè)多吸引子共存的新三維自治連續(xù)Jerk系統(tǒng)，其中有周期與混沌、混沌與混沌吸引子共存。文獻(xiàn)[9]提出了一類含有周期函數(shù)的三維混沌系統(tǒng)，其具有無(wú)窮混沌吸引子共存。文獻(xiàn)[10-11]均提出了一個(gè)新的四維混沌系統(tǒng)，其中有周期與周期、周期與混沌、混沌與混沌吸引子共存。文中所提系統(tǒng)具有與上述文獻(xiàn)不同的和平共存復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為，具有多種類型的吸引子共存，不同吸引子形態(tài)如周期1、周期2、周期4、混沌吸引子均與一個(gè)周期1吸引子共存。

本文在Bao系統(tǒng)[12]的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)新的三維自治連續(xù)混沌系統(tǒng)，通過(guò)相圖、李亞普諾夫指數(shù)(lyapunov exponent, LE)譜和分岔圖對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，存在多種類型的吸引子共存。通過(guò)拓?fù)漶R蹄理論和數(shù)值計(jì)算，得到了系統(tǒng)的拓?fù)漶R蹄和拓?fù)潇?，進(jìn)一步證明了系統(tǒng)的混沌特性。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了Multisim模擬電路仿真和現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列(field-programmable gate array, FPGA)數(shù)字電路仿真實(shí)現(xiàn)，驗(yàn)證了系統(tǒng)的混沌特性和可實(shí)現(xiàn)性。另外，基于Lyapunov穩(wěn)定理論，設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)滑模同步控制器，仿真結(jié)果表明了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

1 系統(tǒng)的模型及其基本特性

1.1 系統(tǒng)模型

基于Bao系統(tǒng)，本文構(gòu)建了一個(gè)新的三維自治混沌系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型為

(1)

(1)式中，x，y，z，為系統(tǒng)變量，a=5，b=4，c=14。

根據(jù)系統(tǒng)(1)，可得

1.2 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

令系統(tǒng)方程(1)的左邊等于0，即

(2)

求解(2)式，可得系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為

S0=(0,0,0)

S1=(6.132,4.965,2.175)

S2=(6.132,-14.098,-6.175)

S3=(-9.132,11.977,-7.812)

S4=(-9.132,-5.845,3.812)

(3)

令det(λI-J)=0(I為單位矩陣)，得到其特征方程為

f(λ)=λ3+A1λ2+A2λ+A3=0

(4)

(4)式中，

A1=b+c-a

當(dāng)a=5，b=4，c=14時(shí)，其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性如表1。

表1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性Tab.1 Stability of equilibrium points

1.3 動(dòng)力學(xué)特性

取a=5，b=4，初始值為[1,1,1]，選擇c作為控制參數(shù)，時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.001，迭代時(shí)間從t=0到t=200。采用文獻(xiàn)[12]所提方法以及四Runge-Kutta算法，分別計(jì)算出系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，如圖2、圖3?？梢钥闯觯琇yapunov指數(shù)譜和分岔圖能較好地吻合，該系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為。

當(dāng)c從8向10增加時(shí)，系統(tǒng)(1)通向混沌的道路為倍周期分岔道路。當(dāng)c=8時(shí)，為周期1軌道；當(dāng)c=9.28時(shí)，為周期2軌道；當(dāng)c=9.6時(shí)，為周期4軌道；當(dāng)c=9.8時(shí)出現(xiàn)混沌吸引子，其LE分別為0.319 2，0.003 7和-9.122 9。

當(dāng)c從12.2向11.8減小時(shí)，系統(tǒng)(1)通向混沌的道路為倍周期分岔道路，表現(xiàn)為倒分岔。當(dāng)c=12.18時(shí)，為周期1軌道；當(dāng)c=12.08時(shí)，由周期1軌道變成了周期2軌道；當(dāng)c=12和c=11.8時(shí)出現(xiàn)混沌吸引子，其LE分別為0.306 4，0.002 5，-11.308 9和0.585 5，0.002 1，-11.387 6。

圖4a～圖4h分別給出了系統(tǒng)在上述參數(shù)下對(duì)應(yīng)初始值為[1,1,1]和[-1,-1,-1]的相圖，其中初始值為[-1,-1,-1]時(shí)均為周期1吸引子，而初始值為[1,1,1]時(shí)出現(xiàn)周期1、周期2、周期4和混沌吸引子，即周期吸引子與周期吸引子、周期吸引子與混沌吸引子共存的情況。

2 系統(tǒng)中的拓?fù)漶R蹄與拓?fù)潇?/h2>

令D是度量空間A的緊子集，f:D→A是一個(gè)滿足存在D的m個(gè)互不相交的連通子集D1,D2,…,Dm，且對(duì)于每個(gè)Di都有f|Di連續(xù)。

定義1[13]對(duì)于任意1≤i≤m，令D1i和D2i為Di的2個(gè)互不相交的緊子集，對(duì)于Di的一個(gè)連通子集，若h∩D1i≠?和h∩D2i≠?，則稱h連接D1i和D2i，表示為(D1i?D2i)。

σ(q)=(…,q-n+1,…,q0,q1,q2,…,qn+1,…)

取參數(shù)az=-0.3，初始條件為[2,2,2]。選取的Poincare截面為Π={(x,y,z)|z=0}，選擇相應(yīng)的龐加萊映射H：Π→Π如下：對(duì)每個(gè)(x,y,0)∈Π,H(x,y,0)是系統(tǒng)(1)在初始條件(x,y,0)的流下的第一回歸映射。使用HsTool工具箱中一個(gè)名為“A toolbox for finding horseshoes in 2D map”的Matlab GUI程序來(lái)尋找拓?fù)漶R蹄，尋找拓?fù)漶R蹄的詳細(xì)方法可參考文獻(xiàn)[15-16]。經(jīng)過(guò)多次嘗試，找到了一個(gè)拓?fù)漶R蹄如圖5，其馬蹄映射如圖6。

其中，D1的4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(6.908 921 933,13.331 018 519)
(7.507 434 944,12.729 166 667)
(8.704 460 967,13.655 092 593)
(8.210 037 175,14.141 203 704)

D2的4個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(9.328 996 283,14.743 055 556)
(9.797 397 770,14.256 944 444)
(9.276 951 673,13.909 722 222)
(8.704 460 967,14.303 240 741)

3 系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)

3.1 Multisim模擬仿真電路實(shí)現(xiàn)

采用線性電阻、電容、LM2924N型運(yùn)算放大器、MULTIPLIER模擬乘法器，其中乘法器的輸出增益為0.1，從而設(shè)計(jì)出了系統(tǒng)(1)的模擬電子電路，如圖7。

根據(jù)電路圖以及電路理論，可得電路方程為

(5)

(5)式中，R1～R20為電阻，C1～C3為電容。取電容C1=C2=C3=1 μF，電阻R3=R5=R13=100 kΩ。令R4=R8=R9=R10=R14=R15=1 kΩ，對(duì)比系統(tǒng)(1)中的系數(shù)，可得R1=R19=12 kΩ，R2=30 kΩ，R6=R20=14 kΩ，R7=10 kΩ，R11=20 kΩ，R12=R17=40 kΩ，R16=50 kΩ，R18=200 kΩ。圖8為示波器上觀察到的結(jié)果，可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果完全相符。

3.2 FPGA數(shù)字仿真電路實(shí)現(xiàn)

由于模擬器件的性能容易受到環(huán)境溫度、濕度以及器件老化的影響，故模擬電路實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)會(huì)嚴(yán)重影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，限制了模擬混沌電路在工程中的應(yīng)用。采用FPGA數(shù)字電路技術(shù)實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)可以很好地避免這些問(wèn)題，可以保證混沌吸引子的穩(wěn)定可靠，且FPGA以其強(qiáng)大的運(yùn)算能力而被采用。

由于該系統(tǒng)是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，F(xiàn)PGA無(wú)法直接處理。采用Euler算法將系統(tǒng)(1)離散化，得到的差分方程為

(6)

(6)式中，離散采樣時(shí)間步長(zhǎng)取ΔT=0.001，用定點(diǎn)小數(shù)與截位計(jì)算相結(jié)合的方式對(duì)離散化方程中的實(shí)數(shù)進(jìn)行處理，使其在FPGA中正確運(yùn)算。通過(guò)板級(jí)驗(yàn)證以及變量比例壓縮，通過(guò)Xilinx的FPGA開發(fā)軟件Vivado進(jìn)行設(shè)計(jì)，在FPGA開發(fā)板上實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)(1)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9，其與Multisim軟件仿真以及計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果一致。

4 系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂?/h2>

考慮如下受控系統(tǒng)

(7)

定義滑模函數(shù)

(8)

(8)式中，e=z-r為跟蹤誤差，r為理想位置信號(hào)，k>0。

設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器為

(9)

(10)

對(duì)參數(shù)估計(jì)誤差(10)求導(dǎo)得到

(11)

定義Lyapunov函數(shù)為

(12)

對(duì)V求導(dǎo)，將(9)—(10)式代入，得

b(xy+y2)-c(kz+xy-cz))-

(13)

參數(shù)更新定律如(14)式，則

(14)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，可知受控系統(tǒng)(7)的平衡狀態(tài)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)新的三維自治連續(xù)混沌系統(tǒng)，通過(guò)數(shù)值仿真研究了系統(tǒng)的基本特性，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在周期1與周期1、周期2、周期4和混沌吸引子共存的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，得到了系統(tǒng)的拓?fù)漶R蹄，其拓?fù)潇貫閑nt(f)=(1/6)log2，進(jìn)一步證明了該系統(tǒng)的混沌特性。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了模擬電路和數(shù)字電路的仿真實(shí)現(xiàn)，驗(yàn)證了系統(tǒng)的混沌特性和可實(shí)現(xiàn)性?；贚yapunov穩(wěn)定理論設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)滑模同步控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)給定信號(hào)的追蹤與未知參數(shù)的辨識(shí)，并且通過(guò)數(shù)值仿真證明了控制器的有效性。