“四能”及其培養(yǎng)

孔凡哲

教育學(xué)博士，中南民族大學(xué)教育學(xué)院副院長(zhǎng)、二級(jí)教授、博士生導(dǎo)師，中南民族大學(xué)教育碩士學(xué)位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國(guó)高考數(shù)學(xué)命題專家，國(guó)家義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組核心成員，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組成員，教育部中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)研制組成員、義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)專家、教育現(xiàn)代化縣級(jí)示范區(qū)評(píng)估專家、哲學(xué)社會(huì)科學(xué)重大重點(diǎn)項(xiàng)目評(píng)審專家;主持完成國(guó)家、省部級(jí)以上科研項(xiàng)目12項(xiàng);出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學(xué)?？茖W(xué)研究（人文社會(huì)科學(xué)）優(yōu)秀成果獎(jiǎng)著作獎(jiǎng)、教育部第四屆全國(guó)教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎(jiǎng)著作獎(jiǎng)、教育部第五屆全國(guó)教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎(jiǎng)著作獎(jiǎng)等獎(jiǎng)項(xiàng)。

發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的能力、分析和解決問題的能力，簡(jiǎn)稱“四能”，是一種復(fù)合的數(shù)學(xué)能力。培養(yǎng)“四能”是新版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的亮點(diǎn)之一。

在新版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，“四能”作為課程目標(biāo)的一部分被明確提出。新中國(guó)成立以來，我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對(duì)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的定位不斷演變發(fā)展，而數(shù)學(xué)能力始終是其中的重要內(nèi)容之一，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)。

1963年頒布的《全日制小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》首次明確將數(shù)學(xué)能力界定為“正確迅速地進(jìn)行計(jì)算的能力，初步的邏輯推理能力和空間觀念”“正確解答應(yīng)用題的能力”。1992年《九年義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》將能力界定為“具有進(jìn)行整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則計(jì)算的能力，培養(yǎng)初步的邏輯思維能力和空間觀念，能夠運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）將能力界定為“培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力”“發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想”以及“應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)”，在總目標(biāo)中明確“增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。新版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，將能力界定為“獲取數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力”“思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)”“應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力”“價(jià)值觀念、必備品格、關(guān)鍵能力”“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析”“交流能力”“從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”“自主學(xué)習(xí)的能力”。從“三大能力”（即計(jì)算能力、初步的邏輯推理能力、初步的空間觀念）到“六核”（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析），從“一能”（應(yīng)用能力）到“兩能”（分析問題和解決問題的能力）到“四能”（從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力），中國(guó)數(shù)學(xué)教育在繼承中發(fā)展，在發(fā)展中創(chuàng)新。

一、“四能”的內(nèi)涵及其關(guān)系

（一）含義

所謂“發(fā)現(xiàn)問題的能力”是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題探究中有困惑，或在顯而易見之中發(fā)現(xiàn)“問題”的能力。其核心是經(jīng)過多方面、多層次、多角度的數(shù)學(xué)思維，從看似無關(guān)的表面現(xiàn)象中找到空間形式或數(shù)量關(guān)系方面的某些矛盾或聯(lián)系。

所謂“提出數(shù)學(xué)問題”，就是把找到的矛盾或聯(lián)系以數(shù)學(xué)問題的形態(tài)，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，簡(jiǎn)稱“提出問題”。

發(fā)現(xiàn)問題與提出問題是一對(duì)相對(duì)獨(dú)立又彼此關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，即觀察分析數(shù)學(xué)情景，形成問題意識(shí)→對(duì)問題信息收集整理、分析加工→形成問題表征→選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題。其中，提出問題是把發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)容用某種數(shù)學(xué)語言形式表達(dá)出來，也可以說，提出問題是發(fā)現(xiàn)問題的進(jìn)一步升華。如果僅僅停留在發(fā)現(xiàn)問題，而尚未提出問題，認(rèn)識(shí)的層次和高度就會(huì)缺失。

特別地，這里的“發(fā)現(xiàn)問題”不同于“科學(xué)發(fā)現(xiàn)”?？茖W(xué)發(fā)現(xiàn)旨在對(duì)未知事物或規(guī)律的揭示，包括事實(shí)的發(fā)現(xiàn)和理論的提出，它是科學(xué)活動(dòng)的直接目標(biāo)和科學(xué)進(jìn)步的主要標(biāo)志。對(duì)中小學(xué)生而言，發(fā)現(xiàn)問題更多地指發(fā)現(xiàn)了不曾學(xué)習(xí)過的新方法、新觀點(diǎn)、新途徑，知道了以前不曾知道的新內(nèi)容。

學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)問題、提出數(shù)學(xué)問題，就構(gòu)成創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)造能力培養(yǎng)的重要內(nèi)容之一。

“分析與解決問題的能力”是指能理解問題的陳述材料，綜合應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容（包括數(shù)學(xué)知識(shí)技能、思想方法、觀念意識(shí)等）解決相應(yīng)問題的能力。這里的問題不僅包括數(shù)學(xué)問題，還包括相關(guān)學(xué)科中的問題、社會(huì)中的相關(guān)現(xiàn)實(shí)問題。

發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力、分析與解決問題的能力，其實(shí)是運(yùn)算能力、推理能力、直觀想象能力等多種數(shù)學(xué)基本能力的綜合體現(xiàn)。

（二）關(guān)系

愛因斯坦說：“提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要。”分析與解決問題涉及的是已知，而發(fā)現(xiàn)與提出問題涉及的是未知。和分析與解決問題相比，發(fā)現(xiàn)與提出問題更重要，難度也更高。在發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上提出問題，需要理論抽象與邏輯推理，需要精準(zhǔn)的概括，即在錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中能抓住問題的核心，進(jìn)行條理清晰的陳述，并給出解決問題的初步思路。提出問題的關(guān)鍵是能夠認(rèn)清問題、概括問題。提出好的問題，關(guān)鍵是要具備數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的能力。

發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的綜合能力，有時(shí)也稱作問題解決能力。

二、如何培養(yǎng)“四能”

（一）利用“問題解決”整體培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）將“問題解決”作為總目標(biāo)的一個(gè)方面，明確要求“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力，獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，學(xué)會(huì)與他人合作交流，初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)”。其核心是“培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力”，即問題解決能力。

新版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）都明確提出，“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。

無論是義務(wù)教育階段，還是高中階段，發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力培養(yǎng)，都需要整體規(guī)劃，體現(xiàn)在概念的生成、法則公式的形成和定理的確認(rèn)之中。

數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化作為貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)課程的重要活動(dòng)，滲透或安排在數(shù)學(xué)課程的每個(gè)內(nèi)容模塊或?qū)ｎ}中，既是與此能力培養(yǎng)的一個(gè)呼應(yīng)，又是希望強(qiáng)調(diào)如何引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。在教學(xué)中，我們可以按照不同的層次進(jìn)行。例如：可以改變結(jié)論的條件、結(jié)論，或是對(duì)結(jié)論推廣;可以在不同維度之間類比，或者從一維到多維的推廣;可以是帶著任務(wù)的實(shí)驗(yàn)操作，也可以是針對(duì)某個(gè)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模活動(dòng);等等。教材編寫、教案設(shè)計(jì)中必須關(guān)注問題的提出，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題留有空間。

特別地，問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)是培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力的有效途徑。

問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)實(shí)際上是將數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、經(jīng)驗(yàn)、思想、方法等新知的學(xué)習(xí)，融入一個(gè)有趣的問題解決的過程之中，通過“問題情境→建立模型→解釋應(yīng)用→拓展反思”的基本環(huán)節(jié)，誘發(fā)學(xué)生在有趣的、有個(gè)人意義的問題串之中，自覺地思考其中的問題，探索其“謎底”。隨著“謎底”的揭曉，新概念、公式、法則、原理、觀念、思維方法等新知自然“登場(chǎng)”，爾后在“解釋應(yīng)用”之中，新學(xué)習(xí)的內(nèi)容得到鞏固、強(qiáng)化?！巴卣狗此肌眲t將新舊內(nèi)容更好地融為一體。

（二）專項(xiàng)培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力，需要從質(zhì)疑意識(shí)、問題意識(shí)培養(yǎng)、創(chuàng)設(shè)良好氛圍與恰當(dāng)?shù)膯栴}情境等方面開展。

1.引導(dǎo)學(xué)生敢于質(zhì)疑，有理有據(jù)地質(zhì)疑

創(chuàng)新始于問題，問題往往產(chǎn)生于質(zhì)疑。質(zhì)疑是探索知識(shí)、發(fā)現(xiàn)問題的開始，是獲得真知的必要步驟。沒有質(zhì)疑就沒有創(chuàng)新，沒有反思就沒有提高。如，兩位數(shù)乘法的常規(guī)鞏固練習(xí)中，教師出示了“比一比，看誰算得快”系列習(xí)題：即12×11，13×23，15×38，45×11，22×63。這些練習(xí)僅僅是為了強(qiáng)化熟練技巧而已，有簡(jiǎn)單重復(fù)之嫌。如果將這些習(xí)題修改為12×11、13×11，45×11、11×62，11×67、11×78的形式，并提出“計(jì)算并觀察各式所得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律并嘗試驗(yàn)證你的猜測(cè)嗎？”的要求，這組練習(xí)題就變成了螺旋上升、呈梯度深化的精心安排。下面，我們針對(duì)這組題做具體分析。

從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)與提出問題：從12×11=132，13×11=143 中，學(xué)生似乎可以得出“乘積是三位數(shù)，百位都是1，十位數(shù)字是兩個(gè)因數(shù)數(shù)字之和”的猜測(cè)。

分析與解決問題：當(dāng)學(xué)生再分析45×11=495后，往往會(huì)修改自己的猜測(cè)。部分學(xué)生馬上得出“兩邊一拉，中間一加”的猜測(cè)，即“將因數(shù)45的兩位數(shù)字分開，中間放上這兩個(gè)數(shù)字之和9，得到的數(shù)字495就是乘積”。同時(shí)，學(xué)生還可以用11×62（或者自編題目，如11×27）驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn)，即先猜11×62是多少，即682，再用列豎式計(jì)算的方法驗(yàn)證自己的猜想。一旦嘗試計(jì)算11×67、11×78，部分學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，剛才的“規(guī)律”不總是成立，必須修改。經(jīng)過一番思考、討論，學(xué)生認(rèn)識(shí)到：一個(gè)數(shù)和11相乘，如果不是11的那個(gè)因數(shù)的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和大于10，需要向百位進(jìn)一，并把相加結(jié)果的個(gè)位數(shù)字寫在兩個(gè)因數(shù)之間，其他的規(guī)律不變。如，11×67，6、7數(shù)字之和為13，結(jié)果不是6135，而是737。

這種設(shè)計(jì)的真正意圖在于，在鞏固“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的“四能”。

2.培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)

所謂問題意識(shí)是指學(xué)生在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中意識(shí)到一些難以解決的問題，并產(chǎn)生一種懷疑、困惑、探究的心理狀態(tài)。這種狀態(tài)可以驅(qū)使學(xué)生積極思維，不斷提出問題和積極解決問題。

讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的存在，并有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，是發(fā)現(xiàn)與提出問題能力培養(yǎng)的非常重要的一個(gè)方面。教師應(yīng)當(dāng)整合學(xué)習(xí)過程中可利用的“質(zhì)疑點(diǎn)”，創(chuàng)設(shè)合適的學(xué)習(xí)時(shí)機(jī)，引導(dǎo)質(zhì)疑，鼓勵(lì)質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)。

3.設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，營(yíng)造良好的氛圍

數(shù)學(xué)研究從問題開始，而問題總是依托于某種數(shù)學(xué)情境，離開了數(shù)學(xué)情境，數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生就失去了肥沃的土壤。有效的數(shù)學(xué)情境能起到引趣、激疑、誘思的作用。

例如，某版本的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書上有一幅彩圖：一塊綠茵茵的草地中間有一條小河，河上有一座小橋，草地上零星地分散著幾棵小樹，還有一些小白兔正在吃草，小白兔是一對(duì)一對(duì)（兩只兩只）在一起的，一共有6對(duì)。這段情境設(shè)計(jì)的目的在于導(dǎo)入“6對(duì)小白兔蘊(yùn)含了乘法2×6”這一數(shù)學(xué)內(nèi)容，但是，如果教學(xué)處理僅僅停留在情境的襯托物（綠茵茵的草地、小橋、小樹、小河等吸引了學(xué)生的注意力，使得學(xué)生的注意力遲遲不能轉(zhuǎn)移到小白兔上）上，教師的引導(dǎo)不能盡快步入“2×6”的正題上來，對(duì)這段教學(xué)內(nèi)容的處理就是失敗的。其實(shí)，這個(gè)情境可以處理為：你能發(fā)現(xiàn)什么問題？你能提出幾個(gè)數(shù)學(xué)問題嗎？你能分析解決大家提出的數(shù)學(xué)問題嗎？

一般地，高質(zhì)量的數(shù)學(xué)問題情境滿足三個(gè)基本條件：首先，高質(zhì)量的問題情境與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，適宜充當(dāng)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)之間的接口和橋梁。其次，能成為學(xué)生運(yùn)用所學(xué)內(nèi)容做出創(chuàng)新與發(fā)現(xiàn)的載體。第三，幫助學(xué)生完成從現(xiàn)實(shí)內(nèi)容到數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象或從數(shù)學(xué)內(nèi)容到現(xiàn)實(shí)內(nèi)容的建模。

（三）定向培養(yǎng)分析與解決問題的能力

培養(yǎng)分析與解決問題的能力，一直是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)，需要融入義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程教學(xué)的每個(gè)階段。

解決問題的思維活動(dòng)開始于問題情境，在分析問題的已知與未知條件，明確問題的意義和目的狀態(tài)后，就進(jìn)入了轉(zhuǎn)換和尋求解決途徑的階段。所謂轉(zhuǎn)換，即變換問題，把問題變換為自己的語言和易于解決的形式，尋求問題解決的途徑并求得解答。它并不是簡(jiǎn)單利用已知信息，而是把各種信息進(jìn)行加工和改造，通過對(duì)解決問題的各種可能途徑的比較與篩選，確定出問題解決的方法并求得問題的解答。最后，還需要對(duì)解決問題的途徑和問題的解答進(jìn)行檢驗(yàn)、反思，這個(gè)過程正是分析與解決問題的過程。提升分析與解決問題的能力，必須從提升審題能力、合理選擇使用分析與解決問題的一些基本方法、提升數(shù)學(xué)建模能力、體驗(yàn)解決問題方法的多樣性等多方面綜合培養(yǎng)。

責(zé)任編輯 ?姜楚華