2020高考模擬試卷（五）

數(shù)學(xué)Ⅰ試題

一、填空題? ?（本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分）

1.? ?已知（1-i）z=1+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為__________.

2.? 已知集合A={1，-2}，B={a，a2}，若A∩B={1}，則實(shí)數(shù)a的值為__________.

3.? 已知某校高一、高二、高三年級(jí)分別有1000、800、600名學(xué)生，現(xiàn)計(jì)劃用分層抽樣方法在各年級(jí)共抽取120名學(xué)生去參加社會(huì)實(shí)踐，則在高一年級(jí)需抽取__________名學(xué)生.

4.? 從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中任意抽取兩名同學(xué)參加安全知識(shí)競賽，則同學(xué)甲被抽到且乙抽不到的概率為__________.

5.? 某程序框圖如右圖所示，當(dāng)輸入x=7時(shí)，輸出的y=__________.

6.? 已知雙曲線 x2 3 - y2 b2 =1的兩條漸近線與直線x= 3 圍成正三角形，則雙曲線的離心率為__________.

7.? 已知變量x，y滿足約束條件 x≥0，y≥0，x+y≤2， 則y-2x的最大值為__________.

8.? 已知α為銳角，且cos（α+ π 6 ）= 1 3 ，則sinα=__________.

9.? 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O為上底面中心.設(shè)正四棱柱ABCDA1B1C1D1與正四棱錐OA1B1C1D1的側(cè)面積分別為S1，S2，則 S2 S1 =__________.

10.? ?已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=2S3+1，2a4=2a3+3a2+2，則a1=__________.

11.? 已知圓C：x2+y2-4x-2y=0，過點(diǎn)P（6，0）的直線l與圓C在x軸上方交于A，B兩點(diǎn)，且PA=3PB，則直線l的斜率為__________.

12.? 若x>2，y>0，且 2 x + 1 y =1，則 1 x-2 + 1 y-1 最小值為__________.

13.? 已知△ABC中，AB=2，AC=1，平面ABC上一點(diǎn)D滿足BC ·AD =-3，則BC ·（BD +CD ）=__________.

14.? 已知f（x）=x3-3a2x-a，若存在x∈[-1，1]，使得f（x）≥0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為? ? ?.

二、解答題? ?（本大題共6小題，共計(jì)90分）

15.? ? ?（本小題滿分14分）

已知f（x）=4sinxsin2（ π 4 + x 2 ）+cos2x.

（1）求函數(shù)的最小正周期;

（2） 求函數(shù)g（x）=f（2x- π 6 ），x∈[0， π 2 ]的值域.

16.? ? ?（本小題滿分14分）? 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，面PAD⊥面ABCD，三角形PAD為正三角形.

（1）? 若E，F(xiàn)分別為PB，CD中點(diǎn)，證明：EF∥面PAD;

（2）若∠PAB=90°，證明：面PAD⊥面PAB.

17.? ? ?（本小題滿分14分）

過橢圓 x2 8 + y2 2 =1上一點(diǎn)P（-2，-1）作兩條直線l1，l2與橢圓另交于A，B點(diǎn)，設(shè)它們的斜率分別為k1，k2.

（1）若k1=1，k2=-1，求△PAB的面積S△PAB;

（2）若OA=OB，PA=PB，求直線AB的方程.

18.? ? ?（本小題滿分16分）

從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時(shí)間長達(dá)兩千多年的貨幣.如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個(gè)字“同治重寶”.某模具廠計(jì)劃仿制這樣的銅錢作為紀(jì)念品，其小圓內(nèi)部圖紙?jiān)O(shè)計(jì)如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔，四周是四個(gè)全等的小正方形（邊長比孔的邊長?。?，每個(gè)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在孔邊上，四個(gè)小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字.設(shè)∠OAB=θ，五個(gè)正方形的面積和為S.

（1） 求面積S關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式，并求tanθ的范圍;

（2）求面積S最小值.

19.? ? ?（本小題滿分16分）

若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，則稱函數(shù)y=f（x）圖象上存在一對“偶點(diǎn)”.

（1） 寫出函數(shù)f（x）=sinx圖象上一對“偶點(diǎn)”的坐標(biāo);（不需寫出過程）

（2）證明：函數(shù)g（x）=ln（x+2）-x+2圖象上有且只有一對“偶點(diǎn)”;

（3）若函數(shù)h（x）=ex-mx-2（m∈ R ）圖象上有且只有一對“偶點(diǎn)”，求m的取值范圍.

20.? ? ?（本小題滿分16分）

已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足：bn=an+2-an，cn=an+3an+1+2an+2.

（1） 若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且公差d1=b1=a1=a2=1，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn;

（2）若數(shù)列{bn}、{cn}均是等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}的公差d=3a1=6，c1=19，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）

21.? ? ?（本小題滿分10分）

已知x∈ R ，向量 α =? 11? 是矩陣 A =? 1 x0 2? 的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，求 A -1.

22.? ? ?（本小題滿分10分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.直線l的參數(shù)方程為 x=1+? 2? 2 t，y=? 2? 2 t （t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2 2 sin（θ+ π 4 ），求直線l被曲線C所截的弦長.

23.? ? ?（本小題滿分10分）

如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5， AA1=4，AD = 2 5 AB ，BC1與B1C交于點(diǎn)E.

（1） 求異面直線AC1與DB1所成角的余弦值;

（2）求二面角ADEA1的余弦值.

24.? ? ?（本小題滿分10分）

若排列a1，a2，…，an中存在ai使得ai-1>ai

（1）求f（3），f（4）;

（2）求f（n）.

參考答案

一、填空題

1.? 1

2.? -1

3.? 50

4.? ?1 3

5.? 5

6.? ?2 3? 3

7.? 2

8.? ?2 6 -1 6

9.? ? 10? 6

10.? 1

11.? - 8 15

12.? ?2

13.? -3

14.? （-∞，? 13 -1 6 ]∪[? 2? 2 ，+∞）

二、解答題

15.? ?解：（1）f（x）=4sinx 1-cos（ π 2 +x） 2 +cos2x

=2sinx（1+sinx）+1-2sin2x=2sinx+1，

所以函數(shù)y=f（x）的最小正周期為2π.

（2）g（x）=f（2x- π 6 ）=2sin（2x- π 6 ）+1，x∈[0， π 2 ]，

因?yàn)閤∈[0， π 2 ]，所以2x- π 6 ∈[- π 6 ， 5π 6 ]，

所以sin（2x- π 6 ）∈[- 1 2 ，1]，

所以函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)閇0，3].

16.? ?證明：（1）取PA的中點(diǎn)G，連接GD，GE.

在△PAB中，因?yàn)镋，G分別為PB，PA中點(diǎn)，

所以GE∥AB且GE= 1 2 AB，

因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以DC∥AB，

F為DC的中點(diǎn)，所以DF= 1 2 AB，

所以GE∥DF且GE=DF，

所以四邊形GEFD為平行四邊形，所以GD∥EF，

因?yàn)镋F平面PAD，GD平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

（2）取AD的中點(diǎn)H，連接PH.

因?yàn)閭?cè)面PAD為正三角形，所以PH⊥AD，

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，PH平面PAD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PH⊥平面ABCD，

因?yàn)锳B平面ABCD，所以PH⊥AB，

因?yàn)椤螾AB=90°，所以AB⊥AP，

因?yàn)镻H∩PA=P，PA，PH平面PAD，

所以AB⊥平面PAD，

因?yàn)锳B平面PAB，所以平面PAD⊥平面PAB.

17.? ?解：（1）因?yàn)閗1=1，k2=-1，

所以直線l1，l2方程分別為x-y+1=0，x+y+3=0，

由? x2 8 + y2 2 =1y=x+1 ，得：5x2+8x-4=0，

由此解得x= 2 5 ，所以y= 7 5 ，所以A（ 2 5 ， 7 5 ），

同理可得：B（- 14 5 ，- 1 5 ），

所以直線AB的方程為5x-10y+12=0，

所以S△PAB= 1 2 × （ 2 5 + 14 5 ）2+（ 7 5 + 1 5 ）2 × 12? 52+102? = 48 25 .

（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為H點(diǎn).

①當(dāng)直線AB過原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)O重合.

因?yàn)镻A=PB，所以PO⊥AB，

所以直線AB的方程為2x+y=0.

②當(dāng)直線AB不過原點(diǎn)時(shí).設(shè)H（x0，y0），

在△OAB中，因?yàn)镺A=OB，所以O(shè)H⊥AB，

在△PAB中，因?yàn)镻A=PB，所以PH⊥AB，

所以點(diǎn)P，H，O三點(diǎn)共線，

因?yàn)橹本€OP的斜率為 1 2 ，所以直線AB的斜率為-2，

設(shè)直線AB的方程為y=-2x+m（m≠0），

由? x2 8 + y2 2 =1y=-2x+m 得：17x2-16mx+4m2-8=0，

所以x0= 8m 17 ，y0= m 17 ，

所以直線OH斜率為 1 8 ，所以直線OP的斜率與直線OH斜率不相等，

點(diǎn)P，H，O三點(diǎn)不共線（與上面的結(jié)論矛盾）.

綜上：所求直線AB的方程為2x+y=0.

18.? ?解：（1）過點(diǎn)O分別作小正方形邊，大正方形邊的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，

因?yàn)閮?nèi)嵌一個(gè)大正方形孔的中心與同心圓圓心重合，

所以點(diǎn)E，F(xiàn)分別為小正方形和大正方形邊的中點(diǎn).

所以小正方形的邊長為（ 1 2 sinθ）×2=sinθ，

大正方形的邊長為

（ 1 2 cosθ-sinθ）×2=cosθ-2sinθ，

所以五個(gè)正方形的面積和為

S=4sin2θ+（cosθ-2sinθ）2

=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ，

因?yàn)樾≌叫芜呴L小于內(nèi)嵌一個(gè)大正方形的邊長，

所以sinθ

所以θ的取值范圍為（0，θ0），

tanθ0= 1 3 ，θ0∈（0， π 2 ）.

答：面積S關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式為

S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ，

θ的取值范圍為（0，θ0），tanθ0= 1 3 ，θ0∈（0， π 2 ）.

（2）法一：S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ

=8 1-cos2θ 2 + 1+cos2θ 2 -2sin2θ

= 9 2 -（2sin2θ+ 7 2 cos2θ）

= 9 2 -? 65? 2 sin（2θ+φ），

其中tanφ= 7 4 ，φ∈（0， π 2 ），

所以Smin= 9- 65? 2 ，此時(shí)sin（2θ+φ）=1，

因?yàn)棣取剩?，θ0），所以0<2θ+φ<2θ0+ π 2 < 3 2 π，

所以2θ+φ= π 2 ，

所以tan2θ=tan（ π 2 -φ）= 1 tanφ = 4 7 ，

2tanθ 1-tan2θ = 4 7 ，化簡得：2tan2θ+7tanθ-2=0，

由此解得：tanθ= -7± 65? 4 ，

因?yàn)?

答：面積S最小值為 9- 65? 2 .

法二：S=8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ

= 8sin2θ+cos2θ-4sinθcosθ sin2θ+cos2θ

= 8tan2θ-4tanθ+1 tan2θ+1 .

令t=tanθ，則S= 8t2-4t+1 t2+1 ，

設(shè)f（t）= 8t2-4t+1 t2+1 ，t∈（0， 1 3 ），

令f′（t）= 2（2t2+7t-2） （t2+1）2 =0，

得：t= -7+ 65? 4 < 1 3 ，

t （0， -7+ 65? 4 ）? -7+ 65? 4? （ -7+ 65? 4 ， 1 3 ）

f′（t） - 0 +

f（t） ↘ 極小值 ↗

所以t= -7+ 65? 4 時(shí)，面積S最小值為 9- 65? 2 .

答：面積S最小值為 9- 65? 2 .

19.? ?（1）函數(shù)f（x）=sinx圖象上一對“偶點(diǎn)”的坐標(biāo)為（π，0）（-π，0）.

（2）設(shè)Q（x）=g（x）-g（-x）

=ln（x+2）-ln（-x+2）-2x，

因?yàn)閥=Q（x）的定義域?yàn)椋?2，2），

且Q（-x）=-Q（x），

所以函數(shù)y=Q（x）為奇函數(shù)，

要證：函數(shù)g（x）=ln（x+2）-x+2圖象上有且只有一對“偶點(diǎn)”，

只需證：y=Q（x）在（0，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

令Q′（x）= 2（x2-2） 4-x2 =0，得x= 2 ，

所以，函數(shù)Q（x）在（0， 2 ）上為單調(diào)減函數(shù)，在（ 2 ，2）上為單調(diào)增函數(shù)，

Q（ 2 ）=ln（3+2 2 ）-2 2 <0，

Q（2- 1 e4 ）=ln（4- 1 e4 ）+ 2 e4 >0，

所以函數(shù)Q（x）在（ 2 ，2- 1 e4 ）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)g（x）=ln（x+2）-x+2圖象上有且只有一對“偶點(diǎn)”.

（3）設(shè)F（x）=h（x）-h（-x）=ex-e-x-2mx，

F（0）=0，

因?yàn)閥=F（x）的定義域?yàn)?R ，且F（-x）=-F（x），

所以函數(shù)y=F（x）為奇函數(shù).

因?yàn)楹瘮?shù)h（x）=ex-mx-2（m∈ R ）圖象上有且只有一對“偶點(diǎn)”，

所以函數(shù)y=F（x）在（0，+∞）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

F′（x）=ex+ 1 ex -2m，x∈（0，+∞）.

1°當(dāng)m≤1時(shí)，因?yàn)镕′（x）>2-2m≥0，

所以函數(shù)y=F（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，所以F（x）>F（0）=0，

所以函數(shù)F（x）在（0，+∞）無零點(diǎn).

2°當(dāng)m>1時(shí)，

由F′（x）=ex+ 1 ex -2m= e2x-2mex+1 ex =0，

得：x0=ln（m+ m2-1 ），

所以函數(shù)y=F（x）在（0，x0）上為單調(diào)減函數(shù)，在（x0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，

所以F（x0）

H′（x）= 1-x x ，所以函數(shù)H（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，在（1，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，

所以H（x）≤H（1）=-1<0，所以lnx

所以ln（m+ m2-1 ）

設(shè)m（x）=ex-x2-1（x>1），

設(shè)M（x）=m′（x）=ex-2x，

因?yàn)镸′（x）=ex-2>e-2>0，所以函數(shù)M（x）在（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，

所以M（x）>M（1）=e-2>0，所以函數(shù)m（x）在（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，

所以m（x）>m（1）=e-2>0，所以當(dāng)x>1時(shí)，ex>x2+1，

F（2m）=e2m- 1 e2m -4m2>e2m-1-4m2>0，

因?yàn)楹瘮?shù)y=F（x）在（x0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，

所以函數(shù)F（x）在（x0，2m）上有且僅有一個(gè)x1，使得F（x1）=0.

綜上：m的取值范圍為（1，+∞）.

20.? ?（1）因?yàn)閿?shù)列{bn}是等差數(shù)列，且公差d1=b1=1，bn=an+2-an，

所以an+2-an=n，

所以an+3-an+1=n+1，a3=2，c1=8，

因?yàn)閏n+1-cn=an+1+3an+2+2an+3-（an+3an+1+2an+2）

=2（an+3-an+1）+an+2-an=3n+2，

所以c2-c1=3×1+2

c3-c2=3×2+2

…

cn-cn-1=3×（n-1）+2，（n≥2）

上面n-1式子相加得：

cn-c1=3×（1+2+…+n-1）+2（n-1）

=3× n（n-1） 2 +2n-2，

所以cn= 3 2 n2+ 1 2 n+6（n≥2）.

當(dāng)n=1時(shí)也滿足上面{cn}的通項(xiàng).

綜上：數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn= 3 2 n2+ 1 2 n+6.

（2）因?yàn)閧cn}是等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}的公差d=19，

所以cn=an+3an+1+2an+2=6n+13①，

cn+1=an+1+3an+2+2an+3=6n+19②，

②-①得：2（an+3-an+1）+an+2-an=6，

即2bn+1+bn=6，

所以2b2+b1=6，2b3+b2=6，

因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，等差數(shù)列{bn}的公差為d′，

所以3b1+2d′=6，3b1+5d′=6，由此解得：b1=2，d′=0，

所以bn=2，滿足2bn+1+bn=6，即an+2-an=2.

因?yàn)閏1=a1+3a2+2a3=19，

所以2+3a2+2（2+2）=19，所以a2=3，

1°當(dāng)n=2k-1（k∈ N *）時(shí)，a2k-1=2+2（k-1）=2k，所以an=n+1.

2°當(dāng)n=2k（k∈ N *）時(shí)，a2k=3+2（k-1）=2k+1，所以an=n+1.

綜上：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n+1.

數(shù)學(xué)Ⅱ附加題

21.? ?解：因?yàn)橄蛄?α 是矩陣 A 的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，

所以? 1 x0 2? ? 11? =λ? 11? ，

得： 1+x=λ2=λ ，所以x=1，

若 A =? a bc d? ，且| A |≠0，

則 A -1=? ?d | A |? - b | A | - c | A |? ?a | A |? ?，

所以 A -1=? 1 - 1 2 0? 1 2? ?.

22.? ?因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為 x=1+? 2? 2 ty=? 2? 2 t ，

所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-1=0，

因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程是ρ=2 2 sin（θ+ π 4 ），所以ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，

因?yàn)閤=ρcosθ，y=ρsinθ，所以（x-1）2+（y-1）2=2，

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）2+（y-1）2=2.

曲線C的圓心到直線l的距離

d= |1-1-1|? 2? =? 2? 2 ，

所以直線l被曲線C截得弦長為

2 R2-d2 =2 2- 1 2? = 6 .

23.? ?（1）因?yàn)锳C=3，BC=4，AB=5，

所以AB2=AC2+BC2，所以AC⊥BC，

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA，CB，CC1分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則A（3，0，0），C1（0，0，4），B1（0，4，4），B（0，4，0），E（0，2，2），設(shè)D（x0，y0，z0），

因?yàn)锳D = 2 5 AB ，

所以（x0-3，y0，z0）= 2 5 （-3，4，0），

所以D（ 9 5 ， 8 5 ，0），

所以AC1 =（-3，0，4），DB1 =（- 9 5 ， 12 5 ，4）.

設(shè)異面直線AC1與DB1所成角為θ，θ∈（0， π 2 ]，

所以cosθ=|cos|

=| AC1 ·DB1? |AC1 |·|DB1 | |=|? 27 5 +16 5 （ 9 5 ）2+（ 12 5 ）2+16? |= 107 125 ，

所以異面直線AC1與DB1所成角的余弦值為 107 125 .

（2）設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為 n 1=（x1，y1，z1）， 平面A1DE的一個(gè)法向量為 n 2=（x2，y2，z2）.

AD =（- 6 5 ， 8 5 ，0），AE =（-3，2，2），

所以 - 6 5 x1+ 8 5 y1=0-3x1+2y1+2z1=0 ，

令y1=3，得：x1=4，z1=3，

所以 n 1=（4，3，3），同理可得： n 2=（2，4，1），

所以cos< n 1， n 2>=? n 1· n 2 | n 1|×| n 1| = 23? 34 × 21? = 23 714? 714 ，

由圖可知二面角ADEA1的平面角為銳角，

所以二面角ADEA1的余弦值為 23 714? 714 .

24.? ?解：（1）若將1，2，3排成滿足題意的排列，只需將1排中間即可，所以f（3）=2.

若將1，2，3，4排成滿足題意的排列，可分成兩類：

1）1排在首位或末位，此時(shí)2必須排在3、4之間，共有C12A22=4個(gè);

2）1不排在首位也不在末端，共有C12A33=12個(gè).

所以f（4）=16.

（2）一般地，

1）若1排在兩端，1必不為“極小值”，則余下n-1個(gè)數(shù)中必須有且只有一個(gè)“極小值”，此時(shí)滿足題意的排列共有C12f（n-1）個(gè);

2）若1排在第i（i=2，…，n-1）號(hào)位，1必為極小值，則余下n-1個(gè)數(shù)中不得再有“極小值”出現(xiàn)，從余下n-1個(gè)數(shù)中抽取i-1個(gè)數(shù)排在1的左側(cè)，這i-1個(gè)數(shù)中的最小數(shù)必須排在首位或緊靠1的左側(cè)，否則它即為極小值，矛盾.依次類推，這i-1個(gè)數(shù)共有Ci-1n-12i-2種排法.

故，此時(shí)滿足題意的排列共有Ci-1n-12i-2·2n-i-1=Ci-1n-12n-3個(gè)，

所以1不排在兩端的排列個(gè)數(shù)為∑ n-1 i=2 Ci-1n-12n-3=2n-3（2n-1-2）.

所以f（n）=2f（n-1）+22n-4-2n-2

=22f（n-2）+22n-4+22n-5-2n-2-2n-2

=…=2n-3f（3）+（22n-4+…+2n）-2n-2（n-3）

=2n-2（2n-1-n）.（n≥4），

特別地，當(dāng)n=3時(shí)，也適合.

所以f（n）=2n-2（2n-1-n）.

（作者：朱秋萍，江蘇省如皋市第二中學(xué)）