直擊高考數(shù)學(xué)填空題

我們知道，填空題是數(shù)學(xué)高考必考題型，尤其江蘇數(shù)學(xué)高考試題中填空題共14題，每小題5分，共計(jì)70分.填空題在整個(gè)試卷中占有相當(dāng)大的比重，填空題的得分不僅對整個(gè)試卷影響很大，而且對考生整個(gè)高考都起到非常重要的作用.

一、填空題的命題特點(diǎn)

填空題缺少選擇支的信息，故解答題的求解思路可以原封不動(dòng)地移植到填空題上.但填空題既不用說明理由，又無需書寫過程，因而解選擇題的有關(guān)策略、方法有時(shí)也適合于填空題.

填空題大多能在課本中找到原型和背景，故可以化歸為我們熟知的題目或基本題型.填空題不需過程，不設(shè)中間分，更易失分，因而在解答過程中應(yīng)力求準(zhǔn)確無誤.

填空題題小，跨度大，覆蓋面廣，形式靈活，可以有目的、和諧地結(jié)合一些問題，突出訓(xùn)練同學(xué)們準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活運(yùn)用知識的能力和基本運(yùn)算能力，突出以圖助算、列表分析、精算與估算相結(jié)合等計(jì)算能力.要想又快又準(zhǔn)地答好填空題，除直接推理計(jì)算外，還要講究一些解題策略，盡量避開常規(guī)解法.

二、填空題的解答原則

解答填空題時(shí)，由于不反映過程，只要求結(jié)果，故對正確性的要求比解答題更高、更嚴(yán)格，《考試說明》中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”.為此在解填空題時(shí)要做到：快——運(yùn)算要快，力戒小題大作;穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急;全——答案要全，力避殘缺不齊;活——解題要活，不要生搬硬套;細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意.

三、填空題的主要類型

1.定量填寫型

要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如：方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等等.由于填空題和選擇題相比，缺少選擇支的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn).

2.定性填寫型

要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對象或者填寫給定的數(shù)學(xué)對象的某種性質(zhì)，如：給定命題的真假命題的判斷，給定二次曲線的準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等.近幾年出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題.

四、填空題的方法

1.直接法

直接法就是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識，通過變形、推理、運(yùn)算等過程，直接得到結(jié)果.

例1? ?如果一個(gè)三角形的三邊長度是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)，且最大角是最小角的兩倍，則該三角形的最大角的余弦值是? ? ?;該三角形的周長是? ? ?.

解析：? 設(shè)三角形的三邊長分別是n-1，n，n+1（n≥2，n∈ N ），三個(gè)角分別是α，π-3α，2α.由正弦定理得， n-1 sinα = n+1 sin2α ，所以cosα= n+1 2（n-1） ，由余弦定理得，

（n-1）2=（n+1）2+n2-2×（n+1）×n× n+1 2（n-1） ，即n2-5n=5，n=5，n=0（舍去），

所以cosα= 3 4 ，cos2α=2cos2α-1= 1 8 ，三邊分別是4，5，6，周長為15.

點(diǎn)評： 這類填空題其實(shí)是個(gè)小型解答題，故一般仍采用解答題的方法求之.

2.特殊化法

當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果.

例2? ?已知定義在 R 上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）=m（m>0）在區(qū)間[-8，8]上有四個(gè)不同的根，x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=? ? ? .

解析：? 此題考查抽象函數(shù)的奇偶性，周期性，單調(diào)性和對稱軸方程，條件多，將各種特殊條件結(jié)合的最有效方法是把抽象函數(shù)具體化. 根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)取f（x）=sin π 4 x， 再根據(jù)圖象可得（x1+x2）+（x3+x4） =（-6）×2+2×2=-8.

點(diǎn)評： 特殊化法，就是將題中的某個(gè)條件“特殊化”，其目的是在“特殊化”的條件下快速算出結(jié)果，至于如何將條件“特殊化”，應(yīng)具體問題具體分析，便于計(jì)算即可.

3.賦值法

特殊值代入法，即賦值法，是解填空題的常用方法.填空題因其題目的特殊性，在有些問題中不要求有嚴(yán)密的推理證明，而只要能借助于一些特殊方法寫出正確結(jié)果即可，故其應(yīng)用相當(dāng)普遍.

例3? ?已知x，y∈ R ，都滿足f（x+y2）=f（x）+2f2（y），且f（1）≠0，則f（2019）=? ? ? .

解析：? 令x=y=0，則得f（0）=0;令x=0，y=1，則得f（1）= 1 2 ;令x=n，y=1，則得f（n+1）=f（n）+ 1 2 .∴f（n）= 1 2 n，∴f（2019）=1009.5.

點(diǎn)評： 賦值法在抽象函數(shù)問題和二項(xiàng)式定理問題十分有效.

4.構(gòu)造法

根據(jù)題目提供的信息，適當(dāng)有目的的去構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、方程或幾何圖形等使問題獲解.

例4? ?若a=ln 1 2017 - 1 2017 ，b=ln 1 2016 - 1 2016 ，c=ln 1 2015 - 1 2015 ，則a，b，c的大小關(guān)系為? ? ? .

解析：? （1）令f（x）=lnx-x（0

則f′（x）= 1 x -1，

∵00，∴f（x）為增函數(shù).

又 1 2017 < 1 2016 < 1 2015 ，∴a

點(diǎn)評： 構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，一般通過構(gòu)造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型將問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題.

5.等價(jià)轉(zhuǎn)化法

化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉，將問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果.

例5? ?（1）若不論k為何實(shí)數(shù)，直線y=kx+1與圓x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是? ? ? .

（2）實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，若u= x+y+2 x-y+2 ，則u的最大值為? ? ? .

解析：? （1）題設(shè)條件等價(jià)于直線上的定點(diǎn)（0，1）在圓內(nèi)或圓上，或等價(jià)于點(diǎn)（0，1）到圓心（a，0）的距離小于或等到于圓的半徑 2a+4 ，所以-1≤a≤3.

（2）u= x+y+2 x-y+2 變形為（u-1）x-（u+1）y+2u-2=0，又有x，y滿足x2+y2=1，所以圓x2+y2=1與直線（u-1）x-（u+1）y+2u-2=0必有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離小于等于半徑，即 2|u-1|? （u-1）2+（u+1）2? ≤1，解得u2-4u+1≤0所以最大值為2+ 3 .

點(diǎn)評： 在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常采用轉(zhuǎn)化的手段將問題向有利于解答的方面轉(zhuǎn)化，從而使問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、規(guī)范的、甚至模式的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題.

6.數(shù)形結(jié)合法

通過以數(shù)示形，以形示數(shù)，借助圖形的直觀性（函數(shù)圖象、幾何意義等）來求解.

例6? ?若不等式a+| x2-1 x |≥2|log2x|在x∈（ 1 2 ，2）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為? ? ? .

解析：? 不等式即為a≥-| x2-1 x |+2|log2x|，在x∈（ 1 2 ，2）上恒成立.而函數(shù)f（x）=-| x2-1 x |+2|log2x|=? x，? 1 2

點(diǎn)評： 本例采用參變量分離法，把不等式恒成立 為題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，而畫出函數(shù)圖象能使答案一望便知，但作圖必須力圖精確，否則也難保結(jié)果準(zhǔn)確.

五、特別提醒

解填空題的一般方法是直接法，除此以外，對于帶有一般性命題的填空題可采用特例法，和圖形、曲線等有關(guān)的命題可考慮數(shù)形結(jié)合法.解題時(shí)，常常需要幾種方法綜合使用，才能迅速得到正確的結(jié)果.

解填空題不要求求解過程，從而結(jié)論是判斷是否正確的唯一標(biāo)準(zhǔn)，因此解填空題時(shí)要注意如下幾個(gè)方面：

（1）要認(rèn)真審題，明確要求，思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密，計(jì)算有據(jù)、準(zhǔn)確;

（2）要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論;

（3）要重視對所求結(jié)果的檢驗(yàn).

專項(xiàng)訓(xùn)練

1.? ?已知集合A={1，2}，B={0，1}，則集合A∪B=? ? ? .

2.? 若復(fù)數(shù)z滿足zi=1+2i（i為虛數(shù)單位），則z· =? ? ? .

3.? 如圖是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸入的值x為8時(shí)，則其輸出的結(jié)果是? ? ? .

4.? 小明隨機(jī)播放A，B，C，D，E五首歌曲中的兩首，則A，B兩首歌曲至少有一首被播放的概率是? ? ?.

5.? 設(shè)雙曲線C： x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）的一條漸近線方程為y= 1 2 x，則雙曲線C的離心率為? ? ? .

6.? 已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5+a7-a26=0，則S11=? ? ? .

7.? 已知向量 a =（sinθ，cosθ-2sinθ）， b =（1，2），若 a ∥ b ，則 sinθ·cosθ 1+3cos2θ 的值為? ? ? .

8.? 在三棱錐PABC中，底面ABC是邊長為3的等邊三角形，PA⊥PC，PB⊥PC，PA=PB=2，則該三棱錐的體積為? ? ? .

9.? 已知函數(shù)f（x）=2cosx（x∈[0，π]）的圖象與函數(shù)g（x）=3tanx的圖象交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為? ? ? .

10.? ?已知圓C：（x-1）2+（y-4）2=10上存在兩點(diǎn)A，B，P為直線x=5上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AP⊥BP，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)取值范圍是? ? ? .

11.? 已知{an}是首項(xiàng)為2，公比為q（q>1）的等比數(shù)列，且{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若 Sn+2 也為等比數(shù)列，則q=? ? ? .

12.? 已知正方形ABCD的邊長為4，M是AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N在正方形ABCD的內(nèi)部或其邊界移動(dòng)，并且滿足MN ·AN =0，則NB ·NC 的最小值是? ? ? .

13.? 已知函數(shù)f（x）=ex（x-1），若關(guān)于x的不等式f2（x）-（2a+1）f（x）+a2+a≤0有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是? ? ? .

14.? 已知x，y>0，xy2（x+y）=9，則2x+y的最小值為? ? ? .

答案與解析

1.? ?答案：{0，1，2}.

解析：∵A={1，2}，B={0，1}，∴A∪B={0，1，2}.

2.? ?答案：5.

解法1：由zi=1+2i得z= 1+2i i =-（1+2i）i=2-i，則 =2+i，所以z· =（2+i）（2-i）=4+1=5.

解法2：由zi=1+2i得|zi|=|1+2i|，|z|= 5 ，z· =|z|2=5.

3.? ?答案：2.

解析：x=8>0，不滿足條件x≤0，則執(zhí)行循環(huán)體，依此類推，當(dāng)x=-1<0，滿足條件，退出循環(huán)體，從而求出最后的y值即可.解：x=8>0，執(zhí)行循環(huán)體，x=x-3=5-3=2>0，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，x=x-3=2-3=-1<0，滿足條件，退出循環(huán)體，故輸出y=0.5-1=（ 1 2 ）-1=2.

4.? ?答案： 7 10 .

解析：小明隨機(jī)播放A，B，C，D，E五首歌曲中的兩首，基本事件總數(shù)C25=10，A、B兩首歌曲都沒有被播放的概率為： C23 C25 = 3 10 ，故A，B兩首歌曲至少有一首被播放的概率是1- 3 10 = 7 10 .

5.? ?答案：? 5? 2 .

解法1：雙曲線C： x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）的一條漸近線方程為y=± b a x.

y= 1 2 x為其中一條漸近線，所以 b a = 1 2 .

又e2= c2 a2 = a2+b2 a2 =1+ b2 a2 =1+ 1 4 = 5 4 ，

所以e=? 5? 2 .

解法2：本題可以特殊化.雙曲線漸近線方程為y= 1 2 x，可設(shè)雙曲線方程為 x2 4 -y2=1，

a=2，c= 5 ，e=? 5? 2 .

6.? ?答案：22.

解析：正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，由a5+a7-a26=0得 2a6-a26=0，所以a6=2，a6=0（舍）.S11= a1+a11 2 ×11= 2a6 2 ×11=22.

7.? ?答案： 4 65 .

解析：由 a ∥ b 得2sinθ-（cosθ-2sinθ）=0，

即tanθ= 1 4 .

sinθ·cosθ 1+3cos2θ = sinθ·cosθ cos2θ+sin2θ+3cos2θ

= 1? 4 tanθ +tanθ = 1 16+ 1 4? = 4 65 .

8.? ?答案：? 35? 4 .

解析：由條件PA⊥PC，PB⊥PC且PA∩PB=P，所以PC⊥平面PAB.

在Rt△PBC中，PB=2，BC=3，得PC= 5 ，

在△PAB中，取AB的中D點(diǎn)，連接PD，則PD⊥AB，且BD= 3 2 .

所以PD= 22-（ 3 2 ）2 =? 7? 2 ，

V= 1 3 × 1 2 ×3×? 7? 2 × 5 =? 35? 4 .

9.? ?答案：? 3 π 2 .

解析：由2cosx=3tanx，可得2cos2x=3sinx，即2sin2x+3sinx-2=0，

解得sinx= 1 2 或sinx=-2（舍），由x∈[0，π].

所以可得x= π 6 或 5π 6 ，即A（ π 6 ， 3 ），B（ 5π 6 ，- 3 ），如圖.

根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得C（ π 2 ，0），

所以△OAB的面積等于 △OAC與△OBC的面積之和.

即S△OAB= 1 2 ·OC·|yA|+ 1 2 ·OC·|yB|

= 1 2 ·OC|yA-yB|= 1 2 × π 2 ×2 3 =? 3 π 2 .

10.? ?答案：[2，6].

解析：要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，顯然當(dāng)PA切圓C于點(diǎn)A，PB切圓C于點(diǎn)B時(shí)，∠APB最大，此時(shí)∠CPA最大為45°，則sin∠CPA≥? 2? 2 ，即 CA CP ≥? 2? 2 ，設(shè)點(diǎn)P（5，y0），則? 10? ?16+（y0-4）2? ≥? 2? 2 ，解得2≤y0≤6.

11.? ?答案：2.

解析：已知{an}是首項(xiàng)為2，公比為q（q>1）的等比數(shù)列.

所以Sn= a1（1-qn） 1-q = 2-2qn 1-q = -2qn 1-q + 2 1-q .

Sn+2= -2qn 1-q + 2 1-q +2

Sn+2 為等比數(shù)列，則{Sn+2}也為等比數(shù)列.所以 2 1-q +2=0，即q=2.

12.? ?答案：14-2 17 .

解析：如圖所示，由MN ·AN =0，則MN ⊥AN .

動(dòng)點(diǎn)N在以AM為直徑的半圓上，取BC的中點(diǎn)Q.

所以NB ·NC = 1 4 [（NB +NC ）2-（NB -NC ）2] = 1 4 [（2NQ ）2-（2QB ）2]

=NQ 2-BQ 2=NQ2-4，

又動(dòng)點(diǎn)N在以AM為直徑的半圓上，設(shè)圓心為O，半徑為1.

所以NQ的最小值為OQ-r= 42+1 -1= 17 -1.所以（NB ·NC ）min=14-2 17 .

13.? ?答案：[- 2 e -1，- 3 e2 -1）.

解析：由f2（x）-（2a+1）f（x）+a2+a≤0可知a≤f（x）≤a+1.

又f′（x）=exx，可得f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

f（0）=-1，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）<0，且f（1）=0，當(dāng)x>1時(shí).f（x）>0，

所以f（x）的圖象如圖所示，由于f（0）=-1.

而在y=a，y=a+1的距離為1.即在y=a，y=a+1之間有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解.所以f（-1）≤a+1

14.? ?答案：2 3 .

解析：令x=m，x+y=n，則已知得m>0，n>0，且mn（n-m）2=9.

mn（m-n）2=9（m-n）2= 9 mn （m+n）2=（m-n）2+4mn= 9 mn +4mn≥12，

當(dāng)且僅當(dāng)m= 3 -? 6? 2 ，n= 3 +? 6? 2 時(shí)等號成立，此時(shí)2x+y=m+n≥2 3 .

（作者：吳浩，江蘇省太倉市明德高級中學(xué)）