基于Min(N,D,V)-策略和單重休假的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)分布的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)解

王 敏, 唐應(yīng)輝

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 610068)

1 引言

根據(jù)實(shí)際背景和應(yīng)用的需要，在平衡顧客等待時(shí)間的同時(shí)也為了降低系統(tǒng)成本，從而增加系統(tǒng)的收入，學(xué)者們?cè)谘芯拷?jīng)典排隊(duì)系統(tǒng)的同時(shí)，提出并研究了許多休假排隊(duì)模型和有控制策略的排隊(duì)模型，取得了較豐碩的成果[1-23]，大大拓寬了早期排隊(duì)論的研究和應(yīng)用領(lǐng)域.經(jīng)典的休假策略有服務(wù)員的單重休假、服務(wù)員的多重休假和多級(jí)適應(yīng)性休假等，而經(jīng)典的控制策略有T-策略、D-策略和N-策略等.隨著研究的深入，一些把服務(wù)員休假與控制策略相結(jié)合的排隊(duì)模型也得到了學(xué)者們的關(guān)注，例如把N-控制策略與服務(wù)員單重(多重)休假相結(jié)合，就產(chǎn)生了N-策略單重休假排隊(duì)模型、N-策略多重休假排隊(duì)模型，以及具有休假中斷機(jī)制的Min(N,V)-策略休假排隊(duì)模型.從管理和成本的角度，當(dāng)生產(chǎn)和制造的環(huán)境發(fā)生較大改變時(shí)，系統(tǒng)想要轉(zhuǎn)換成另一種控制策略，但大多數(shù)情況下，由于成本的原因要拋棄現(xiàn)有的硬件系統(tǒng)設(shè)施是不可能的，于是學(xué)者們把N-策略和D-策略等結(jié)合起來(lái)就提出了二維混合控制策略的排隊(duì)模型，如Min(N,D)-控制策略的排隊(duì)系統(tǒng)模型[15]，并且在這些方面的推廣研究也取得了較好成果[10-21].

文獻(xiàn)[15]研究的具有Min(N,D)-控制策略的排隊(duì)系統(tǒng)模型，其主要模型特征是把N-策略與D-策略有機(jī)結(jié)合起來(lái)，不僅分析了系統(tǒng)的排隊(duì)性能指標(biāo)，而且在建立費(fèi)用結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，用數(shù)值計(jì)算例子討論了系統(tǒng)的二維最優(yōu)控制策略，并與單一的N-策略和D-策略進(jìn)行了比較分析，說(shuō)明了混合控制策略優(yōu)于單一的控制策略.本文在此基礎(chǔ)上，把服務(wù)員的休假機(jī)制引入其中，提出一種服務(wù)員可休假且在休假時(shí)間中根據(jù)Min(N,D,V)-控制策略可立即中斷休假的M/G/1 排隊(duì)模型，即具有Min(N,D,V)-控制策略和服務(wù)員單重休假的M/G/1 排隊(duì)模型：每當(dāng)系統(tǒng)變空時(shí)，服務(wù)員就去休假(或去做輔助性工作，以增加系統(tǒng)的收入).如果在假期中到達(dá)的顧客數(shù)達(dá)到N個(gè)或者到達(dá)的顧客數(shù)所需服務(wù)時(shí)間總量超過(guò)D(D ≥0)，服務(wù)員馬上結(jié)束休假并開始為顧客服務(wù).這種假期中斷機(jī)制對(duì)于控制系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)是有益的，而且可以克服系統(tǒng)頻繁轉(zhuǎn)換所帶來(lái)的費(fèi)用問(wèn)題，對(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化具有重要意義.本文應(yīng)用更新過(guò)程理論和全概率分解知識(shí)，借用拉普拉斯變換工具，分析了在任意初始狀態(tài)條件下系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的瞬態(tài)分布和穩(wěn)態(tài)分布特征，得到了隊(duì)長(zhǎng)瞬態(tài)分布解的拉普拉斯變換表達(dá)式和方便計(jì)算穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布數(shù)值解的遞推表達(dá)式，從而進(jìn)一步給出了穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)的隨機(jī)分解結(jié)果和附加隊(duì)長(zhǎng)分布解的顯示表達(dá)式，使我們更清楚地了解到該排隊(duì)模型的結(jié)構(gòu).

本文研究服務(wù)員具有單重休假，而且在休假中根據(jù)Min(N,D,V)-策略可中斷休假的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)，其模型刻畫如下：

1)M/G/1 型排隊(duì)模型[23]：相鄰兩個(gè)顧客之間的到達(dá)是相互獨(dú)立的，其每個(gè)間隔時(shí)間τ有分布F(t)=1-e-λt，每個(gè)顧客的服務(wù)是相互獨(dú)立的，其每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間χ有任意分布G(t)，且設(shè)平均服務(wù)時(shí)間為1/μ(0＜μ＜∞)；

2) 服務(wù)員采取單重休假機(jī)制和系統(tǒng)采取Min(N,D,V)-控制策略：每當(dāng)系統(tǒng)變空時(shí)，服務(wù)員馬上開始一次隨機(jī)時(shí)間長(zhǎng)度V的休假，且休假時(shí)間V服從任意分布V(t).但是，服務(wù)員在休假時(shí)間中根據(jù)Min(N,D,V)-控制策略可立即中斷休假，即在服務(wù)員的休假期間，如果系統(tǒng)中到達(dá)的顧客數(shù)達(dá)到了N個(gè)(N ≥1，事先設(shè)定的正整數(shù)閾值)，或者到達(dá)系統(tǒng)等待服務(wù)的顧客所需服務(wù)時(shí)間總量不小于D(D ≥0，事先設(shè)定的實(shí)數(shù)閾值)，無(wú)論哪一個(gè)先發(fā)生，處于休假期的服務(wù)員立即結(jié)束休假回到系統(tǒng)中為顧客服務(wù)(在這種情況下，服務(wù)員的實(shí)際休假時(shí)間長(zhǎng)度達(dá)不到約定的休假時(shí)間長(zhǎng)度V)；如果在服務(wù)員的休假期間系統(tǒng)中有顧客到達(dá)，但到達(dá)數(shù)沒(méi)有達(dá)到N個(gè)，且到達(dá)系統(tǒng)等待服務(wù)的顧客所需服務(wù)時(shí)間總量也小于D，則等到此次休假結(jié)束后服務(wù)員再回到系統(tǒng)中，且立即為在現(xiàn)場(chǎng)的顧客服務(wù)；如果服務(wù)員此次休假結(jié)束時(shí)系統(tǒng)中仍沒(méi)有顧客，則服務(wù)員留在系統(tǒng)中直到有顧客到達(dá)并立即服務(wù)；

3) 隨機(jī)變量τ、χ和V是相互獨(dú)立的，而且假設(shè)在t= 0 時(shí)刻，如果系統(tǒng)是空的，則不采取該休假機(jī)制和控制策略，服務(wù)員留在系統(tǒng)中等待顧客到達(dá)后立即對(duì)其進(jìn)行服務(wù)(這樣的假設(shè)更符合實(shí)際情況，但穩(wěn)態(tài)結(jié)果與此假設(shè)無(wú)關(guān)).

2 一些符號(hào)的說(shuō)明和準(zhǔn)備

一些符號(hào)說(shuō)明：N(t)表示系統(tǒng)在任意時(shí)刻t的隊(duì)長(zhǎng)，即時(shí)刻t在系統(tǒng)中的顧客數(shù)；

分別表示相應(yīng)的G(t)關(guān)于t的拉普拉斯(L)變換和拉普拉斯-斯蒂爾切斯(LS)變換；G(k)(t)表示G(t)的k(≥1)重卷積，即

且

引入如下概念：

1) 系統(tǒng)閑期：系統(tǒng)連續(xù)保持空閑(無(wú)顧客)的一段時(shí)間.如果我們用表示系統(tǒng)第j個(gè)系統(tǒng)閑期的長(zhǎng)度，則由到達(dá)過(guò)程為參數(shù)λ(λ ＞0)的泊松過(guò)程知其分布為P{≤t}=F(t)=1-e-λt,t ≥0,j ≥1；

2) 系統(tǒng)忙期：從第一個(gè)顧客到達(dá)空閑的系統(tǒng)起，直到系統(tǒng)再次變空為止的這段時(shí)間；

3) 服務(wù)員非忙期：從系統(tǒng)剛變空的時(shí)刻起，直到服務(wù)員休假結(jié)束回到系統(tǒng)而且開始為顧客服務(wù)的時(shí)刻為止的這段時(shí)間；

4) 服務(wù)員忙期：從服務(wù)員開始為顧客服務(wù)的時(shí)刻起，直到系統(tǒng)再次變空為止的這一段時(shí)間.

令b表示標(biāo)準(zhǔn)的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)中從一個(gè)顧客開始的服務(wù)員忙期(從服務(wù)員開始為顧客服務(wù)的時(shí)刻起，直到系統(tǒng)再次變空為止的這一段時(shí)間)，對(duì)t ≥0,?(s)＞0，令

則有如下引理.

引理1[23]對(duì)?(s)＞0,b(s)是方程z=g(s+λ-λz)在|z|＜1 內(nèi)的唯一根，且

其中ω(0＜ω ＜1)是方程z=g(λ-λz)在(0,1)內(nèi)的根，表示系統(tǒng)的交通強(qiáng)度，?(s)表示復(fù)變量s的實(shí)部.

又令Qj(t) =P{b ＞t ≥0;N(t) =j}表示在服務(wù)員忙期b中隊(duì)長(zhǎng)為j(j ≥1)的瞬態(tài)概率，并且t= 0 時(shí)，只有一個(gè)顧客，服務(wù)員忙期b剛開始，即Q1(0) = 1,Qj(0) =0,j ＞1.

引理2[23]令

為Qj(t)的拉普拉斯變換，對(duì)?(s)＞0，有

其中當(dāng)j ＜0 時(shí)，有且求和

3 系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)分布的瞬態(tài)解

令pij(t) =P{N(t) =j|N(0) =i}表示初始時(shí)刻有i個(gè)顧客的條件下，時(shí)刻t隊(duì)長(zhǎng)為j的瞬態(tài)概率，

定理1對(duì)?(s)＞0，有

其中

當(dāng)求和的上標(biāo)小于下標(biāo)，即k ＜i時(shí)，求和下同.

上第(3)式的第三項(xiàng)為

對(duì)(3)-(5)式作L 變換，有

在N(0) = 0 初始條件下，根據(jù)模型假設(shè)中第3)條：在初始時(shí)刻系統(tǒng)中無(wú)顧客時(shí)服務(wù)員不休假，系統(tǒng)也不采取Min(N,D)-控制策略，所以

對(duì)(7)式作L 變換得到

在(6)式中，取i=1，結(jié)合(8)式可得

注1當(dāng)N=1 或D=0 時(shí)，本文研究的排隊(duì)系統(tǒng)等價(jià)于文獻(xiàn)[23]討論的服務(wù)員無(wú)休假的經(jīng)典M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)，所以下面對(duì)N=1 或D=0 的情況不再討論.

定理2當(dāng)N ≥2 且D ＞0 時(shí)，對(duì)?(s)＞0，有：

1) 當(dāng)j=1,2,···,N-1 時(shí)

2) 當(dāng)j ≥N時(shí)

其中

證明 當(dāng)j=1,2,···,N-1 時(shí)，因?yàn)椤霸跁r(shí)刻t隊(duì)長(zhǎng)為j”可分為如下兩種情形.

情形1“時(shí)刻t落在服務(wù)員假期中且隊(duì)長(zhǎng)為j”.

情形2“時(shí)刻t落在服務(wù)員忙期中且隊(duì)長(zhǎng)為j”.

所以，當(dāng)i ≥1，類似定理1 的分解，得

其中

(15)式的第二項(xiàng)為

把(16)式代入(15)式作L 變換，可得

同理可得

對(duì)(18)式作L 變換得到

當(dāng)j ≥N時(shí)，在時(shí)刻t隊(duì)長(zhǎng)為j當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)刻t落在服務(wù)員忙期中且隊(duì)長(zhǎng)為j，于是當(dāng)i ≥1 時(shí)，使用全概率分解技術(shù)，同理可得

余下的推證過(guò)程完全仿照j=1,2,···,N-1 時(shí)的推導(dǎo)過(guò)程.

4 系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)分布的穩(wěn)態(tài)解及穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)

定理3令j=0,1,2,···，則：

此時(shí){pj,j=0,1,2,···}構(gòu)成概率分布，其中

證明 由

而

當(dāng)j=0 時(shí)，有

1) 當(dāng)ρ ＞1 或ρ=1 時(shí)，有

且E(b)=∞，而

于是使用洛必達(dá)法則，可得

對(duì)于j ≥1，結(jié)合(11)-(14)式，使用洛必達(dá)法則，完全仿照p0的推導(dǎo)過(guò)程可得.

由于

經(jīng)計(jì)算可得

將(33)-(35)式代入(32)式，整理即可證明.

定理4(穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)) 令P(z)表示該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布的概率母函數(shù)，當(dāng)ρ ＜1 時(shí)，有

且平均隊(duì)長(zhǎng)為

于是

定理5本文研究的基于Min(N,D,V)-策略和單重休假的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)可分解成獨(dú)立的兩部分之和：一部分是文獻(xiàn)[23]中的經(jīng)典M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)，另一部分是由服務(wù)員單重休假機(jī)制和Min(N,D)-策略引起的附加隊(duì)長(zhǎng)Ld，且附加隊(duì)長(zhǎng)有如下離散分布

證明 由上面(37)式可知本文研究的排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)可分解為獨(dú)立的兩部分之和.下面求附加隊(duì)長(zhǎng)Ld的離散分布.令

其中

然后利用

經(jīng)過(guò)計(jì)算整理可得，這里H(m)(z)表示H(z)關(guān)于z求m(m= 1,2,···,N- 1)階導(dǎo)數(shù)，H(0)(z)=H(z).

5 一些特殊情形

推論1當(dāng)P{V=T} = 1 時(shí)，即服務(wù)員事先約定的休假時(shí)間是一個(gè)固定時(shí)間長(zhǎng)度T(T ＞0).對(duì)ρ ＜1，有

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布的概率母函數(shù)為

平均隊(duì)長(zhǎng)為

其中

推論2當(dāng)N →∞時(shí)，本文研究的排隊(duì)系統(tǒng)是在D-策略控制下服務(wù)員單重休假且休假可中斷的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng).對(duì)ρ ＜1 時(shí)，有

母函數(shù)為

平均隊(duì)長(zhǎng)為

其中

推論3當(dāng)N →∞,P{V=T}=1 時(shí)，本文研究的排隊(duì)系統(tǒng)是在D-策略控制下服務(wù)員具有固定單重休假時(shí)間T且休假可中斷的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng).對(duì)ρ ＜1 時(shí)，有

母函數(shù)為

平均隊(duì)長(zhǎng)為

其中

推論4當(dāng)D →∞時(shí)，本文研究的排隊(duì)系統(tǒng)是在N-策略控制下服務(wù)員單重休假且休假可中斷的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)，即等價(jià)于文獻(xiàn)[14]研究的基于單重休假的Min(N,V)-策略控制的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng).在上面所得的結(jié)果中，令D →∞即可得與文獻(xiàn)[14]完全一致的相應(yīng)結(jié)果.

推論5當(dāng)D →∞,P{V=T}=1 時(shí)，即系統(tǒng)是基于固定單重休假時(shí)間T的Min(N,T)-策略控制的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)，對(duì)ρ ＜1 時(shí)，有

母函數(shù)為

平均隊(duì)長(zhǎng)為

其中

推論6當(dāng)P{V= 0} = 1 或D= 0 時(shí)，本文研究的排隊(duì)系統(tǒng)等價(jià)于文獻(xiàn)[23]研究的經(jīng)典M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng).在上面所得的結(jié)果中，令P{V= 0} = 1 或D= 0 即可得到與文獻(xiàn)[23]完全一致的相應(yīng)結(jié)果.

推論7當(dāng)P{V=∞} = 1 時(shí)，本文研究的排隊(duì)系統(tǒng)等價(jià)于文獻(xiàn)[15]研究的Min(N,D)-控制策略的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng).在上面所得的結(jié)果中，令P{V=∞}=1 即可得到與文獻(xiàn)[15]完全一致的相應(yīng)結(jié)果.

6 附加平均隊(duì)長(zhǎng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的敏感性分析

在本節(jié)中，我們通過(guò)數(shù)值計(jì)算實(shí)例來(lái)分析系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)E[Ld]隨著一些參數(shù)的變化而變化的情況.由定理5 可知附加平均隊(duì)長(zhǎng)E[Ld]為

例1當(dāng)服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)μ(＞0)的負(fù)指數(shù)分布G(t) = 1-e-μt與休假時(shí)間服從參數(shù)θ(＞0)的負(fù)指數(shù)分布V(t)=1-e-θt時(shí)，代入上述表達(dá)式得到附加平均隊(duì)長(zhǎng)E[Ld]為

取λ=0.5,ρ=0.75,D=10，然后運(yùn)用Matlab 軟件編程進(jìn)行計(jì)算得到E[Ld]隨N與θ的變化情況，見表1 與圖1，小數(shù)點(diǎn)后保留四位.

取λ=0.5,ρ=0.75,θ=0.25，然后運(yùn)用Matlab 軟件編程進(jìn)行計(jì)算得到E[Ld]隨N與D的變化情況，見表2 與圖2，小數(shù)點(diǎn)后保留四位.

表1: λ =0.5, ρ =0.75, D =10，E[Ld]隨N 與θ 的變化情況

表2: λ =0.5, ρ =0.75, θ =0.25，E[Ld]隨N 與D 的變化情況

圖1: E[Ld]隨N 與θ 的變化情況

圖2: E[Ld]隨N 與D 的變化情況

取λ=0.5,ρ=0.75,N=4，然后運(yùn)用Matlab 軟件編程進(jìn)行計(jì)算得到E[Ld]隨D與θ的變化情況，見表3 與圖3，小數(shù)點(diǎn)后保留四位.

表3: λ =0.5, ρ =0.75, N =4，E[Ld]隨D 與θ 的變化情況

圖3: E[Ld]隨 D 與 θ 的變化情況

例2當(dāng)服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)μ(＞0)的負(fù)指數(shù)分布G(t) = 1-e-μt與P{V=T} = 1時(shí)，即服務(wù)員事先約定的休假時(shí)間是一個(gè)固定時(shí)間長(zhǎng)度T(＞0)，代入上述表達(dá)式得到附加平均隊(duì)長(zhǎng)E[Ld]為

取λ=0.5,ρ=0.75,D=10，然后運(yùn)用Matlab 軟件編程進(jìn)行計(jì)算得到E[Ld]隨N與T的變化情況，見表4 與圖4，小數(shù)點(diǎn)后保留四位.

表4: λ=0.5, ρ=0.75, D =10，E[Ld]隨N 與T 的變化情況

圖4: E[Ld]隨N 與T 的變化情況

從圖1 和圖4 可以看出，取定參數(shù)λ= 0.5,ρ= 0.75,D= 10，當(dāng)休假時(shí)間的參數(shù)確定或者休假時(shí)間是一個(gè)固定時(shí)間長(zhǎng)度T(＞0)，隨著N取值的不斷增大，系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)E[Ld]都是先增大而后趨于平穩(wěn)保持不變，這是因?yàn)樵贜取值增大時(shí)，受Min(N,V)-控制策略的影響，N所起的作用越來(lái)越小，當(dāng)N超過(guò)某一值時(shí)，系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)幾乎由服務(wù)員的休假?zèng)Q定.且當(dāng)服務(wù)員的休假時(shí)間越來(lái)越短時(shí)，這使得到達(dá)系統(tǒng)的顧客有較大機(jī)會(huì)被服務(wù)，因此系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)E[Ld]呈現(xiàn)減小的趨勢(shì).

取λ=0.5,ρ=0.75,T=10，然后運(yùn)用Matlab 軟件編程進(jìn)行計(jì)算，得到E[Ld]隨N與D的變化情況，見表5 與圖5，小數(shù)點(diǎn)后保留四位.

從圖2 和圖5 可以看出，取定參數(shù)λ= 0.5,ρ= 0.75，當(dāng)D(＞0)確定時(shí)，隨著N取值的不斷增大，系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)E[Ld]都是先增大而后趨于平穩(wěn)保持不變，這是因?yàn)樵贜取值不斷增大時(shí)，受Min(N,D)-控制策略的影響，N所起的作用越來(lái)越小，當(dāng)N超過(guò)某一值時(shí)，系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)E[Ld]幾乎由參數(shù)D決定.同理，隨著D取值增大，受Min(N,D)-控制策略的影響，D所起的作用越來(lái)越小，系統(tǒng)幾乎由參數(shù)N決定.

圖5: T =10，E[Ld]隨N 與D 的變化情況

表5: λ =0.5, ρ=0.75, T =10，E[Ld]隨N 與D 的變化情況

取λ= 0.5,ρ= 0.75,N= 4，然后運(yùn)用Matlab 軟件編程進(jìn)行計(jì)算得到E[Ld]隨D與T的變化情況，見表6 與圖6，小數(shù)點(diǎn)后保留四位.

從圖3 和圖6 可以看出，取定參數(shù)λ= 0.5,ρ= 0.75,N= 4，當(dāng)休假時(shí)間的參數(shù)確定或者取定休假時(shí)間是一個(gè)固定時(shí)間長(zhǎng)度T(＞0)，隨著D取值的不斷增大，系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)E[Ld]都是先增大而后趨于平穩(wěn)保持不變，這是因?yàn)樵贒取值增大且超過(guò)某一值時(shí)，D所起的作用越來(lái)越小，系統(tǒng)的附加平均隊(duì)長(zhǎng)幾乎由休假時(shí)間決定.

表6: λ =0.5, ρ=0.75, N =4，E[Ld]隨D 與T 的變化情況

圖6: E[Ld]隨D 與T 的變化情況

7 結(jié)束語(yǔ)

本文討論了服務(wù)員采取單重休假機(jī)制和系統(tǒng)采取Min(N,D,V)-控制策略的M/G/1 排隊(duì)系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的瞬態(tài)分布和穩(wěn)態(tài)分布，得到了穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)的隨機(jī)分解結(jié)構(gòu)和附加隊(duì)長(zhǎng)分布的顯示表達(dá)式，進(jìn)一步給出了一些特殊情形下的相關(guān)結(jié)果.另外，通過(guò)數(shù)值計(jì)算實(shí)例討論了系統(tǒng)基于單重休假和Min(N,D,V)-策略機(jī)制而引起的附加平均隊(duì)長(zhǎng)E[Ld]隨著N,D和休假時(shí)間V的變化情況，使得本文的研究有更好的應(yīng)用價(jià)值.