帶有交易成本的均值-方差-下半方差投資組合模型

王曉琴, 高岳林,2,

(1- 北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，銀川 750021;2- 寧夏智能信息與大數(shù)據(jù)處理重點實驗室，銀川 750021)

1 引言

為了迎接金融市場的新挑戰(zhàn)，許多學(xué)者和投資者在Markowitz 的理論基礎(chǔ)上發(fā)展了現(xiàn)代投資組合理論.在現(xiàn)代金融學(xué)理論中，投資組合優(yōu)化問題就是研究理性的投資者怎樣將自己的資金分配到幾種不同的資產(chǎn)上以期獲得最大可能收益的同時能承受盡可能小的風(fēng)險.然而，經(jīng)典的Markowitz 投資組合管理模型往往忽略了金融市場上一些實際存在的摩擦因素，如交易成本的考慮等.在現(xiàn)實中，無論是買入還是賣出證券都需要支付交易費用，忽略交易成本往往會導(dǎo)致無效的資產(chǎn)組合.因此，王春峰等[1]在投資組合管理模型的基礎(chǔ)上引入了典型的交易成本并進(jìn)行了實證分析，結(jié)果表明考慮交易成本的投資組合所獲得的收益要小于不考慮交易成本的投資組合所獲得的收益.康志林[2]考慮到交易費用對投資者的投資績效具有直接影響，因此，在文中考慮了交易費用、投資比例的上界以及不允許賣空等約束的情形.任大源等[3]運用凸規(guī)劃相關(guān)理論與Kuhn-Tucker 條件求解了同時含有交易成本和機會成本的投資組合選擇模型.房成德等[4]以條件風(fēng)險價值(CVaR)作為對風(fēng)險度量的同時考慮了交易費用.Fu 等[5]考慮了在均值方差投資組合模型同時含有風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)，且把整個投資過程劃分為兩個階段.Mansini 等[6]在本文中考慮了帶有線性交易成本的投資組合模型，文中所考慮的模型是一個混合整數(shù)規(guī)劃模型.Najafi 和Mushakhian[7]在文中考慮了交易成本，并且用方差和條件風(fēng)險價值的線性加權(quán)來度量投資組合的風(fēng)險.Yue 等[8]用進(jìn)化算法求解了考慮交易成本和流動性的雙目標(biāo)投資組合優(yōu)化模型.王婧等[9]運用蟻群算法解決了股票投資組合優(yōu)化問題.李繼和高岳林[10]用均值衡量投資組合的收益，用風(fēng)險價值(VaR)度量投資組合的風(fēng)險并用改進(jìn)后的差分進(jìn)化算法求解了投資組合選擇問題.畢曉君和王佳薈[11]把教與學(xué)算法和差分進(jìn)化算法進(jìn)行了融合，以解決算法容易陷入局部最優(yōu)的問題.目前，投資組合中風(fēng)險的度量方法已有好幾種，如：方差、下半方差、絕對偏差，風(fēng)險價值(VaR)和條件風(fēng)險價值(CVaR)以及他們之間的一個加權(quán)組合等等都用來度量投資組合的風(fēng)險.本文用方差和下半方差的加權(quán)組合來度量投資所帶來的風(fēng)險.因此，建立了帶有交易成本的均值-方差-下半方差投資組合模型，并運用教與學(xué)算法對提出的模型進(jìn)行了求解.本文內(nèi)容安排如下：第1 節(jié)給出了考慮交易成本的均值-方差-下半方差投資組合模型；第2 節(jié)給出了求解模型的教與學(xué)算法設(shè)計；第3 節(jié)給出了實證分析；第4 節(jié)給出了本文的結(jié)論.

2 考慮交易成本的均值-方差-下半方差投資組合模型

2.1 目標(biāo)函數(shù)

本文只考慮證券市場上存在的n種風(fēng)險資產(chǎn).

x= (x1,x2,···,xn): 其中xi表示第i種資產(chǎn)的投資比例；ui: 表示第i種資產(chǎn)投資比例的上界；Ci: 表示組合中第i個風(fēng)險資產(chǎn)在[0,T]時間內(nèi)的交易費率；Ri: 表示組合中第i個風(fēng)險資產(chǎn)在[0,T]時間內(nèi)的收益率；Rit: 表示第i個風(fēng)險資產(chǎn)在第t個時期的收益率，其中表示在[0,T]時間內(nèi)的組合收益率，假設(shè)隨機變量的期望值可以用歷史收益的均值來近似表示，即

根據(jù)投資組合的理論，目標(biāo)函數(shù)有兩個：最大化投資組合的收益，最小化投資組合的風(fēng)險

2.2 模型的建立

1) 均值-方差-下半方差投資組合選擇模型

根據(jù)投資組合理論，投資者偏好收益而厭惡風(fēng)險.因此，一般情況下，投資者總是在一定的預(yù)期收益率下，希望投資組合的風(fēng)險最小，基于均值-方差-下半方差投資組合選擇模型建立如下

在P0 中，約束條件一表示投資者有某個能夠接受的最低期望收益率Y；約束條件二表示投資到每一種資產(chǎn)的比例之和為1；第三個約束條件表示資產(chǎn)不允許賣空且第i種資產(chǎn)投資比例不超過ui，則P0 的經(jīng)濟(jì)含義就是在滿足以上三個約束條件的前提下，怎樣分配資產(chǎn)的投資比例，在風(fēng)險達(dá)到最小的情況下，使得投資組合獲得最大的收益.

2) 考慮交易成本的均值-方差-下半方差投資組合選擇模型

投資過程中，交易成本是不能忽略的.在實際的證券交易中，總存在著交易成本的問題，且交易成本對投資的收益有較大的影響，從而決定投資組合的最終收益.因此，在模型中考慮交易費用是非常必要的.這里考慮的交易成本函數(shù)表現(xiàn)為資產(chǎn)交易量具有兩個拐點的非凸非凹函數(shù)，如圖1 所示，稱之為“典型交易成本函數(shù)”.

BIM技術(shù)具有三維可視化的特點，是對建筑及構(gòu)件的直觀表達(dá)。所見即所得的方式提高了理解和溝通的效率，降低了二維圖紙閱讀的專業(yè)性要求，對于復(fù)雜的空間關(guān)系，如復(fù)雜管線、體型復(fù)雜建筑等來說優(yōu)勢明顯，如圖2所示。

圖1: 交易成本函數(shù)圖

當(dāng)購買資產(chǎn)量比較小時，交易效率較低，所以單位交易成本很大，隨著購買資產(chǎn)量的上升，單位交易成本將逐漸減少，故在達(dá)到D點之前，交易成本函數(shù)C(X)是上凸的.然而，當(dāng)越過D點后單位交易成本已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)，所以單位交易成本函數(shù)C(X)基本保持不變，直到到達(dá)E點，也就是說DE段交易函數(shù)是線性的.如果購買資產(chǎn)量繼續(xù)增加，越過E點后，由于證券市場上資產(chǎn)供給不足等因素使得對應(yīng)資產(chǎn)的單位交易成本逐漸變大，所以交易成本函數(shù)C(X)在越過E點后將變成下凸的.記每次交易時的成本函數(shù)為C(X)，則成本函數(shù)的表達(dá)式如下[4]

因此，考慮交易成本的均值-方差-下半方差投資組合選擇模型為

為了更好的實現(xiàn)風(fēng)險和收益之間的均衡，考慮同時優(yōu)化兩個目標(biāo)，我們引入風(fēng)險厭惡系數(shù)A(0＜A ＜1)[12]，其中A反映投資者的風(fēng)險偏好，A值越大，投資者越注重收益.反之，投資者更注重對風(fēng)險的控制，轉(zhuǎn)化后的模型如下

3 求解模型的教與學(xué)算法設(shè)計

教與學(xué)優(yōu)化算法就是一種以班級為單位的教學(xué)過程進(jìn)行仿真模擬的優(yōu)化算法，搜索空間中的每個種群代表每個班級，種群的規(guī)模也就是每個班級里的人數(shù)，決策空間的維度就是學(xué)生所要學(xué)習(xí)的科目，每個學(xué)生的學(xué)習(xí)水平就代表目標(biāo)函數(shù)中的適應(yīng)度值，種群中適應(yīng)度值最好的個體確定為老師.教與學(xué)優(yōu)化算法主要包括”教師對學(xué)生的教學(xué)”和”學(xué)生之間的相互學(xué)習(xí)”兩個階段，通過這兩個階段的共同努力來提升全班同學(xué)的平均水平.

3.1 需要求解的問題

本文所建立的是一個帶有約束的雙目標(biāo)優(yōu)化問題，即最大化收益和最小化風(fēng)險這兩個目標(biāo).為了簡化計算，把雙目標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化為一個最小化單目標(biāo)的問題，把有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個無約束的優(yōu)化問題.如果計算所得目標(biāo)函數(shù)值越小，說明構(gòu)建的投資組合相對越好.

3.2 教與學(xué)優(yōu)化算法[13]

a) 教師階段

教師(適應(yīng)度值最優(yōu)的個體)根據(jù)全班學(xué)生(種群)的平均水平運用以下三個公式對全班學(xué)生(種群個體)進(jìn)行教學(xué)過程：

令i=1:N為種群的規(guī)模

其中ri為[0,1]之間的隨機數(shù)，xteacher為教師個體，即當(dāng)前種群的最優(yōu)粒子位置，TF為教學(xué)因子，一般取1 或2.round 表示對計算結(jié)果四舍五入取整，rand 取0-1 之間的隨機數(shù).Mean(x)是班里所有學(xué)生知識水平的平均值，由公式(7)確定.fitness 表示求適應(yīng)度函數(shù).

b) 學(xué)生階段

學(xué)生在老師進(jìn)行教學(xué)階段之后，為了進(jìn)一步提升自身的水平，與班里的其他學(xué)生按照以下公式進(jìn)行繼續(xù)學(xué)習(xí).

令i=1:N;j=1:N，其中N為種群的規(guī)模，且

其中x(j,:)為當(dāng)前種群中第j個粒子的位置，其中f(x(i,:))和f(x(j,:))分別為第i個粒子和第j個粒子的適應(yīng)度值.

3.3 教與學(xué)優(yōu)化算法流程

步驟1種群初始化及參數(shù)設(shè)置.包括初始種群的規(guī)模N，最大迭代次數(shù)M，搜索空間維數(shù)D，決策變量范圍(lbi,ubi)以及其他相關(guān)的參數(shù)；

步驟2在搜索空間中初始化每個學(xué)員，并計算每個學(xué)員所學(xué)學(xué)科的綜合成績(適應(yīng)度值)，把綜合成績最好(適應(yīng)度值最優(yōu))的學(xué)員確定為xteacher，因為文中所求的目標(biāo)函數(shù)為最小化的問題，所以計算的適應(yīng)度值越小越好；

步驟3利用公式(7)求班里所有學(xué)員所學(xué)課程成績的均值Mean(x)，也就是求搜索空間中所有粒子的均值Mean(x)；

步驟4利用公式(5)和(6)執(zhí)行教學(xué)階段，從而對粒子x(i,:)的位置進(jìn)行更新，并計算相應(yīng)的適應(yīng)度值；

步驟5利用公式(8)執(zhí)行學(xué)生之間的相互學(xué)習(xí)階段，從而更新粒子位置x(i,:)，并計算適應(yīng)度值，執(zhí)行選擇操作；

步驟6利用公式(2)計算每種風(fēng)險資產(chǎn)的交易成本；

步驟7如果達(dá)到所設(shè)定最大迭代次數(shù)，輸出最優(yōu)解，否則返回步驟2.

4 實證分析

4.1 模型的轉(zhuǎn)化

運用罰函數(shù)法將有約束的單目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為無約束的單目標(biāo)問題來求解，轉(zhuǎn)化以后的等價模型為

其中M是一個充分大的正數(shù).

4.2 數(shù)值算例

本節(jié)針對本文的理論結(jié)果及算法給出了數(shù)值算例.假設(shè)對表1 中的8 支股票進(jìn)行投資組合，種群規(guī)模N為60，每只股票的投資比例小于等于0.6，交易成本函數(shù)中的m1 = 0.1,a= 0.3,b= 0.4，獨立運行120 次，利用教與學(xué)的Matlab 程序進(jìn)行編碼實現(xiàn)，得到給定期望收益下的目標(biāo)函數(shù)值、最小風(fēng)險以及最優(yōu)投資比例，如表2 所示.

表1: 股票的收益和均值

表2: 不同期望收益下的最優(yōu)投資組合

從表2 可以看出，投資組合的目標(biāo)風(fēng)險隨著給定期望收益率的增加也在不斷地增加，符合證券市場上的實際情況.投資者若想得到較高的收益，則對第3 種和第8 種股票的投資比例相對增加，此時資產(chǎn)組合的風(fēng)險也會相應(yīng)的增加.所以，投資者應(yīng)該結(jié)合自身的實際情況，設(shè)定符合自己實際的預(yù)期收益率.

圖2 為投資組合的有效前沿[14]，可以看出給定相同的期望收益率，考慮交易成本時的風(fēng)險總比忽略交易成本時的風(fēng)險大，此時的投資比例也有所不同.此外，當(dāng)期望收益率較低時，二者的風(fēng)險差別不顯著，隨著收益率的增加，考慮交易成本的風(fēng)險值增加較快，超過一定范圍后則相對穩(wěn)定，充分體現(xiàn)了交易成本在投資組合中的價值[10].

圖2: 有效前沿圖

4.3 算法優(yōu)越性比較

為了說明教與學(xué)優(yōu)化算法的優(yōu)越性，在風(fēng)險厭惡系數(shù)分別為A= 0.1,A= 0.3,A=0.5,A= 0.7 的情況下，把教與學(xué)優(yōu)化算法與粒子群算法在同等條件下迭代了120 次進(jìn)行了對比，如圖3 所示.

圖3: 不同風(fēng)險厭惡系數(shù)下兩種算法的比較

從圖3 中的四個圖片中可以看出，在不同的風(fēng)險厭惡系數(shù)下，教與學(xué)優(yōu)化算法的收斂性都優(yōu)于同等條件下的粒子群優(yōu)化算法.

5 結(jié)論

本文是在典型交易成本函數(shù)的基礎(chǔ)上，建立了含有典型交易成本函數(shù)的均值-方差-下半方差的投資組合模型，并采用教與學(xué)優(yōu)化算法對提出的模型進(jìn)行了求解.最后，進(jìn)行了實證研究.通過研究發(fā)現(xiàn)新建的模型可以說明投資組合風(fēng)險和收益之間的關(guān)系，為投資者決策提供了重要依據(jù)，并在不同的風(fēng)險厭惡系數(shù)下，把教與學(xué)優(yōu)化算法和粒子群算法進(jìn)行了比較.