混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型下基于FST方法的期權(quán)定價

張素梅, 趙潔瓊

(西安郵電大學(xué)理學(xué)院，西安 710121)

1 引言

在期權(quán)定價中，基于布朗運(yùn)動和正態(tài)分布建立的BS 模型[1]假設(shè)過于理想化，無法解釋資產(chǎn)收益的尖峰厚尾和波動率“微笑”現(xiàn)象.為了解釋這些現(xiàn)象，1976 年，Merton[2]提出log 正態(tài)跳擴(kuò)散模型，該模型可以解釋資產(chǎn)收益的尖峰厚尾和波動率“微笑”現(xiàn)象，具有開創(chuàng)性意義.隨后在2002 年，Kou 提出雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型[3]，其跳躍過程服從雙指數(shù)分布.并且相對于log 正態(tài)跳擴(kuò)散模型，該模型更易于求出路徑期權(quán)的封閉解析定價公式.2007 年，Kou 和Cai 將雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型的概率密度函數(shù)擴(kuò)展到有限次數(shù)的上跳和下跳，由此推出超指數(shù)跳擴(kuò)散模型[4]，其跳躍過程服從超指數(shù)分布.然而，上述這些模型只能解決特定的分布問題，在實(shí)際金融市場的應(yīng)用中具有很大的局限性.所以在2011 年，Kou 和Cai 提出混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型(Mixed-Exponential Jump Diffusion Model, MEM)[5]，該模型跳躍過程服從混合指數(shù)分布，而混合指數(shù)分布是指數(shù)分布的加權(quán)平均值，其權(quán)重可以為負(fù).根據(jù)這一特征，該分布可以逼近為任何分布，其中包括正態(tài)分布、各種指數(shù)分布以及像Gamma, Weibull 和Pareto 所產(chǎn)生的厚尾分布等，具有一般性，可以廣泛應(yīng)用于刻畫股價實(shí)際變動趨勢.

為了方便解決實(shí)際問題，對于模型來說，求解其期權(quán)定價一直以來都是重中之重.然而由于跳擴(kuò)散模型包含跳躍過程，所以很難通過理論方法得到一個完整的閉式解析式，在實(shí)際求解中通常采用數(shù)值方法對期權(quán)進(jìn)行定價.目前常用的數(shù)值計算方法有二叉樹、有限差分、Monte Carlo(MC)、快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)和雙邊歐拉反演(Euler inversion, EI or BA) 法等等.上述五種方法中，二叉樹方法[6]由于數(shù)學(xué)原理簡單且易操作，成為廣泛應(yīng)用的期權(quán)定價方法之一.但是對于復(fù)雜的跳擴(kuò)散模型，節(jié)點(diǎn)的增多會導(dǎo)致二叉樹方法收斂速度過慢.有限差分方法[6]同樣由于原理簡單而被廣泛應(yīng)用于期權(quán)定價，但是對于跳擴(kuò)散模型所產(chǎn)生的偏積分-微分方程(partial-integro differential equation, PIDE)的積分項(xiàng)進(jìn)行求解時，需要進(jìn)行相關(guān)近似，使得方法相當(dāng)復(fù)雜，且在求解過程中容易出現(xiàn)準(zhǔn)確性差和收斂速度慢的問題.MC 方法[7]在求解期權(quán)定價時方便操作，并適用于高維期權(quán)定價的求解，通常被用于計算期權(quán)定價的數(shù)值解[8-10]，但是由于MC 方法模擬次數(shù)多，運(yùn)行時間長，很少用于歐式期權(quán)定價的求解.Carr 在1999 年使用FFT 方法[11]求解期權(quán)定價的數(shù)值解，大大提高了期權(quán)定價的運(yùn)算速度，并且易于實(shí)施，被廣泛地應(yīng)用于計算跳擴(kuò)散模型下期權(quán)定價的數(shù)值解[12-14]，不過FFT 方法的精度與阻尼因子的選取有關(guān)，所以數(shù)值結(jié)果不穩(wěn)定.2004 年P(guān)etrella 提出的BA 方法[15]主要是通過拉普拉斯變換的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解，該方法因其高效、快速的優(yōu)點(diǎn)被用于超指數(shù)模型和混合指數(shù)模型的數(shù)值求解[4,5,16]，但其推導(dǎo)過程復(fù)雜.而本文所采用的FST 方法[17,18]利用傅里葉變換將PIDE 從時域轉(zhuǎn)換到頻域.直接在頻域中求解的優(yōu)點(diǎn)是含有獨(dú)立增量的隨機(jī)過程通過傅里葉變換將特征指數(shù)從PIDE 中分解出來，從而獲得易于求解的常微分方程(Ordinary Differential Equation, ODE).這使得期權(quán)定價的求解只與特征指數(shù)有關(guān)，減少了運(yùn)算量.并且對于任何指數(shù)型Lvy 過程，F(xiàn)ST 方法具有通用性，即只需要得到特征指數(shù)的解析式即可.

本文將FST 方法和MEM 相結(jié)合，主要有兩點(diǎn)創(chuàng)新：一是將FST 方法推廣到MEM 下的歐式期權(quán)定價；二是首次將MEM 校正到實(shí)際市場，并探尋了跳參數(shù)對于隱含波動率的影響.文章的具體結(jié)構(gòu)如下：第2 章給出了MEM 的基本假設(shè)，并推導(dǎo)出MEM 的期權(quán)定價所符合的PIDE；第3 章給出使用FST 方法對于MEM 下歐式期權(quán)定價求解的詳細(xì)推導(dǎo)過程；第4 章進(jìn)行FST 方法與其它數(shù)值方法的數(shù)值模擬；第5 章進(jìn)行模型校正；第6 章總結(jié)全文.

2 混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型

在概率測度P 下，假設(shè)資產(chǎn)價格過程St滿足如下MEM

其中r為無風(fēng)險利率，Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，Nt是強(qiáng)度為λ的泊松過程，Yi= ln(Vi)是混合指數(shù)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)fY(x)為

上式pu ≥0,qd= 1-pu ≥0，其中pi ∈(-∞,∞),ηi ＞1,i= 1,2,···,m,qj ∈(-∞,∞),θj ＞0,j= 1,2,···,n.分別表示上跳和下跳的概率及跳躍值.由公式(2)可知，跳躍包括m類上跳和n類下跳，第i類上跳的概率為pi，第j類下跳的概率為qj，且

根據(jù)pi和qj的參數(shù)范圍可知其可以為負(fù)數(shù)，所以要保證概率密度函數(shù)fY(x)總是非負(fù)函數(shù)，上述參數(shù)就需要滿足以下充分必要條件：其中必要條件為p1＞0,q1＞充分條件為對于所有的k= 1,2,···,m和l=1,2,···,n，有

設(shè)過程Wt,Nt及隨機(jī)變量Vi相互獨(dú)立.易見：(I) 當(dāng)pi和qj為非負(fù)參數(shù)時，模型(1)為超指數(shù)跳擴(kuò)散模型；(II) 當(dāng)m= 1,n= 1 時，模型(1)為雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型；(III) 當(dāng)λ=0 時，模型(1)為BS 模型.

由上述公式(1)和(2)可知，當(dāng)St發(fā)生跳躍時，[St]=St+-St= (Vi- 1)St，即St+=St((Vi-1)+1)=StVi.

令Xt= ln(St)，則Xt+= lnSt+= lnSt+lnVi= lnSt+Yi，故由 It公式，公式(1)可改寫為

在風(fēng)險中性測度Q 下，過程dSt和dXt分別為

定理1(Lvy 過程的特征函數(shù))[19]若Xt是Rd上一個Lvy 過程，則存在一個連續(xù)函數(shù)ψ為X 的特征指數(shù)，則

證明 證明見文獻(xiàn)[19].

根據(jù)定理1，通過直接計算可知，MEM 的特征函數(shù)為

特征指數(shù)ψ(u)為

定理2(Lvy-Khinchine公式)[19]若Xt是Rd上包含三個參數(shù) (γ,A,ν)的一個 Lvy 過程，對滿足E[exp(iz.Xt)]=exp(tψ(z))的ψ(z)有Lvy-Khinchine 公式

其中νdx=λfY(x)dx.

證明 證明見文獻(xiàn)[19].

定理3(跳擴(kuò)散中的It公式)[19]令X是一個帶跳躍的擴(kuò)散過程，其跳躍過程為一復(fù)合泊松過程

其中bt以及σt是連續(xù)不可預(yù)測過程滿足：在任意時間[0,T]上，存在函數(shù)f:[0,T]×R →R，過程Yt=f(t,Xt)滿足如下微分形式

證明 證明見文獻(xiàn)[19].

設(shè)V=V(St,t)是期權(quán)價格，在到期日t=T時的看漲期權(quán)為V(St,t) = (S-K)+，K為敲定價格.期權(quán)t時刻價格為v(Xt,t) =V(S0eXt,t)，其中St=S0eXt.根據(jù)定理2 和定理3 可知MEM 符合下列PIDE

3 混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型下歐式期權(quán)定價的FST 方法

FST 方法是將期權(quán)定價滿足的PIDE 轉(zhuǎn)換到頻域，再通過傅里葉逆變換轉(zhuǎn)換回時域.下面以看漲期權(quán)為例，給出MEM 下歐式期權(quán)定價的FST 方法的詳細(xì)推導(dǎo)過程.

對于公式(4)形式的PIDE，進(jìn)行連續(xù)傅里葉變換F得

上式中變量ω表示頻率，對上述公式(6)進(jìn)行整理得

根據(jù)定理1 和定理2 可知，公式(7)中的合并部分與MEM 的特征指數(shù)ψ(ω)相同，即

則公式(4)的PIDE 可化簡為如下ODE

對公式(9)乘以積分因子eψ(x)t并進(jìn)行求解得

其中C是常數(shù).

因此，在任意0≤t1≤t2≤T時，計算出t2時刻的傅里葉變換后的期權(quán)定價，則可以計算出t1時刻的傅里葉變換后的期權(quán)價格

傅里葉逆變換如下

從而

連續(xù)傅里葉變換完成后，還需要在截斷的風(fēng)險資產(chǎn)價格域上實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的離散化，即離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT).DFT 將對數(shù)資產(chǎn)價格從[-∞,∞]截斷到區(qū)域? = [xmin,xmax].由奈奎斯特臨界頻率和時域的關(guān)系ωmax·ωmax-ωmin=N/2 可知，對于對數(shù)資產(chǎn)變量，需要選擇一個適當(dāng)?shù)淖兓沟枚▋r在x= 0 的鄰域中.由此應(yīng)該選擇足夠大的空間邊界來捕獲期權(quán)價值函數(shù)的整體行為，即讓ωmax=-ωmin，使得函數(shù)區(qū)域位于中心，則傅里葉變換在? 上近似為

因?yàn)镈FT 是在離散化的時域和頻域下實(shí)現(xiàn)的，所以對于對數(shù)資產(chǎn)價格域的離散化，令xn=xmin+n·?x,n=0,1,···,N-1 和另外，對于頻域的離散化，令根據(jù)使用奈奎斯特頻率條件，即得到因此期權(quán)價格v(X,t)在時間t上的離散傅里葉變換為

結(jié)合方程(14)和方程(11)，可以得到對數(shù)資產(chǎn)價格xn在時域中的價格，對于任何n=0,1,···,N-1 有

從而

其中v(X,t1)是時間t1在資產(chǎn)價格exn的期權(quán)價格.

4 數(shù)值模擬

本文利用Matlab 的DFT(x)和IDFT(x)函數(shù)實(shí)施FST 方法，討論MEM 在m=2,n= 2 的情況下歐式看漲期權(quán)定價.假設(shè)MEM 的模型參數(shù)與文獻(xiàn)[5]中的參數(shù)相同，即r= 0.05,θ1=η1,η2=θ2= 50,pu= 0.4,qd= 0.6,p1= 1.2,p2=-0.2,q1= 1.3,q2=-0.3,S0= 100,K= 100,t= 1.同時為了檢驗(yàn)FST 方法的有效性，對于σ= 0.2 和σ= 0.3 的情況，分別給出不同η1下不同λ的數(shù)值計算，其中η1取值為20,40；λ的取值為1,3,5.為了進(jìn)行數(shù)值方法的對比，我們也利用BA、FFT、MC 三種方法在上述參數(shù)下進(jìn)行計算，并與FST 方法進(jìn)行對比，其中FFT 方法的阻尼因子α= 1.21，MC 方法的模擬次數(shù)N= 100000，F(xiàn)ST 方法截斷區(qū)域? = [xmin,xmax]= [-7.5,7.5].本文所有實(shí)驗(yàn)都在Inter(R) Core(TM) i7-7700HQ CPU 2.80GHz，RAM為8.00GB 的計算機(jī)上進(jìn)行.結(jié)果如表1 所示.

由表1 可知：四種方法中，MC 方法的運(yùn)行時間最長，F(xiàn)FT 方法的運(yùn)行時間最短，F(xiàn)ST 方法次之.在計算精度上，以BA 方法為基準(zhǔn)，F(xiàn)ST 方法的計算結(jié)果與BA 最接近，相對誤差最小為0.0002，最大為0.0004；FFT 方法的計算結(jié)果與BA 相差較大，相對誤差最小為0.03，最大為0.2；與FST 方法相比，F(xiàn)FT 方法雖然CPU 運(yùn)行時間上占據(jù)優(yōu)勢，但是精度低、不穩(wěn)定.因此通過上述分析可知FST 方法具有精度高、穩(wěn)定性好，運(yùn)行時間短的優(yōu)點(diǎn).

表1: 混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型(m=2, n=2)下BA、FST、FFT、MC 方法(括號里為MC 方法95%的置信區(qū)間)的歐式看漲期權(quán)定價結(jié)果對比

5 模型校正

5.1 非線性最小二乘法

期權(quán)定價是給定模型參數(shù)，再計算期權(quán)價格；而模型校正的思想是通過市場價格來反推理論模型的參數(shù)，使得通過模型得出的理論價格能夠等于市場上交易的實(shí)際價格.所以模型校正和期權(quán)定價互為反問題.然而當(dāng)模型是跳擴(kuò)散模型時，通常無法保證反問題解的存在，因此我們采用非線性最小二乘法[20]解決該問題

其中? 是模型參數(shù)，??是模型最優(yōu)參數(shù)，分別是來自模型和市場的第i個期權(quán)價格，Ki和Ti分別是第i個期權(quán)的執(zhí)行價格和到期時間，N是用于模型校正的期權(quán)數(shù)，ωi是加權(quán)因子.

設(shè)參數(shù)集? 的初始估計為?0，使用期權(quán)的中間價格作為市場價格

其中bid/ask為市場第i個期權(quán)的出價和開價.這意味著我們不要求模型準(zhǔn)確復(fù)制市場價格，但平均來說，落在出價和開價區(qū)間內(nèi)，這是校正過程的一個合理的放松，因?yàn)榻＿^程總是在一定的容許范圍內(nèi)產(chǎn)生的估計.

本文使用Matlab 中的lsqnonlin 函數(shù)實(shí)施校正算法[20].然而lsqnonlin 函數(shù)計算出的最優(yōu)解和參數(shù)的初始值有關(guān)，因此得到的解可能不是全局最優(yōu)，只能得到局部最優(yōu)解.但只要(17)滿足，利用lsqnonlin 函數(shù)求出的最優(yōu)解就是可以接受的.

5.2 模型校正實(shí)證分析

我們?nèi)匀粚EM 在m=2,n=2 時進(jìn)行模型校正，實(shí)證分析使用標(biāo)準(zhǔn)S&P 500[21]指數(shù)期權(quán)從2017.01 到2017.03 的數(shù)據(jù)，根據(jù)moneyness =K/S篩選出取值在0.94-1.06 之間的數(shù)據(jù)，并將滿足(17)式的數(shù)據(jù)挑選出來.隨后將這些數(shù)據(jù)分為三個部分，分別為取值在0.94-0.97 之間的價內(nèi)期權(quán)(in-the-money, ITM)、0.97-1.03 之間的平價期權(quán)(at-the-money, ATM)和1.03-1.06 之間的價外期權(quán)(out-of-money, OTM).每個期權(quán)的出價和開價均已知，期權(quán)的到期時間從15 天到365 天不等，由于期權(quán)價格對利率不靈敏，且利率在每日的基礎(chǔ)上變化很小，因而，設(shè)定無風(fēng)險利率為年利率0.13.為了簡便，假設(shè)市場無分紅.

在模型校正中，以出價和開價的中間價格作為市場價格，根據(jù)5.1 可知，lsqnonlin 函數(shù)進(jìn)行校正主要是對于初始參數(shù)x0的設(shè)置，可以通過不斷的調(diào)整初始參數(shù)值進(jìn)行重新校正.根據(jù)文獻(xiàn)[5]，我們選擇兩組初始值進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，分別對ATM、ITM、OTM 進(jìn)行校正，結(jié)果如表2 所示.

表2: 混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型(m=2, n=2)兩組初始值的校正結(jié)果

為檢驗(yàn)校正的效果，使用如下兩個校正測度：平均相對百分比誤差A(yù)RPE 和平均絕對百分比誤差A(yù)PE[22]

式中Cmod和Cmar分別表示期權(quán)基于模型的價格和市場價格，N是校正使用的期權(quán)個數(shù)，校正誤差結(jié)果如表3 所示.

表3: 混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型(m=2, n=2)的校正誤差

由上表可知，由于ITM,ATM 和OTM 這三個部分的數(shù)據(jù)校正后的參數(shù)估計值都相同，因此表2 分別給出兩組初始值進(jìn)行參數(shù)校正后的平均估計值.整體可以看出校正結(jié)果除第一個參數(shù)σ的結(jié)果出現(xiàn)細(xì)小的波動，其余參數(shù)的校正結(jié)果不變.而表3 的校正誤差結(jié)果可以看出，基于兩個初始值的誤差非常小，不超過0.0006，由此表明了校正算法具有一定的穩(wěn)定性.

根據(jù)表2 中的估計值2 繪制隱含波動率圖，對于估計值2 中的10 個參數(shù)分別繪制隱含波動率圖，其中參數(shù)λ和η1的隱含波動率圖變化明顯.因此，在其他參數(shù)不變的情況下，選取這兩個參數(shù)進(jìn)行隱含波動圖的分析.其中，λ的取值分別為0.5375, 1.5375, 3.5375,5.5375；η1的取值分別為3.6352,8.6352,18.6352,28.6352.繪制三維曲線圖，其中執(zhí)行價格為0.8-1.2，距離到期日的時間間隔為0.04-1 年，結(jié)果如圖1 和圖2 所示.

根據(jù)上圖可知，由于資產(chǎn)收益分布的非對稱性，可以看出圖1 和圖2 的隱含波動率曲線不是對稱的，且體現(xiàn)出明顯的“波動率微笑”特征.圖1 為不同λ下資產(chǎn)收益的隱含波動率圖.可以看出隨著λ的增大，期權(quán)的隱含波動率相對變大，表明參數(shù)λ的變化對于隱含波動率的影響顯著；圖2 為不同η1下資產(chǎn)收益的隱含波動率圖.可以看出隨著η1的增大，隱含波動率圖像變化明顯，在η1= 18.6352 時，圖像趨于穩(wěn)定，表明η1取值相對較小時，對于隱含波動率的影響較大.

6 結(jié)論

本文使用傅里葉空間時間步長法(FST)求解混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型(MEM)下歐式期權(quán)定價過程中產(chǎn)生的PIDE 問題.利用FST 方法，我們在MEM 模型下獲得了歐式期權(quán)的數(shù)值解，并對結(jié)果進(jìn)行對比分析，相對于蒙特卡洛模擬(MC)、快速傅里葉變換(FFT)、以及歐拉反演(BA)，F(xiàn)ST 方法更加有效.然后進(jìn)行模型校正，結(jié)合最小二乘法和S&P 500 指數(shù)期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，得到模型的參數(shù)值，并繪制了MEM 的隱含波動率圖像，結(jié)果表明MEM 很好地體現(xiàn)資產(chǎn)收益的“波動微笑”等特征，而且參數(shù)λ和η1對隱含波動率有重要影響.

圖1: 混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型(m=2, n=2)在不同λ 下的隱含波動率圖

圖2: 混合指數(shù)跳擴(kuò)散模型(m=2, n=2)在不同θ1 下的隱含波動率圖