“冪的運算”中的數學思想

文吳亞平

數學思想方法是數學的精髓，是將數學知識轉化為數學素養(yǎng)的橋梁。在冪的運算中，同學們如果掌握了冪的運算法則及性質，再理解了數學思想方法，解題時思維會更加靈活，解題過程也會更加簡潔優(yōu)化。

一、轉化思想

轉化思想是數學常用的思想方法之一，就解題的本質而言，是把陌生的問題轉化為熟悉的問題，把復雜的問題轉化為簡單的問題的一種思想方法。對于冪的大小的比較，轉化思想的應用尤其明顯。

例1 比較355、444、533的大小。

【解析】這三個數的底數不同，指數都是11的整數倍，故可先逆用冪的乘方的運算性質，將這三個數轉化成指數相同的冪，然后再通過比較底數的大小來比較冪的大小。

解：∵355=（35）11=24311，444=（44）11=25611，533=（53）11=12511，

又∵125＜243＜256，

∴12511＜24311＜25611，

即 533＜355＜444。

例2 已知 a=166，b=89，c=413，試比較a、b、c的大小。

【解析】這三個數的指數不同，底數16、8、4都可以轉化成2的乘方的形式，故可將這三個數分別化成以2為底的冪，然后再通過比較指數的大小來比較冪的大小。

解：∵a=166=（24）6=224，b=89=（23）9=227，c=413=（22）13=226，

又∵24＜26＜27，

所以224＜226＜227，即a＜c＜b。

二、分類討論

每個數學結論都有其成立的條件，每種數學方法的使用也往往有其適用范圍，因此就需要我們把所求問題分成若干類，然后轉化為若干個小問題來解決，這就是分類討論思想。在冪的運算中，當我們遇到有關冪為1的問題時，就要利用分類討論思想，對每種情況逐一進行考慮。

例3 若（2x-1）2x+2=1，求x的值。

【解析】因為1的任何次冪是1，-1的偶數次冪是1，任何非0數的0次冪也是1，因此我們要分三種情況進行考慮。

解：（1）當 2x-1=1時，解得 x=1，此時（2x-1）2x+2=14=1；

（2）當2x-1=-1時，解得x=0，此時（2x-1）2x+2=（-1）2=1；

（3）當 2x+2=0時，解得x=-1，此時（2x-1）2x+2=（-3）0=1。

綜上，x=-1或x=0或x=1。

三、逆向變換

逆向變換思想在“冪的運算”這章內容中的體現，是將一些計算公式逆向運用。逆用冪的乘方運算、同底數冪的乘法的運算性質，對所求式子進行變形，往往能拓展解題思路，從而使運算簡便。

例4 計算（-0.25）2019×42020。

【解析】我們觀察這兩個冪的底數，-0.25與4是互為負倒數關系，兩者之積為-1，于是可聯想到積的乘方運算性質的逆用。但兩個冪的指數又不一樣，因此我們可逆用同底數冪的乘法運算性質，得42020=42019×4。這樣問題就被巧妙解決了。

解：（-0.25）2019×42020

四、整體思想

整體思想就是通過研究問題的整體形式、結構、特征，對問題進行細心觀察和深入分析，找出整體與局部的聯系，從整體上把握問題，進而解決問題的一種思想方法。

例5 若x+3y-4=0，求3x·27y的值。

【解析】要求3x·27y的值，只需知道字母x和y的值。但一個方程x+3y-4=0有兩個未知數，顯然這樣的x和y無法確定。我們可抓住所求式子進行考慮，先化為同底，再利用整體思想來解決。

解：∵3x·27y=3x·（33）y=3x·33y=3x+3y，

由x+3y-4=0，

得x+3y=4。

∴3x·27y=34=81。

總之，在解題中滲透數學思想方法后，可在不同程度上降低題目的難度，原先無從下手的題目也都迎刃而解了?！爸R”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化。提高數學素養(yǎng)的核心就是提高對數學思想方法的認識和運用的能力，數學素養(yǎng)的綜合體現就是“能力”。