逆用冪的運算性質(zhì)，巧比冪的大小

文戴曉燕

在冪的大小比較問題中，很多時候被比較的冪的指數(shù)、底數(shù)并不相同，我們也不便求出被比較的數(shù)值的大小。這時，我們就要理解并逆用冪的運算性質(zhì)，巧比冪的大小。

一、巧用同指數(shù)比較法

例1 比較大?。?500、4400、5300。

【解析】我們不便求出3500、4400、5300的具體數(shù)值，但發(fā)現(xiàn)500、400、300的最大公因數(shù)是100，因此我們可以逆用冪的乘方性質(zhì)amn=（am）n，把上述三個數(shù)化成相同指數(shù)后，比較底數(shù)大小即可。

解：∵3500=（35）100=243100，4400=（44）100=256100，5300=（53）100=125100，

又∵125＜243＜256，

∴125100＜243100＜256100，

∴5300＜3500＜4400。

【總結】這三個數(shù)的底數(shù)不同，指數(shù)都是100的整數(shù)倍，所以在解題過程中，同學們可以先逆用冪的乘方的運算性質(zhì)，將這三個數(shù)化成相同指數(shù)的冪，然后比較底數(shù)的大小。

二、巧用同底數(shù)比較法

例2 比較大小8131、2741、961。

【解析】我們不便求出8131、2741、961的具體數(shù)值，但發(fā)現(xiàn)8131、2741、961都可以寫成底數(shù)同為3的冪的形式。同樣逆用冪的乘方運算的性質(zhì)，把上述三個數(shù)化成同底數(shù)后，比較指數(shù)大小即可。

解：∵ 8131=（34）31=3124，2741=（33）41=3123，961=（32）61=3122，

又∵3124＞3123＞3122，

∴8131＞2741＞961。

【總結】這三個數(shù)的指數(shù)不同，底數(shù)都可以化為3的乘方的形式，所以在解題過程中，同學們可以先將這三個數(shù)分別化為以3為底的冪，然后比較指數(shù)的大小。

三、巧用放縮比較法

例3 比較大?。?516、3313。

【解析】要算出1516、3313的值，顯然很繁瑣，而且這兩個數(shù)不能化成同底數(shù)冪和同指數(shù)冪，這時我們可以巧用放縮的方法。

解：∵1516＜1616，3213＜3313，

又∵1616=（24）16=264，3213=（25）13=265，

∴1616＜3213，

∴利用不等式的傳遞性，得1516＜3313。

【總結】運用放縮法比較大小時要注意放縮的幅度，選擇的數(shù)應盡可能與原數(shù)的大小接近，不能相差過大。放縮法的應用對同學們的觀察能力要求很高，準確找到接近的數(shù)很關鍵，這里也初步體現(xiàn)了數(shù)學上的逼近思想。