千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金
——“冪的運算”易錯點例析

文李正芳

冪的運算包括同底數(shù)冪的乘法、除法，冪的乘方，積的乘方以及零指數(shù)冪、負指數(shù)冪等運算，是學(xué)習整式乘除運算的基礎(chǔ)。由于冪的運算性質(zhì)較多，如果同學(xué)們對每個運算性質(zhì)理解不透徹，只是簡單記憶和重復(fù)練習，很容易將性質(zhì)混用，導(dǎo)致錯解。學(xué)習的過程就像淘金，只有淘盡了泥沙，才會得到閃亮的黃金。為幫助同學(xué)們學(xué)好這部分內(nèi)容，避免解題出錯，為以后學(xué)習打好基礎(chǔ)，現(xiàn)就常見的錯誤類型例析如下。

一、分不清同底數(shù)冪和同類項

例1下列計算正確的是（ ）。

A.a?a4=a4B.a4+a4=a8

C.a4+a4=2a4D.a4?a4=a16

【錯解】A、B或D。

【分析】指數(shù)相加是在同底數(shù)冪相乘時才能進行的運算。單項式與單項式相加時只能合并同類項。有些同學(xué)對同底數(shù)冪和同類項的內(nèi)容分不清，導(dǎo)致錯解。同類項：所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的項叫同類項。合并同類項法則：只把系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變。A選項是同底數(shù)冪相乘，指數(shù)應(yīng)相加，a的指數(shù)應(yīng)該是1+4=5；B選項有“+”，屬于合并同類項，系數(shù)是1+1=2，字母和字母的指數(shù)不變，所以錯誤；D選項屬于同底數(shù)冪的乘法，指數(shù)應(yīng)相加而不是相乘，所以錯誤。正確選項是C。

例2 計算：

（1）（m+n）10+（m+n）10；

（2）（m+n）10?（m+n）10。

【錯解】（1）（m+n）10+（m+n）10=（m+n）20；（2）（m+n）10?（m+n）10=2（m+n）10。

【分析】（1）是加法運算，應(yīng)按合并同類項的法則，只把系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變；（2）是同底數(shù)冪的乘法，應(yīng)是底數(shù)不變，指數(shù)相加。錯解把合并同類項與同底數(shù)冪相乘弄混淆了。區(qū)分方法：用“+”號相連接的式子是合并同類項，只需把系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變。字母之間有乘號的，或者省略了乘號的，屬于同底數(shù)冪的乘法，應(yīng)底數(shù)不變，指數(shù)相加。

【正解】（1）（m+n）10+（m+n）10=2（m+n）10；（2）（m+n）10?（m+n）10=（m+n）20。

二、分不清同底數(shù)冪與冪的乘方法則

例3計算（-a）3?（-a）5。

【錯解】（-a）3?（-a）5=（-a）3×5=-a15。

【分析】該題應(yīng)根據(jù)“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”的性質(zhì)進行計算，而錯解犯了變指數(shù)相加為指數(shù)相乘的錯誤。

【正解】（-a）3?（-a）5=（-a）3+5=a8。

例4計算（-a2）3?（-a）3。

【錯解】（-a2）3?（-a）3=（-a）5?（-a）3

=a8或（-a2）3?（-a）3=（-a）8?（-a）3=（-a）11=-a11。

【分析】冪的乘方性質(zhì)為“冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘”。而錯解把指數(shù)相加或把指數(shù)進行乘方運算了，這些都是不理解性質(zhì)造成的。

【正解】（-a2）3?（-a）3=-a6?（-a3）=a9。

例5計算（x6）2?（-x3）2。

【錯解】（x6）2?（-x3）2=x36?x9=x45。

【分析】本題錯在把指數(shù)進行乘方運算了，正確的解法應(yīng)按冪的運算性質(zhì)“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”進行計算。

【正解】（x6）2?（-x3）2=x12?x6=x18。

三、混淆冪的意義與冪的運算性質(zhì)

例6 比較234與243的大小。

【錯解】∵234=212，243=212，

∴234=243。

【分析】錯解將冪的意義與冪的乘方混淆。234不是212，它是以2為底數(shù)，以 34=81為指數(shù)的冪。同理，243也不是212，它是以2為底數(shù)，以43=64為指數(shù)的冪。因為兩個冪的底數(shù)相同，所以我們只需比較指數(shù)大小即可。

【正解】∵234=281，243=264，2＞1，81＞64，

∴281＞264，即 234＞243。