具有多種吸引子共存類型的新型四維混沌系統(tǒng)

鮮永菊 莫運輝 徐昌彪 吳霞 何穎輝

(1.重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400000；2.重慶郵電大學 光電工程學院，重慶 400000)

混沌作為一種非常豐富且有趣的復雜非線性現(xiàn)象在經(jīng)濟[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡[2- 5]、圖像加密[6- 7]、保密通信[8- 9]等領域得到了極大的關注。自Lorenz[10]于1963年發(fā)現(xiàn)第1個混沌吸引子以來，許多學者已經(jīng)構建了許多具有混沌吸引子的新型混沌系統(tǒng)，例如Jerk系統(tǒng)[11- 12]；無平衡混沌系統(tǒng)[13]；分數(shù)階混沌系統(tǒng)[14- 15]等等。

值得注意的是，混沌系統(tǒng)不僅會產(chǎn)生混沌吸引子，而且還會在某些特定參數(shù)下產(chǎn)生幾個獨立的吸引子，即多個共存吸引子。一個典型的例子是著名的Lorenz系統(tǒng)的蝶形吸引子可以分解成兩個共存的混沌吸引子或兩個共存的極限環(huán)[16]。通過深入研究，已發(fā)現(xiàn)一些三維混沌系統(tǒng)在特殊參數(shù)值下存在共存的吸引子[17- 19]，亦在三維混沌系統(tǒng)的基礎上，利用線性和非線性反饋控制構造了具有不同類型吸引子共存的4D和5D混沌系統(tǒng)[20- 28]。例如文獻[20]提出的混沌系統(tǒng)在不同參數(shù)條件下，具有2個雙翼蝶形吸引子共存以及四翼蝶形吸引子。此外，該系統(tǒng)還存在2個雙翼蝶形吸引子和4個極限環(huán)共存、4個單渦卷吸引子共存、2個雙渦卷吸引子和1個極限環(huán)共存、4個極限環(huán)共存。文獻[21]構建了1個具有3個混沌吸引子和1個極限環(huán)共存、3個極限環(huán)共存、2個混沌吸引子和2個極限環(huán)共存的吸引子。文獻[22]提出了1個存在不同類型的不對稱共存吸引子的混沌系統(tǒng)，其中包括2個周期吸引子共存、1個混沌和1個周期吸引子共存、2個混沌吸引子共存。此外，Prakash等[29]提出了一種特殊的周期性強迫振蕩器，它產(chǎn)生無數(shù)個共存的嵌套吸引子，包括極限環(huán)和混沌吸引子。多個共存的吸引子意味著系統(tǒng)具有多個穩(wěn)態(tài)，通常對系統(tǒng)的性能起著重要影響[30- 32]，比如在不調(diào)整參數(shù)的情況下能實現(xiàn)不同狀態(tài)的切換，使系統(tǒng)具有較好的靈活性。

正如許多文獻所述，對混沌的研究似乎已經(jīng)達到了成熟的程度[33- 39]。然而，共存吸引子作為混沌理論的一個新研究方向，仍處于起步階段?，F(xiàn)有文獻報道的系統(tǒng)中的吸引子共存類型至多達到6種，本研究提出的系統(tǒng)有10種吸引子共存類型。本研究在文獻[21]提出的混沌系統(tǒng)的基礎上構造了一個具有多穩(wěn)定性的新型四維耗散混沌系統(tǒng)，新系統(tǒng)的重要特性體現(xiàn)在：存在10種吸引子共存類型，即4個周期1吸引子共存、2個雙渦卷吸引子共存、2個周期1吸引子共存、混沌與擬周期吸引子共存、2個混沌吸引子共存、4個混沌吸引子共存、2個混沌吸引子與2個周期4吸引子、3個混沌吸引子和2個周期1吸引子、2個周期1和2個周期2吸引子共存、4個點吸引子共存；在參數(shù)變化b和c改變時，系統(tǒng)頻繁地在周期和混沌狀態(tài)之間切換；隨著參數(shù)a的變化，系統(tǒng)吸引子形狀從單渦卷吸引子到雙渦卷吸引子，最后到四渦卷吸引子。

1 系統(tǒng)模型與基本特性

文獻[21]提出的混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(1)

其中，x、y、z、w為系統(tǒng)變量，a、b、c、m為系統(tǒng)參數(shù)。將式(1)中第1個方程右邊添加線性項-bz，第4個方程的非線性項y2改為線性項-w。可得新型四維混沌系統(tǒng)為

(2)

其中，a∈[0，35]，b∈[-5，3]，c∈[3，8]。對于系統(tǒng)(2)，有

(3)

顯然c>0時，系統(tǒng)(2)是耗散的。

平衡點的數(shù)量和穩(wěn)定性對系統(tǒng)的動態(tài)行為起著至關重要的影響，多個平衡點的存在亦是產(chǎn)生多渦卷吸引子和多共存吸引子的一個重要因素[40- 41]。為得到系統(tǒng)(2)的平衡點，令式(2)左邊為0，即

(4)

可得系統(tǒng)的平衡點為

E0=(0，0，0，0)，

(5)

令det(λI-J)=0，其中，λ表示系統(tǒng)(2)的特征值，I表示單位矩陣，由此得到其特征方程為

f(λ)=λ4+A1λ3+A2λ2+A3λ+A4=0

(6)

對于平衡點E0，A1=a+c-1，A2=-c+ac-a+1，A3=-2c-ac+a-6，A4=-2ac-6a。根據(jù)勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)可知，平衡點E0穩(wěn)定的條件為：

取系統(tǒng)參數(shù)a=4.8，b=1，c=5.6，系統(tǒng)(2)的平衡點如下：

E0=(0，0，0，0)，

E1=(4.147，6.945，3.348，-10.044)，

E2=(4.147，-5.945，-2.867，8.601)，

E3=(-4.147，6.945，-3.348，10.044)，

E4=(-4.147，-5.945，2.867，-8.601)。

通過上述穩(wěn)定條件可知平衡點E0、E1、E2、E3、E4是不穩(wěn)定的。當初始值為[1，2，3，4]時，通過數(shù)值仿真，系統(tǒng)(2)存在一個4渦卷吸引子，如圖1所示。此時系統(tǒng)(2)的4個Lyapunov指數(shù)(L)為0.120、-0.017、-1.450、-8.053，其Lyapunov維數(shù)DL=3+(L1+L2+L3)/|L4|=2.883，從而驗證了此吸引子是分形的。

(a)y-z

(b)x-w

2 系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)特性的影響

2.1 參數(shù)a對系統(tǒng)特性的影響

取系統(tǒng)參數(shù)b=1.0，c=5.6，初始值為[1，2，3，4]。當a∈[0，35]時，系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖2所示。當a=0.7，1.2，1.4，1.8，4.0，4.2，4.8時，系統(tǒng)(2)分別表現(xiàn)為周期、單渦卷、雙渦卷、四渦卷、擬周期、周期、四渦卷狀態(tài)。其x-y平面相圖如圖3所示。由圖2和圖3可知，當a∈[0，5]時，隨著a的增加，系統(tǒng)(2)運動狀態(tài)開始從周期到單渦卷吸引子，再從單渦卷吸引子到雙渦卷吸引子，然后經(jīng)過四渦卷吸引子和擬周期狀態(tài)，最后從周期變?yōu)樗臏u卷吸引子。當a∈(5.0，5.4]∪(5.8，6.6]∪(10.2，11.5]∪(23.0，35.0]時，系統(tǒng)(2)最大Lyapunov指數(shù)近似為0，此時系統(tǒng)(2)表現(xiàn)為周期運動形式；當a∈(5.4，5.8]∪(6.6，10.2]∪(11.5，23.0]時，系統(tǒng)(2)處于混沌狀態(tài)。其中a=5.2，25.0時的相圖如圖3所示。

(a)Lyapunov指數(shù)譜

(b)分岔圖

Fig.2 Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagram of the system(2)with varied parametera

(a)a=0.5

(b)a=1.2

(c)a=1.4

(d)a=1.8

(e)a=4.0

(f)a=4.2

(g)a=4.8

(h)a=5.2

(i)a=25.0

2.2 參數(shù)b 對系統(tǒng)特性的影響

取系統(tǒng)參數(shù)a=1.0，c=4.8，初始值為[1，2，3，4]。當b∈[-5.00，3.00]時，系統(tǒng)(2)的Lya-punov指數(shù)譜和分岔圖見圖4。從圖4可知，系統(tǒng)(2)整體運行狀態(tài)隨系統(tǒng)參數(shù)的變化頻繁地在周期和混沌狀態(tài)之間切換，當b∈[-5.00，-3.90]∪(-3.75，-3.00]∪(-0.64，-0.60]∪(-0.56，-0.52]∪(1.24，1.52]，系統(tǒng)(2)最大Lyapunov指數(shù)近似為0，此時表現(xiàn)為周期運動形式。當b∈(-3.90，-3.75]∪(-3.00，-0.64]∪(-0.60，-0.56]∪(-0.52，1.24]∪(1.52，3.00]，系統(tǒng)(2)處于混沌狀態(tài)。

(a)Lyapunov指數(shù)譜

(b)分岔圖

Fig.4 Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagram of the system(2)with varied parameterb

2.3 參數(shù)c對系統(tǒng)特性的影響

取系統(tǒng)參數(shù)a=1.0，b=1.6，初始值為[1，2，3，4]。當c∈[3.00，8.00]時，系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖5所示。從圖5可知，系統(tǒng)(2)整體運行狀態(tài)隨系統(tǒng)參數(shù)的變化頻繁地在周期和混沌狀態(tài)之間切換，其中當c∈[3.000，3.250]∪(3.800，3.875]∪(4.125，4.250]∪(4.850，4.900]∪(5.175，8.000]，系統(tǒng)(2)最大Lyapunov指數(shù)近似為0，此時系統(tǒng)(2)表現(xiàn)為周期運動形式；當c∈(3.250，3.800]∪(3.875，4.125]∪(4.250，4.850]∪(4.900，5.175]，系統(tǒng)(2)處于混沌狀態(tài)，并且系統(tǒng)(2)在c=5.238、c=5.425、c=6.860和c=7.188處出現(xiàn)倍周期分岔。

(a)Lyapunov指數(shù)譜

(b)分岔圖

Fig.5 Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagram of the system(2)with varied parameterc

3 多種吸引子共存類型

在一定的參數(shù)組合下，不同的初值組合導致系統(tǒng)的運行軌跡不同，一些運行軌跡最后都收斂在同一個吸引子上，而有些運行軌跡則收斂在其他的吸引子上，稱這些吸引子為共存吸引子[42]。如果他們具有不同的吸引子，相同的動力學行為，則稱為齊次共存吸引子。如果它們具有不同的動力學行為，不同的吸引子，則稱為異質(zhì)共存吸引子[17，43]。

3.1 參數(shù)a變化下的共存

系統(tǒng)參數(shù)b=1.0，c=5.6，當0

當a=0.2，0.7，1.4時，系統(tǒng)分別表現(xiàn)為4個點吸引子共存、4個周期1吸引子共存、2個雙渦卷吸引子共存。其共存的x-y平面相圖如圖7所示。

(a)b=1.0，c=5.6

(b)b=1.0，c=5.6

(c)初始值為[1，-2，3，4]

(d)初始值為[1，-2，-3，4]

(e)初始值為[-1，2，-3，4]

表1 參數(shù)a變化下的系統(tǒng)(2)共存類型

Table 1 Coexistence types of system(2)with varied parametera

a的取值范圍初始值共存類型(0.600,0.975][1,2,3,4],[1,-2,3,4]周期吸引子共存(0.975,1.150][1,2,3,4],[1,-2,3,4]周期與混沌吸引子共存(1.150,1.700][1,2,3,4],[1,-2,3,4]混沌吸引子共存(0.575,1.000][1,-2,-3,4],[-1,2,-3,4]周期吸引子共存(1.000,1.150][1,-2,-3,4],[-1,2,-3,4]周期與混沌吸引子共存(1.150,1.650][1,-2,-3,4],[-1,2,-3,4]混沌吸引子共存

3.2 參數(shù)b變化下的共存

系統(tǒng)參數(shù)a=1.0，c=4.8，當-5.0

(a)a=0.2

(b)a=0.7

(c)a=1.4

Fig.7 Phase diagrams inx-yplane with different initial values and varied parametera

(a)a=1.0，c=4.8

(b)a=1.0，c=4.8

(c)初始值為[1，-2，3，4]

(d)初始值為[1，-2，-3，4]

(e) 初始值為[-1，2，-3，4]

當b=-5.0，-3.8，-2.5，1.6時， 系統(tǒng)(2)分別表現(xiàn)為2個周期1吸引子共存、混沌與擬周期共存、2個混沌吸引子共存、4個混沌吸引子共存， 其共存的x-y平面相圖分別如圖9(a)-(d)所示。當a=1.0，b=-3.0，c=4.8時， 初始值分別取[1，2，3，4]、[1，-2，3，4]、[1，2，-3，4]和[-1，-2，3，4]時，2個混沌吸引子與2個周期4吸引子共存， 其共存的x-y平面如圖9(e)所示。當a=1.0，b=0.5，c=4.8，初始值分別取[1，-2，3，4]、[1，-2，-3，4]、[-1，2，-3，4]、[1，2，3，-4]以及[1，-2，-3，4]時， 3個混沌吸引子和2個周期1吸引子共存，其共存的x-y平面如圖9(f)所示。

表2 參數(shù)b變化下的系統(tǒng)(2)共存類型

Table 2 Coexistence types of system(2)with varied parameterb

b的取值范圍初始值共存類型(-5.000,-4.264),(-3.688,-3.016],(-0.872,-0.616][1,2,3,4],[1,-2,3,4]周期吸引子共存(-3.900,-3.750),(-1.000,-0.872][1,2,3,4],[1,-2,3,4]混沌與擬周期吸引子共存(-3.016,-1.000],(-0.552,1.240],(1.520,3.000][1,2,3,4],[1,-2,3,4]混沌吸引子共存(-0.600,-0.552],(1.240,1.520][1,2,3,4],[1,-2,3,4]周期與混沌吸引子共存(-5.000,-4.008],(-3.560,-3.016][1,-2,-3,4],[-1,2,-3,4]周期吸引子共存(-4.008,-3.560][1,-2,-3,4],[-1,2,-3,4]周期與擬周期吸引子共存(-3.016,-1.544],(-1.000,-0.296],(-0.200,2.800][1,-2,-3,4],[-1,2,-3,4]混沌吸引子共存(-1.544,-1.320][1,-2,-3,4],[-1,2,-3,4]混沌與擬周期吸引子共存(-1.320,-1.000],(-0.296,-0.200][1,-2,-3,4],[-1,2,-3,4]周期與混沌吸引子共存

(a)a=1.0，b=-5.0，c=4.8

(b)a=1.0，b=-3.8，c=4.8

(c) a=1.0，b=-2.5，c=4.8

(d) a=1.0，b=1.6，c=4.8

(e) a=1.0，b=-3.0，c=4.8

(f)a=1.0，b=0.5，c=4.8

Fig.9 Phase diagrams inx-yplane with different initial values and varied parameterb

3.3 參數(shù)c變化下的共存

系統(tǒng)參數(shù)a=1.0，b=0.6，當3.0

(a)a=1.0，b=0.6

(b)a=1.0，b=0.6

(c)初始值為[1，2，3，4]

(d)初始值為[-1，2，-3，4]

(e)初始值為[1，-2，-3，4]

(f)初始值為[1，-2，3，4]

圖10 參數(shù)c變化時系統(tǒng)(2)的共存分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜

Fig.10 Coexistence bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectra of system(2)with varied parameterc

圖11 參數(shù)a=1.0，b=0.6，c=5.6的x-y平面相圖

Fig.11 Phase diagrams inx-yplane whena=1.0，b=0.6，c=5.6

表4總結了系統(tǒng)(2)共存吸引子的對應參數(shù)值、初始值、最大李雅普諾夫指數(shù)(MLEs)，其中Lk、Lb、Lr、Lp、Lg分別表示黑色、藍色、紅色、粉紅色、灰色吸引子的MLEs。

表3 參數(shù)c變化下的系統(tǒng)(2)共存類型

Table 3 Coexistence types of system(2)with varied parameterc

c的取值范圍初始值共存類型(3.000,3.875],(3.950,5.075],(5.125,5.175][1,2,3,4],[-1,2,-3,4]混沌吸引子共存(3.875,3.950][1,2,3,4],[-1,2,-3,4]擬周期吸引子共存(5.075,5.125],(5.175,8.000][1,2,3,4],[-1,2,-3,4]周期吸引子共存(3.000,3.875],(3.950,4.225],(4.425,5.625][1,-2,-3,4],[1,-2,3,4]混沌吸引子共存(3.875,3.950][1,-2,-3,4],[1,-2,3,4]擬周期吸引子共存(4.225,4.425],(5.625,8.000][1,-2,-3,4],[1,-2,3,4]周期吸引子共存

表4 不同參數(shù)和初始值下的共存吸引子

通過上述分析可知，系統(tǒng)(2)在不同的參數(shù)和初始值下出現(xiàn)了多種吸引子共存類型，多個吸引子的共存意味著系統(tǒng)對參數(shù)和初始值的敏感性。參數(shù)和初始值的變化亦導致系統(tǒng)的動態(tài)演化與倍分岔的發(fā)生。

4電路仿真

4.1 基于Multism的模擬電路設計與仿真

利用Multisim電路仿真軟件，采用線性電阻、電容、LM2924N運算放大器、AD633模擬乘法器，實現(xiàn)了該混沌系統(tǒng)的電路設計與仿真。根據(jù)混沌系統(tǒng)動力學方程，設計的電路原理圖如圖12所示，其中乘法器的輸出增益為0.1。根據(jù)系統(tǒng)(2)的電路原理圖，系統(tǒng)自激振蕩方程為：

(7)

圖12 電路原理圖

其中，R1-R24為電阻，C1-C4為電容，t為時間。取電容C1=C2=C3=C4=1μF，R6=R7=R17=R18=R23=R24=100 kΩ，R5=R11=R16=R22=1 kΩ。

(8)

當a=1.4，b=1.0，c=5.6，通過對比方程(7)和(8)，并保持相應的系數(shù)相等，可得電阻值為：

取初始值為[1，2，3，4]，圖13(a)為示波器上觀察到的結果。當a=1.8，b=1.0，c=5.6以及a=1.0，b=1.6，c=4.8時，示波器上顯示的結果分別為圖13(b)-13(f)。可以看出實驗結果與數(shù)值仿真結果完全相符。

(a)a=1.4，b=1.0，c=5.6

(b)a=1.8，b=1.0，c=5.6

(c)a=1.0，b=1.6，c=4.8

(d)a=1.0，b=1.6，c=4.8

(e) a=1.0，b=1.6，c=4.8

(f)a=1.0，b=1.6，c=4.8

4.2 基于現(xiàn)場可編程門陣列的數(shù)字電路設計與仿真

采用歐拉算法對系統(tǒng)(2)進行離散化處理，得到如式(9)所示差分方程，其中參數(shù)a=1.4，b=1.0，c=5.6，迭代步長Δt=0.001。

(9)

式中，n=0，1，2，…。

編譯后的Xilinx RTL原理圖如圖14所示。當初始值為[1，2，3，4]時，通過示波器觀察到的波形如圖15(a)所示。當a=1.8，b=1.0，c=5.6以及a=1.0，b=1.6，c=4.8時，示波器上顯示的結果分別為圖15(b)-15(f)所示，可以看出，F(xiàn)PGA數(shù)字電路實現(xiàn)結果與Multisim模擬電路仿真結果以及Matlab的數(shù)值仿真結果相符。

圖14 Xilinx RTL原理圖

(a)a=1.4，b=1.0，c=5.6

(b)a=1.8，b=1.0，c=5.6

(c)a=1.0，b=1.6，c=4.8，初始值為[-1，2，-3，4]

(d)a=1.0，b=1.6，c=4.8，初始值為[1，2，3，4]

(e) a=1.0，b=1.6，c=4.8，初始值為[1，-2，3，4]

(f)a=1.0，b=1.6，c=4.8，初始值為[1，-2，-3，4]

5 結論

本研究提出了一個具有大量吸引子共存類型的新型四維耗散混沌系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的動力學特性，設計了系統(tǒng)的模擬電路和數(shù)字電路，制作了FPGA電路，有如下結論：

(1)當參數(shù)a∈[0，35]時，能夠產(chǎn)生單渦卷、雙渦卷、4渦卷等多種拓撲結構的混沌吸引子，系統(tǒng)亦存在4個點吸引子共存、4個周期1吸引子共存、2個雙渦卷吸引子共存。

(2)當參數(shù)b∈[-5，3]時，系統(tǒng)整體運動狀態(tài)隨參數(shù)的變化頻繁地在周期和混沌之間切換，系統(tǒng)存在2個周期1吸引子共存、混沌與擬周期吸引子共存、2個混沌吸引子共存、4個混沌吸引子共存、2個混沌吸引子與2個周期4吸引子、3個混沌吸引子和2個周期1吸引子

(3)當c∈[3，8]時，系統(tǒng)整體運動狀態(tài)隨參數(shù)的變化頻繁地在周期和混沌之間切換。系統(tǒng)存在2個周期1和2個周期2吸引子共存。