基于相平面控制的固體火箭快速精確入軌策略

吳 楠 張 力

1.戰(zhàn)略支援部隊(duì)信息工程大學(xué)，鄭州 450001 2.西安衛(wèi)星測(cè)控中心著陸場(chǎng)站，渭南 714000

隨著空間技術(shù)的不斷發(fā)展，其軍事應(yīng)用正從空間支援向空間作戰(zhàn)轉(zhuǎn)變[1]，某些特殊任務(wù)要求載荷要以同時(shí)滿足終端位置和速度矢量(即六軌道根數(shù))約束條件下直接入軌，做到“快速精確進(jìn)入空間”。固體小型運(yùn)載火箭是實(shí)現(xiàn)這一要求的有效途徑，但對(duì)入軌彈道規(guī)劃提出了新的要求。

固體小型運(yùn)載火箭的入軌彈道規(guī)劃，一般有以下2種方法：a)以滿足入軌點(diǎn)約束、燃料最省為性能指標(biāo)，基于彈道計(jì)算模型，采用數(shù)值優(yōu)化算法對(duì)飛行程序參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，進(jìn)而獲得最優(yōu)入軌彈道[2-4]；b)在原始彈道的基礎(chǔ)上，入軌段彈道采用迭代制導(dǎo)方法，控制火箭以滿足終端約束入軌[5-7]。以上2種方法均對(duì)某種性能指標(biāo)(通常為燃料最省)具有最優(yōu)性，但無(wú)法達(dá)到以滿足六軌道根數(shù)約束快速進(jìn)入空間的要求：對(duì)于前者，任務(wù)的不確定性導(dǎo)致入軌條件不斷變化，較長(zhǎng)的規(guī)劃迭代時(shí)間影響了方法的快速響應(yīng)性，且六軌道根數(shù)約束過(guò)強(qiáng)(通常為3到5個(gè))，全局最優(yōu)解不一定存在；而對(duì)于后者，只能控制推力方向無(wú)法改變推力大小的推力模式?jīng)Q定了該方法無(wú)法對(duì)入軌點(diǎn)x方向位置分量進(jìn)行控制，即無(wú)法以滿足六軌道根數(shù)約束精確入軌。

本文提出了一種基于相平面控制的入軌彈道設(shè)計(jì)策略，假設(shè)運(yùn)載火箭采用四級(jí)固體發(fā)動(dòng)機(jī)，其中前面三級(jí)采用固定飛行程序[8]，四級(jí)飛行段作為入軌段，基于相平面原理提出并證明在入軌段經(jīng)過(guò)2次恒定方向推力可使火箭以滿足位置和速度矢量約束直接入軌，并給出火箭入軌段初始點(diǎn)與入軌點(diǎn)狀態(tài)所需滿足的條件。進(jìn)而推導(dǎo)了初始點(diǎn)及入軌點(diǎn)狀態(tài)與推力方向角的關(guān)系方程組，采用數(shù)值方法求解該方程組獲得彈道設(shè)計(jì)需要的推力方向角。

1 2次恒定加速度的相平面控制策略

僅考慮火箭的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，不考慮繞心運(yùn)動(dòng)，即可以把火箭簡(jiǎn)化為一質(zhì)點(diǎn)，通過(guò)改變過(guò)質(zhì)心的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)推力方向?qū)υ撡|(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制，控制量為推力方向角(俯仰和偏航)。

對(duì)于該種情況，火箭入軌段的相平面控制策略為：假設(shè)入軌段飛行時(shí)間已知，將入軌點(diǎn)狀態(tài)反向軌道積分至入軌段飛行初始時(shí)刻，得到一個(gè)“虛目標(biāo)”的初始位置速度狀態(tài)，基于相平面的bang-bang控制原理對(duì)火箭與虛目標(biāo)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制，經(jīng)過(guò)2次恒定方向推力使得當(dāng)入軌段飛行結(jié)束時(shí)，火箭與虛目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)相平面的相點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)，即相對(duì)位置速度均為0，此時(shí)火箭自然以滿足終端位置和速度矢量約束入軌。

為了便于闡述2次恒定方向推力的相平面控制入軌策略，首先引入以下簡(jiǎn)化假設(shè)：a)引力加速度為常值；b)質(zhì)量恒定，恒定推力即為恒定加速度；c)火箭在發(fā)射慣性系的xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，決定推力方向的姿態(tài)角僅為俯仰角φ。

“虛目標(biāo)”其實(shí)就是在目標(biāo)軌道上運(yùn)行的虛擬載荷，只受地球引力作用，且經(jīng)過(guò)入軌段飛行時(shí)間T后，“虛目標(biāo)”與入軌點(diǎn)狀態(tài)保持一致。因此若已知入軌點(diǎn)的狀態(tài)XTf(位置、速度)，可反向軌道積分獲得虛目標(biāo)在火箭入軌段飛行開(kāi)始時(shí)刻的狀態(tài)XT0，與火箭開(kāi)始時(shí)刻的狀態(tài)XM0相減，得到火箭與虛目標(biāo)的相對(duì)狀態(tài)X0=XM0-XT0。相應(yīng)的相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中:r表示發(fā)射慣性坐標(biāo)系下火箭與虛目標(biāo)的相對(duì)位置矢量;aM和aT分別表示該坐標(biāo)系下的火箭加速度矢量和虛目標(biāo)加速度矢量。由于虛目標(biāo)無(wú)推力，且火箭與虛目標(biāo)的距離較近，可認(rèn)為二者引力加速度相等，根據(jù)假設(shè)xoy平面內(nèi)相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程的標(biāo)量形式為

(2)

式中:a表示常值火箭推力加速度。

當(dāng)火箭姿態(tài)角恒定時(shí)，根據(jù)式(2)可分別得到相對(duì)運(yùn)動(dòng)x和y軸過(guò)相平面原點(diǎn)的相軌跡方程

(3)

式(3)表明φ值的不同取值使得過(guò)原點(diǎn)的相軌跡為一簇拋物線，φ值決定了拋物線開(kāi)口的大小。

(4)

必存在一個(gè)φ值

(5)

(6)

(7)

以上推導(dǎo)說(shuō)明對(duì)于無(wú)法改變推力大小、只能改變推力方向的火箭入軌飛行段，利用傳統(tǒng)bang-bang控制(一次恒定方向推力)只能對(duì)某一坐標(biāo)軸的位置和速度進(jìn)行控制，入軌點(diǎn)約束無(wú)法全部滿足。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，對(duì)傳統(tǒng)相平面法的控制方式進(jìn)行擴(kuò)展，在整個(gè)入軌飛行段，進(jìn)行2次恒定姿態(tài)角的常加速度控制，控制時(shí)間分別為T(mén)1和T2，二者滿足T1+T2=T，相應(yīng)的俯仰角分別為φ1和φ2，是可以調(diào)整的參數(shù)。當(dāng)x軸和y軸相平面的初始相點(diǎn)滿足一定條件時(shí)，通過(guò)對(duì)參數(shù)(T1、φ1和φ2)的調(diào)整，可使2個(gè)相平面的相點(diǎn)同時(shí)到達(dá)原點(diǎn)。下面給出x軸和y軸相平面的初始相點(diǎn)所需滿足的條件。

(8)

(9)

將式(9)等式兩側(cè)分別平方，位置和速度項(xiàng)分別相加可得

(10)

(11)

圖1 P、V隨Δφ和T1變化的曲面

圖2 P、V的等值線

(12)

由上述兩個(gè)條件所確定的y軸相平面初始相點(diǎn)取值范圍與式(7)相比有了很大的擴(kuò)展，x軸和y軸相平面的初始相點(diǎn)選取具有一定的自由性，因此2次恒定姿態(tài)角的常加速度控制方法具有實(shí)用性。對(duì)滿足條件的x軸和y軸相平面的初始相點(diǎn)，利用該方法通過(guò)對(duì)參數(shù)(T1、φ1和φ2)的選擇，可使2個(gè)相平面的相點(diǎn)同時(shí)到達(dá)原點(diǎn)，即相對(duì)位置速度均為0，保證火箭入軌時(shí)終端位置和速度矢量約束同時(shí)滿足。

2 三維空間變質(zhì)量條件下的姿態(tài)角解算

在固體火箭入軌飛行段，火箭在三維空間運(yùn)動(dòng)，姿態(tài)角不僅包括俯仰角φ，還有偏航角ψ，且火箭的質(zhì)量是變化的，若假設(shè)質(zhì)量變化率恒定，則加速度按雙曲線規(guī)律變化。將2次恒定加速度的相平面控制方法用于火箭入軌飛行段彈道設(shè)計(jì)，需對(duì)方法進(jìn)一步擴(kuò)展：a)2段的姿態(tài)角控制參數(shù)為(φ1、ψ1)，(φ2、ψ2)；b)為便于公式推導(dǎo)與分析，根據(jù)視速度與時(shí)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，采用視速度模量耗費(fèi)量[9]W1和W2代替時(shí)間T1和T2作為控制變量。

(13)

假設(shè)初始時(shí)刻視速度模量耗費(fèi)量W0=0，2次恒定姿態(tài)角推力控制結(jié)束時(shí)的視速度模量耗費(fèi)量分別為W1和W2

(14)

式中：m0為火箭初始時(shí)刻質(zhì)量。當(dāng)入軌段飛行時(shí)間T固定時(shí)，W1和W2不獨(dú)立，兩者的和為定值

(15)

經(jīng)過(guò)2次恒定姿態(tài)角的推力控制后，x軸方向的相對(duì)位置速度與(W1,φ1,φ2,ψ1,ψ2)的關(guān)系為

(16)

(17)

同理可得y和z軸初始相對(duì)狀態(tài)與控制參數(shù)的關(guān)系

(18)

式中

(19)

與第1節(jié)類似，當(dāng)初始相對(duì)位置速度滿足式(20)，且PI和VI值較為接近時(shí)，則存在方程組(17)和式(18)的一組解(W1,φ1,φ2,ψ1,ψ2)，可使3個(gè)坐標(biāo)軸相平面的相點(diǎn)同時(shí)到達(dá)原點(diǎn)，在三維空間中保證火箭入軌段飛行結(jié)束時(shí)終端位置和速度6個(gè)分量的約束同時(shí)滿足。

(20)

方程組(17)和式(18)無(wú)法直接求解，建立無(wú)量綱化指標(biāo)函數(shù)

J=((x0-Cx)/Re)2+((y0-Cy)/Re)2+

(21)

采用數(shù)值方法尋優(yōu)的關(guān)鍵是給出合理的設(shè)計(jì)變量初值，假設(shè)2次推力方向均與待增速度矢量相同，則初值可用式(22)計(jì)算

(22)

當(dāng)獲得火箭入軌飛行段初始狀態(tài)XM0、入軌點(diǎn)狀態(tài)XTf和飛行時(shí)間T后，利用本節(jié)算法進(jìn)行推力姿態(tài)角解算的流程為：

(a)將入軌點(diǎn)狀態(tài)反向軌道積分至入軌段飛行初始時(shí)刻，得到虛目標(biāo)的初始狀態(tài)XT0；

(c)利用式(20)計(jì)算PI和VI值，如果滿足式(20)，說(shuō)明解存在，轉(zhuǎn)入下一步；如果不滿足，說(shuō)明需要消除的相對(duì)偏差量大于火箭擁有的視速度模量耗費(fèi)量，即相對(duì)偏差過(guò)大已超出了火箭的修偏能力，方程無(wú)解，此時(shí)應(yīng)重新設(shè)計(jì)初始點(diǎn)或入軌點(diǎn)，以減小相對(duì)偏差，或增加視速度模量耗費(fèi)量，以增大火箭修偏能力，改變幅度至PI和VI值滿足式(20)止；

(d)若解存在則利用式(22)求出設(shè)計(jì)參數(shù)(W1,φ1,φ2,ψ1,ψ2)的初值；

3 仿真驗(yàn)證

根據(jù)初始相對(duì)狀態(tài)計(jì)算PI=0.9854，VI=0.9719，可知解存在，然后利用式(22)求出設(shè)計(jì)參數(shù)的初值如表2，采用數(shù)值方法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，獲得最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)值(見(jiàn)表2)，相應(yīng)的指標(biāo)函數(shù)極小值為Jmin=1.135×10-10，可知此時(shí)對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)即為方程組的解。

將優(yōu)化的設(shè)計(jì)參數(shù)代入火箭入軌飛行段的彈道計(jì)算，得到火箭的實(shí)際入軌點(diǎn)狀態(tài)和入軌點(diǎn)偏差如表1，可知精度滿足入軌要求。圖3～5給出相對(duì)運(yùn)動(dòng)3個(gè)坐標(biāo)軸方向的相軌跡曲線，可以看出每個(gè)方向的相軌跡均由2段曲線拼接組成，相點(diǎn)經(jīng)過(guò)2次轉(zhuǎn)移最終同時(shí)到達(dá)原點(diǎn)，火箭的終端位置速度約束同時(shí)得到滿足。

表1 仿真算例中各狀態(tài)參數(shù)

表2 設(shè)計(jì)參數(shù)的初值和優(yōu)化值

圖3 x方向相對(duì)運(yùn)動(dòng)的相軌跡

圖4 y方向相對(duì)運(yùn)動(dòng)的相軌跡

圖5 z方向相對(duì)運(yùn)動(dòng)的相軌跡

對(duì)于本文算例，采用迭代制導(dǎo)方法進(jìn)行入軌計(jì)算，與本文算法進(jìn)行比較分析。制導(dǎo)結(jié)束時(shí)火箭狀態(tài)參數(shù)以及入軌偏差結(jié)果如表1所示，整個(gè)制導(dǎo)時(shí)間為69.12s，推力方向角俯仰角由-24.6(°)近似線性變化至-47.5(°)，偏航角由2.6(°)近似線性變化至-9.6(°)。對(duì)比二者結(jié)果可知：迭代制導(dǎo)方法的位置誤差要顯著大于本文算法，尤其是x方向位置誤差較為明顯，但迭代制導(dǎo)方法所需時(shí)間較本文算法少0.88s，即燃料可節(jié)省10.2kg，且迭代制導(dǎo)方法的推力方向角為連續(xù)變化，更易進(jìn)行控制。

4 結(jié)論

1)對(duì)于無(wú)法改變推力大小、只能控制推力方向且飛行時(shí)間固定的火箭入軌飛行段，證明了經(jīng)過(guò)2次恒定方向推力使火箭以同時(shí)滿足位置和速度矢量(即6軌道根數(shù))約束直接入軌的可行性，并推導(dǎo)出火箭初始狀態(tài)與入軌點(diǎn)狀態(tài)所需滿足的條件；

2)為保證火箭以滿足6個(gè)軌道根數(shù)約束直接入軌，提出一種基于相平面控制原理的入軌段彈道設(shè)計(jì)方法，通過(guò)2次恒定方向推力控制使火箭在入軌段飛行結(jié)束時(shí)直接入軌，入軌精度滿足要求；

3)推導(dǎo)了火箭初始狀態(tài)、入軌點(diǎn)狀態(tài)與控制參數(shù)(視速度模量耗費(fèi)量和推力方向角)的關(guān)系方程組，采用參數(shù)尋優(yōu)的數(shù)值方法對(duì)方程組進(jìn)行求解以獲得彈道計(jì)算所需的控制參數(shù)。由于本文算法明確定義了控制方式，使解的范圍大大縮小，且獲得了輸入變量與輸出變量間的解析表達(dá)式，因此與傳統(tǒng)軌跡優(yōu)化方法相比，本文算法在控制參數(shù)的解算上更為簡(jiǎn)便和穩(wěn)健，極大地縮短了彈道設(shè)計(jì)的耗時(shí)；

4)本文算法是以放棄燃料最省的最優(yōu)性換取對(duì)6個(gè)要素的控制，且對(duì)滿足一定條件的初始狀態(tài)才有解，因此與迭代制導(dǎo)方法的結(jié)論并不違背。本文算法兼有能量管理[11]的目的，保證火箭入軌的同時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)消耗掉多余燃料，實(shí)行耗盡關(guān)機(jī)，簡(jiǎn)化了入軌級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)。