基于LMI的空間站角動(dòng)量管理控制器多級(jí)設(shè)計(jì)*

王夢(mèng)菲 張 軍 李金哲

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190

空間站長(zhǎng)期在軌飛行時(shí)，采用控制力矩陀螺(Control Moment Gyros, CMGs)作為姿態(tài)控制的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。由于其大質(zhì)量、大慣量的特點(diǎn)，長(zhǎng)期飛行時(shí)無(wú)法像普通衛(wèi)星一樣利用磁力矩器進(jìn)行CMGs的角動(dòng)量卸載，而需要借助空間環(huán)境力矩進(jìn)行系統(tǒng)的角動(dòng)量卸載；同時(shí)CMGs還要進(jìn)行空間站的姿態(tài)控制。在軌運(yùn)行時(shí)，這2個(gè)任務(wù)是同時(shí)完成的，從而導(dǎo)致了空間站這種大型組合體航天器所特有的姿態(tài)控制和角動(dòng)量管理(Attitude Control and Momentum Management, ACMM)問(wèn)題[1-2]。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于空間站姿態(tài)控制和動(dòng)量管理方面已有不少研究成果。Wie等解耦空間站姿態(tài)，引入濾波狀態(tài)量并采用線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator, LQR)設(shè)計(jì)控制器，減小了由氣動(dòng)力矩引起的空間站姿態(tài)和CMG角動(dòng)量振蕩[3]；Sunkel等基于矩陣符號(hào)函數(shù)，將高維系統(tǒng)分解成塊解耦較低維子系統(tǒng)，再利用循環(huán)次優(yōu)LQR算法設(shè)計(jì)控制器，將極點(diǎn)配置在扇形開(kāi)區(qū)域內(nèi)[4]；Harduvel等基于三軸耦合模型，引入濾波狀態(tài)量將原系統(tǒng)擴(kuò)維，利用傳統(tǒng)的LQR算法設(shè)計(jì)了一種ACMM控制器，能有選擇性地抑制姿態(tài)或動(dòng)量狀態(tài)中恒定或周期性干擾，這種算法在國(guó)際空間站中得到了應(yīng)用[5]；Elgersma等利用μ分析技術(shù)評(píng)估了H∞控制算法和簡(jiǎn)化控制補(bǔ)償器設(shè)計(jì)方法(內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制和外環(huán)動(dòng)量管理)對(duì)于系統(tǒng)慣量變化的魯棒性[6]；倪茂林等對(duì)于線性不確定系統(tǒng)提出一種具有二次性能指標(biāo)的魯棒穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)方法，對(duì)某型空間站的俯仰動(dòng)力學(xué)控制系統(tǒng)進(jìn)行了魯棒設(shè)計(jì)并取得了較好的控制效果，但需要冗余的CMG且被控對(duì)象維數(shù)較低，反饋增益陣求解相對(duì)容易[7]；李新峰等建立了軌道系下的空間站線性化動(dòng)力學(xué)模型，在Sunkel等提出的解耦算法基礎(chǔ)上還考慮了空間站特有的干擾特性，通過(guò)帶極點(diǎn)配置的LQR方法將閉環(huán)極點(diǎn)配置在扇形區(qū)域內(nèi)，但未考慮系統(tǒng)不確定性[8]。

通過(guò)上述文獻(xiàn)可以看到，ACMM控制對(duì)象是高維的多輸入多輸出系統(tǒng)，傳統(tǒng)上多采用LQR方法，但LQR方法面臨著加權(quán)矩陣選擇的問(wèn)題，一般靠試湊來(lái)獲得加權(quán)陣，通過(guò)設(shè)計(jì)與仿真的反復(fù)迭代以達(dá)到滿意的控制效果，矩陣的選取缺乏理論依據(jù)。大型航天器系統(tǒng)控制維數(shù)高，控制狀態(tài)變量中的姿態(tài)角和角速度與系統(tǒng)角動(dòng)量在數(shù)值量級(jí)上相差能達(dá)到5個(gè)量級(jí)以上，采用LQR方法一次性進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，還常常會(huì)導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算奇異問(wèn)題[4,9]。

針對(duì)上述傳統(tǒng)方法遇到的問(wèn)題，本文提出一種新的控制器設(shè)計(jì)方法，通過(guò)線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)描述系統(tǒng)期望的極點(diǎn)配置區(qū)域，同時(shí)滿足不確定系統(tǒng)一定的魯棒穩(wěn)定要求；通過(guò)求解LMI問(wèn)題得到控制器，避免了傳統(tǒng)LQR方法中加權(quán)矩陣的選擇，彌補(bǔ)了帶極點(diǎn)配置的LQR方法由于分步設(shè)計(jì)而導(dǎo)致極點(diǎn)難以配置在指定梯形區(qū)域的不足；通過(guò)符號(hào)矩陣和求解Lyapunov方程將原系統(tǒng)解耦為維數(shù)較低的子系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)多步設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的逐步配置，避免高維矩陣求解中的數(shù)值奇異問(wèn)題。

1 系統(tǒng)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

CMG動(dòng)力學(xué)可表示為：

(6)

(7)

(8)

在小角度情況下，從體坐標(biāo)系oxbybzb內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jb到Jo的轉(zhuǎn)換可近似為：

(9)

(10)

(11)

式中：常值A(chǔ)i(i=0,1,2)為由三軸分量構(gòu)成的向量。

重力梯度力矩為：

(12)

將式(9)代入式(12)得：

(13)

由式(2)、(4)和(13)得如下動(dòng)力學(xué)方程：

(14)

將式(5)、(7)和(9)代入式(8)并忽略小量高階項(xiàng)得到如下運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(15)

聯(lián)合式(6)、(14)和(15)，得到線性化的 ACMM 狀態(tài)空間模型為：

(16)

1.2 基于內(nèi)模原理的控制模型

(17)

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 基礎(chǔ)引理

定義1[10].對(duì)于復(fù)平面中的區(qū)域D，如果存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣L∈Rm×m和矩陣M∈Rm×m，使得

(18)

定理1[10]在給定2個(gè)LMI區(qū)域D1和D2的情況下，矩陣A同時(shí)是D1-穩(wěn)定和D2-穩(wěn)定的充要條件是存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣X，使得

(19)

考慮如下不確定系統(tǒng)：

(20)

式中:x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；u(t)為系統(tǒng)的控制輸入；v(t)為干擾項(xiàng)，Δ是一個(gè)反映模型參數(shù)不確定性的未知矩陣，并假設(shè)其滿足ΔTΔ≤I。A、H、E、B為相應(yīng)維數(shù)的常矩陣。

定理2 對(duì)于式(20)定義的系統(tǒng)，采用狀態(tài)反饋u(t)=Kx(t)，將極點(diǎn)配置在由條形區(qū)域和扇形區(qū)域共同構(gòu)成的梯形區(qū)域內(nèi)(如圖1)且保證一定魯棒穩(wěn)定性的充要條件是：存在標(biāo)量ε>0和一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣X、矩陣W同時(shí)滿足

(21a)

(21b)

反饋增益矩陣為K=W/X。

圖1 極點(diǎn)配置的梯形區(qū)域

證明：由定理1及參考文獻(xiàn)[10]可知，矩陣A的特征值位于區(qū)域D1(條形)和D2(扇形)組合而成的梯形區(qū)域內(nèi)的充要條件是存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣X，同時(shí)滿足

對(duì)系統(tǒng)(20)引入狀態(tài)反饋u(t)=BKx(t)，同時(shí)使其在區(qū)域D1內(nèi)具有一定的魯棒穩(wěn)定性，上面兩式可變?yōu)?/p>

(Ⅰ)

(Ⅱ)

其中，A1=A+BK+HΔE；A2=A+BK，對(duì)式(Ⅰ)分解可重新寫(xiě)成

由文獻(xiàn)[10]可知，上式對(duì)滿足ΔTΔ≤I的所有不確定矩陣Δ成立當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量ε>0，使得

整理上式并聯(lián)立式(Ⅱ)可得

記W=KX，并應(yīng)用矩陣Schur補(bǔ)性質(zhì)可得與上面兩式等價(jià)的式(21)。定理得證。

定理3[4,11]定義變量h∈R，矩陣A∈Rn×n的特征值為λi(i=1,…,n)，令A(yù)0=A-hIn×n，In×n為n×n單位陣，下面給出2個(gè)矩陣符號(hào)函數(shù)的定義：

sign+(A0)=1/2[In×n+sign(A0)]

(22a)

sign-(A0)=1/2[In×n-sign(A0)]

(22b)

定義矩陣

(23)

式中：S1=ind[sign+(A0)]∈Rn×n1；S2=ind[sign-(A0)]∈Rn×n2，ind(·)表示(·)的線性無(wú)關(guān)列向量集合，n1+n2=n。

2.2 基于LMI的控制器設(shè)計(jì)

(24a)

矩陣B轉(zhuǎn)化成

(24b)

(25)

(26)

(27a)

(27b)

(28)

綜上兩步設(shè)計(jì)，累計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣為：

Kc=-[K(1)+K(2)(T(2))-1](T(1))-1

(29)

此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)矩陣(A-BKc)的特征值位于圖1所示的陰影區(qū)域內(nèi)。

3 數(shù)學(xué)仿真

仿真時(shí)穩(wěn)定裕度-h2取0.25ω0，阻尼角α取45°，-h1取值為3.6ω0。設(shè)置實(shí)數(shù)h=-0.5ω0，將原系統(tǒng)分為了3維(h左側(cè))和21維的子系統(tǒng)，通過(guò)控制器多級(jí)設(shè)計(jì)最終極點(diǎn)配置結(jié)果如表1、圖2和3。

表1 閉環(huán)極點(diǎn)(/ω0)

圖2(a) 第1步設(shè)計(jì)后閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)和原系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)比

圖2(b) 第1步設(shè)計(jì)后閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)分布

圖3 第2步設(shè)計(jì)后閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)分布

從圖3中可看到所有極點(diǎn)均被配置到了復(fù)平面虛軸左邊0.25ω0～3.6ω0，且上下張角±45°的梯形區(qū)域內(nèi)。圖4～6分別為姿態(tài)角、姿態(tài)角速率和CMG角動(dòng)量時(shí)域響應(yīng)曲線，基本在2個(gè)軌道周期附近達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。從圖4可以看到，仿真結(jié)果與前面理論計(jì)算分析的結(jié)果相符，穩(wěn)態(tài)時(shí)x0軸姿態(tài)具有均值為0°、幅值為0.36°的正弦振動(dòng)；y0軸姿態(tài)偏置接近-8.861°(與前面理論結(jié)果一致)，以消除重力梯度力矩和干擾力矩常值造成的角動(dòng)量累積；z0軸姿態(tài)角趨于0°。圖5顯示空間站三軸姿態(tài)角速率也處于較小的量級(jí)以?xún)?nèi)。從圖6中還可以看出CMG角動(dòng)量呈周期性波動(dòng)，可以消除一部分周期性干擾對(duì)姿態(tài)的影響，但并沒(méi)有角動(dòng)量的積累，所以本文設(shè)計(jì)的帶極點(diǎn)配置的控制器可以達(dá)到角動(dòng)量管理的目的，并得到了預(yù)期的結(jié)果。

圖4 姿態(tài)角

圖5 姿態(tài)角速率

圖6 CMG角動(dòng)量

從表2對(duì)比可看出，2種算法下穩(wěn)定時(shí)間、俯仰角超調(diào)量以及穩(wěn)態(tài)時(shí)偏航與俯仰角變化范圍基本一致；相比文獻(xiàn)[8]中最新方法，本文算法下角動(dòng)量超調(diào)增加約5%，但是穩(wěn)態(tài)時(shí)角動(dòng)量幅值減小約19%。而且相較LQR算法，本文基于LMI算法的區(qū)域極點(diǎn)配置還考慮了不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性；同時(shí)通過(guò)求解LMI問(wèn)題實(shí)現(xiàn)了梯形區(qū)域極點(diǎn)配置，避免了帶極點(diǎn)配置的LQR算法中求解Riccati方程時(shí)容易遇到的數(shù)值奇異問(wèn)題，以及彌補(bǔ)了LQR算法中扇形區(qū)域右邊界上限難以事先指定的不足，所以本文方法在取得較好的控制效果的同時(shí)更具一般性。

表2 不同算法性能比較

4 結(jié)論

針對(duì)大型航天器姿態(tài)與角動(dòng)量管理控制問(wèn)題，基于線性矩陣不等式方法進(jìn)行了其姿態(tài)角動(dòng)量管理控制器的多級(jí)設(shè)計(jì)?；诰仃嚪?hào)函數(shù)將高維被控系統(tǒng)解耦為維數(shù)較低的子系統(tǒng)，避免了一次性進(jìn)行反饋增益陣求取時(shí)可能遇到的數(shù)值奇異問(wèn)題，采用凸線性矩陣不等式進(jìn)行系統(tǒng)多目標(biāo)約束描述，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)極點(diǎn)在指定梯形區(qū)域的極點(diǎn)配置，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)LQR方法加權(quán)矩陣的選取和迭代試湊的問(wèn)題，以及帶極點(diǎn)配置的LQR算法因分步設(shè)計(jì)而無(wú)法進(jìn)行指定封閉區(qū)域極點(diǎn)配置的不足，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能以及魯棒穩(wěn)定設(shè)計(jì)，仿真驗(yàn)證了控制器的有效性。