自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子在半柔性彈性環(huán)中的集體行為*

仲穎 施夏清

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,軟凝聚態(tài)物理及交叉研究中心,蘇州 215006)

在生物體系的活性系統(tǒng)中,桿狀粒子在彈性半柔性邊界中的受限行為極為常見(jiàn).本文研究了二維情況下,自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子受限在半柔性彈性環(huán)中的集體行為.改變系統(tǒng)的粒子數(shù)及噪聲強(qiáng)度,系統(tǒng)顯示明顯的自驅(qū)吸附有序態(tài)、無(wú)序態(tài)及中間的過(guò)渡態(tài).通過(guò)表征彈性環(huán)內(nèi)部粒子的徑向極性大小和空間分布的非球度性對(duì)這些狀態(tài)進(jìn)行了刻畫(huà).進(jìn)一步對(duì)彈性環(huán)中心附近粒子密度的分析,發(fā)現(xiàn)環(huán)中心氣態(tài)粒子分布存在一個(gè)與邊界高密度區(qū)域共存的飽和平臺(tái),出現(xiàn)類似吸附轉(zhuǎn)變的粒子分布.在過(guò)渡區(qū)間,體系內(nèi)存在較大的漲落會(huì)導(dǎo)致彈性環(huán)出現(xiàn)異常形變.非對(duì)稱的粒子分布對(duì)彈性環(huán)整體的遷移具有重要貢獻(xiàn),系統(tǒng)在過(guò)渡區(qū)間能獲得相對(duì)較強(qiáng)的定向遷移.

1 引 言

活性物質(zhì)通過(guò)消耗自身攜帶的或從環(huán)境中吸收的能量來(lái)實(shí)現(xiàn)各種力學(xué)運(yùn)動(dòng),是一類典型的具有多級(jí)結(jié)構(gòu)的非平衡體系,展現(xiàn)出豐富的集體動(dòng)力學(xué)行為.不同于平衡態(tài),活性物質(zhì)常常具有很強(qiáng)的密度與取向序的耦合,產(chǎn)生極為復(fù)雜的時(shí)空演化行為[1?8].在一些大尺度的模型和理論研究中,活性物質(zhì)在取向上的對(duì)稱性破缺,會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)在空間上的密度不均勻分布,比如自驅(qū)動(dòng)粒子在周期性邊界中會(huì)自發(fā)形成一些大的相分離結(jié)構(gòu)[9?12].除此之外,活性物質(zhì)也會(huì)自發(fā)演化出特異性的形態(tài),比如在細(xì)胞骨架纖維的實(shí)驗(yàn)中,可以看到肌動(dòng)蛋白絲和微管,會(huì)形成一些渦旋、波形的圖案分布[13].這其中粒子的形狀會(huì)對(duì)系統(tǒng)的集體行為產(chǎn)生較大影響,從最簡(jiǎn)單的球形[9,14,15],到啞鈴型雙球[16,17]、蠕蟲(chóng)形粒子[18]以及桿狀粒子[11,12,19?21].

生命系統(tǒng)中常常存在非常明顯的空間受限條件.遷移的細(xì)胞個(gè)體內(nèi)部就有復(fù)雜而有序的物質(zhì)結(jié)構(gòu).細(xì)胞膜下覆蓋的肌動(dòng)蛋白微絲與分子馬達(dá)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)對(duì)于細(xì)胞遷移具有至關(guān)重要的作用.比如在肌動(dòng)蛋白貢獻(xiàn)細(xì)胞遷移[22,23]的過(guò)程中,具有活性物質(zhì)特性的蛋白纖維在細(xì)胞膜附近生長(zhǎng)并對(duì)其施加壓力[24?26],所有過(guò)程都是在細(xì)胞膜內(nèi)進(jìn)行的.所以在活性物質(zhì),尤其是相關(guān)生命系統(tǒng)中,邊界束縛條件或者界面作用是個(gè)值得理論研究注意的問(wèn)題.

自驅(qū)動(dòng)粒子和界面的相互作用會(huì)對(duì)內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)粒子的集體運(yùn)動(dòng)行為產(chǎn)生很大影響[27].在類似于通道的開(kāi)放的受限系統(tǒng)中,自驅(qū)動(dòng)粒子會(huì)在邊界附近形成大量集聚,并根據(jù)通道的具體特性形成一些對(duì)應(yīng)分布[17,28,29].在封閉系統(tǒng)內(nèi)部,自驅(qū)動(dòng)粒子同樣會(huì)在界面位置形成非常穩(wěn)定的堆積分布[30,31].目前,對(duì)更有趣的軟受限條件研究得比較少.已有的一些研究發(fā)現(xiàn),在該條件下系統(tǒng)大尺度的粒子漲落會(huì)誘發(fā)柔性邊界的明顯形變,反過(guò)來(lái)又會(huì)影響粒子的均勻分布[32?34].

本文研究了大量自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子在柔性邊界中的動(dòng)力學(xué)行為.簡(jiǎn)單的球形自驅(qū)動(dòng)粒子模型,往往不能很好地體現(xiàn)活性物質(zhì)中個(gè)體的形狀各向異性.桿狀粒子在非平衡受限時(shí)會(huì)有豐富的堆積行為[35].我們的模型使用了彈性桿體系,不僅可以實(shí)現(xiàn)柔性邊界的彈性伸縮,還可以在保證桿特性的前提下,對(duì)桿的算法進(jìn)行優(yōu)化.我們用彈性桿鏈接而成的柔性環(huán)作為約束邊界,統(tǒng)計(jì)了大數(shù)目自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子受限在該柔性環(huán)中的分布情況和整體運(yùn)動(dòng).在該柔性環(huán)提供的彈性約束下,其內(nèi)部的自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子同樣也傾向于在環(huán)邊界上聚集分布,但在中心位置會(huì)保持一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的氣態(tài)密度分布.大部分情況下這些自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子都具有明顯的對(duì)稱性分布,但在有序無(wú)序轉(zhuǎn)變區(qū)域,粒子大尺度的漲落與膜的大尺度形變兩者相互影響,會(huì)形成各向異性的粒子分布,同時(shí)伴隨較強(qiáng)的整體定向遷移.可以看到,這部分系統(tǒng)整體的運(yùn)動(dòng)以及形變,一定條件下發(fā)生明顯極化,并伴隨較大尺度的遷移,與一些細(xì)胞遷移運(yùn)動(dòng)行為類似,因而該系統(tǒng)的研究對(duì)調(diào)控這類集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)行為有一定的參考作用.

2 模擬模型和方法

模擬一個(gè)二維平面下的系統(tǒng),如圖1(a)所示,該系統(tǒng)由兩部分組成:其一是Nr個(gè)原長(zhǎng)為L(zhǎng)r的自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子;另一部分是一條柔性環(huán),由Nl個(gè)原長(zhǎng)為L(zhǎng)l的桿首尾鏈接而成,柔性環(huán)將所有自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子約束在其內(nèi)部.

圖1 (a)系統(tǒng)組成的示意圖,顏色代表?xiàng)U身的取向;(b)桿間碰撞受力示意圖Fig.1.(a)The schematic diagram of this system,and the rods are colored according to their angle with respect to the radial direction;(b)the interaction between rods.

在該模型中的自驅(qū)動(dòng)桿和環(huán)的結(jié)構(gòu)單元都是采用相同構(gòu)造的桿,這種桿沿其徑向兩端是直徑等寬的半圓形結(jié)構(gòu),同時(shí)所有的桿都具有固定的桿寬r0(r0=1),如圖 1(b)所示.這樣設(shè)定的桿可以比較方便地計(jì)算桿間最短距離,進(jìn)而方便判斷近鄰桿間的碰撞及計(jì)算相互作用.

所有的這些桿狀粒子,桿身受力不能彎曲.但沿桿身方向是彈性的,且只能沿徑向彈性伸縮.如果使用固定桿長(zhǎng)的硬桿鏈接而成的環(huán),其中近鄰的桿在受到碰撞時(shí),需要很高精度的迭代保證最近鄰桿間的運(yùn)動(dòng)剛性.而桿身彈性的設(shè)定可以有效簡(jiǎn)化這方面的計(jì)算,通過(guò)桿自身的彈性約束保持環(huán)中桿間的連續(xù).此外我們選取較大的桿身彈性系數(shù)k,對(duì)于內(nèi)部的自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子,可以視為是固定桿長(zhǎng)的硬桿.

為方便表述,約定所有桿兩端的圓心位置分別為該桿的正負(fù)兩端(正負(fù)端形狀完全對(duì)稱),桿的取向 θ 則定義為由其負(fù)端到正端的指向.每根桿的位置信息可由其質(zhì)心位置 ri,取向 θi和實(shí)際的桿長(zhǎng) li確定.相應(yīng)的桿的正負(fù)兩端的位置分別為特別地,對(duì)于環(huán)中的相鄰桿,規(guī)定兩者相連處的異號(hào)端點(diǎn)位置是始終重合的,即環(huán)上桿 i的“ + ”端端點(diǎn)位置,與它順時(shí)針?lè)较虻南噜彈U i +1 的“-”端端點(diǎn)位置重合,滿足的關(guān)系[36].

桿之間的相互作用是截?cái)嗟暮?jiǎn)諧彈簧勢(shì)

其中r是兩桿之間的最短距離,r0為固定的桿寬,φ0為 勢(shì)能的強(qiáng)度大小.通過(guò)在 r=r0處的截?cái)?體系為純彈簧排斥勢(shì).在體積排斥效應(yīng)下,發(fā)生碰撞的桿狀粒子有平行排列傾向.

體系中所有的桿側(cè)面都是光滑的,即碰撞時(shí)不考慮桿之間的滑動(dòng)摩擦.在這種桿的模型中,碰撞時(shí)桿所受的排斥力垂直于桿身或作用在端點(diǎn)位置,如圖1(b)所示.桿間的碰撞所受的相互作用可以等效到端點(diǎn)位置處.實(shí)際碰撞位置的排斥受力和端點(diǎn)上的等效受力,其合力和力矩存在如下的等量關(guān)系:

其中 Fi,j是碰撞時(shí)i桿身上所受的與j桿相互作用的排斥力,分別對(duì)應(yīng)桿正負(fù)兩端位置的等效受力,λ和λ0分別是碰撞受力位置和桿質(zhì)心,沿桿取向 θ 在桿身上的相對(duì)位置,λ 在負(fù)端取0正端取1,桿質(zhì)心的相對(duì)位置為 λ0=0.5 .方程(2)聯(lián)立可解得碰撞時(shí)桿正負(fù)兩端的等效受力分別為:

直接作用在端點(diǎn)處的碰撞受力同樣符合上面的結(jié)果.

環(huán)內(nèi)的自驅(qū)動(dòng)粒子除了桿間的碰撞排斥作用外,沿著其取向 θ 還受恒定大小的自驅(qū)動(dòng)力 sθ 持續(xù)牽引,從而具有自我推進(jìn)的能力.

其中 μ 是遷移率,這里使用各向同性的遷移率.j∈ Ω 是 與當(dāng)前桿發(fā)生碰撞的近鄰桿.ξi(t)是高斯白噪聲,定義噪聲強(qiáng)度為 η .桿兩端位置上的高斯白噪聲可以給桿提供一個(gè)有效的角度上的擾動(dòng).

對(duì)于柔性環(huán)上的桿,由于不存在自驅(qū)動(dòng)力其動(dòng)力學(xué)方程為

這里也忽略了噪聲的作用.特別地,柔性環(huán)上的相鄰兩桿之間不存在空間排斥作用,即 j ∈Ω′是除去環(huán)上相鄰兩桿后與當(dāng)前桿發(fā)生碰撞的近鄰桿.由于柔性環(huán)上相鄰兩桿端點(diǎn)重合,環(huán)上桿i正端端點(diǎn)的實(shí)際位移與它順時(shí)針?lè)较虻南噜彈U i +1 的負(fù)端端點(diǎn)實(shí)際位移相同,即

在本文模擬中,將原長(zhǎng) Lr=2 自驅(qū)動(dòng)桿受限于半柔性環(huán)內(nèi).半柔性環(huán)由 Nl=200,原長(zhǎng)為L(zhǎng)l=1的桿首尾鏈接而成.將系統(tǒng)整體放在足夠大的二維周期性邊界內(nèi)(Lx=Ly=200).選取足夠小的時(shí)間步長(zhǎng) d t=0.0005τ,保證數(shù)值穩(wěn)定性及必要的精度,其中 τ=1 是模擬的單位時(shí)間量程.根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程(4)式和(5)式對(duì)粒子的位置進(jìn)行更新.經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間演化后,可對(duì)系統(tǒng)所處的穩(wěn)定分布進(jìn)行分析.本文主要研究系統(tǒng)在自驅(qū)動(dòng)桿的粒子數(shù)Nr和噪聲強(qiáng)度 η 構(gòu)成的二維參數(shù)空間中的統(tǒng)計(jì)動(dòng)力學(xué)行為.

3 模擬結(jié)果和討論

封閉空間中的自驅(qū)動(dòng)粒子傾向于在邊界附近聚集[30?34].不同于球狀粒子,本文模型由桿狀粒子組成.由圖2中的快照可以看出,這樣的自驅(qū)動(dòng)桿在柔性環(huán)附近形成比較規(guī)則的極化液晶態(tài)排列.由于桿粒子間向列型的相互作用,整個(gè)柔性環(huán)內(nèi)的自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子基本是中心對(duì)稱分布的,此時(shí)用系統(tǒng)平均取向模的大小表示整體的極性程度,柔性環(huán)內(nèi)反向粒子的取向相互抵消,系統(tǒng)的極性序接近于零.但從快照上可以看出,內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子無(wú)序分布和有序聚集在環(huán)邊界上是兩種不同的分布,而這兩種分布的極性序都接近零無(wú)法很好地區(qū)分開(kāi).

圖2 三種典型分布的快照,自驅(qū)動(dòng)桿粒子數(shù)Nr均為1500,噪聲大小η分別為0.10,0.20和0.50,依次對(duì)應(yīng)(a)自驅(qū)吸附有序態(tài)、(b)過(guò)渡態(tài)和(c)無(wú)序態(tài).粒子顏色代表取向,同圖 1Fig.2.The snapshots of three regions with fixed particle number Nr=1500 for different noise levels,and,respectively,with(a)η=0.10,self-propelled particle absorbed ordered region,(b)η=0.20 transient region,and(c)η=0.50 disordered phase.The color represents the radial direction as Fig.1.

為分析柔性環(huán)內(nèi)自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子角度上的分布,定義一個(gè)徑向極性序參量

其中θi是桿i的取向,φi是桿i到環(huán)心位置相對(duì)位移的方向.該極性序是粒子取向與其相對(duì)位移方向兩者夾角余弦值的平均,反應(yīng)了內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子在沿環(huán)質(zhì)心向外方向上的取向有序程度.極性序SP趨近0時(shí),內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)桿的取向是各向均勻的;而當(dāng)極性序 SP趨近1時(shí),這些粒子基本都是背離環(huán)質(zhì)心指向環(huán)外.對(duì)于單個(gè)粒子,其夾角的余弦值可以為負(fù),但由于柔性環(huán)邊界會(huì)聚集內(nèi)部的自驅(qū)動(dòng)粒子,系統(tǒng)整體平均后的極性序 SP基本都是正的,且極性序 SP的值越大,表明在該參數(shù)點(diǎn)下,內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)粒子在柔性環(huán)邊界的聚集程度越高.

3.1 極性序相圖

本文主要研究體系的密度和噪聲對(duì)系統(tǒng)形態(tài)的影響.系統(tǒng)改變自驅(qū)動(dòng)桿的粒子數(shù) Nr和桿端的噪聲強(qiáng)度 η,測(cè)量各參數(shù)空間點(diǎn)的徑向極性序 SP的值,可以得到如圖 3(a)所示的相圖.明顯地,根據(jù)極性序 SP值的大小,相圖中從最左邊極性序 SP接近1的有序相區(qū)域,逐漸過(guò)渡到右側(cè)極性序 SP接近0的無(wú)序區(qū).有序區(qū)主要集中在粒子數(shù) Nr較大,噪聲強(qiáng)度 η 較低的區(qū)域,對(duì)應(yīng)的快照如圖2(a)所示.大部分的自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子都指向環(huán)外方向,集中排列在柔性環(huán)上,且可以構(gòu)成完整的層狀分布.同時(shí)剩余的粒子在中心區(qū)域形成角度和位置都比較均勻地分布.無(wú)序區(qū)域則主要分布在粒子數(shù)Nr較小或噪聲強(qiáng)度 η 較大的區(qū)域,如圖 2(c)所示,其內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)粒子的取向是無(wú)序的,均勻分布在環(huán)內(nèi).過(guò)渡區(qū)間主要分布在這兩相之間的區(qū)域,如圖2(b)所示,外層的自驅(qū)動(dòng)桿無(wú)法形成完整的層狀穩(wěn)定排布,而分別集中成反向的兩個(gè)集團(tuán)或異向的多個(gè)集團(tuán).外側(cè)的柔性環(huán)也因此有明顯的變形,中心區(qū)域同樣存在一定密度的比較均勻的無(wú)序氣態(tài)分布.

3.2 粒子分布特性

由三個(gè)相區(qū)不同的粒子分布可知,內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)粒子除了角度分布上具有向外的極性取向,粒子本身的空間位置分布也存在各向異性的情況.為分析粒子位置分布的不均勻性,根據(jù)所有自驅(qū)動(dòng)桿的位置信息定義體系分布非球度 Δ .

首先由所有桿的質(zhì)心位置計(jì)算慣量張量Q,其元素分別是

〈···〉t表示系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)各時(shí)刻的時(shí)間平均.顯然非球度 Δ=0 對(duì)應(yīng)于粒子在各個(gè)方向上均勻分布,非球度 Δ 的值越大,表明粒子分布的各向異性越明顯,當(dāng)非球度 Δ=1 時(shí)粒子基本分布在一條直線上.

圖3 改變?cè)肼晱?qiáng)度 η和彈性環(huán)中自驅(qū)動(dòng)桿粒子數(shù) Nr 得到的相圖(a)比較徑向極性序參 Sp 大小得到的熱力圖;(b)比較非球度 Δ 大小得到的熱力圖,其中轉(zhuǎn)變區(qū)域具有極大值Fig.3.Phase diagrams for self-propelled rods in elastic-ring with varying the noise strength η and the number of selfpropelled rods Nr,and the order parameter corresponding to(a)the radial polarity SP and(b)the asphericity Δ .We have maximal asphericity Δ in the transition region.

通過(guò)計(jì)算各參數(shù)點(diǎn)的非球度 Δ,可以得到如圖3(b)的熱度圖,在有序相和無(wú)序相區(qū)域,系統(tǒng)的非球度 Δ 都是接近0,這兩個(gè)相區(qū)內(nèi)粒子的位置分布都是各項(xiàng)同性的.無(wú)序區(qū)由于粒子取向的無(wú)序性,各向同性的粒子位置均勻分布在柔性環(huán)內(nèi);而有序區(qū)柔性環(huán)中心雖然也存在類似無(wú)序區(qū)的粒子均勻分布,但它的極性序 SP主要由聚集在柔性環(huán)邊界層狀分布粒子貢獻(xiàn).這部分粒子在邊界高密度堆積形成穩(wěn)定的層狀液晶分布,使系統(tǒng)整體處于類似汽液共存的動(dòng)態(tài)平衡中.而過(guò)渡區(qū)具有相對(duì)較大的非球度 Δ,這是由于粒子數(shù)限制以及噪聲影響,外層的自驅(qū)動(dòng)粒子很難在環(huán)邊界處形成完整的層狀結(jié)構(gòu).在這個(gè)區(qū)間外層粒子由于角度上的偏離和數(shù)量上的減少,以及轉(zhuǎn)變區(qū)間漲落的增強(qiáng),對(duì)整體的徑向極性序 SP貢獻(xiàn)會(huì)有所降低.

內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)粒子的位置分布除了在過(guò)渡相區(qū)會(huì)有明顯的各向異性外,也容易在柔性環(huán)邊界位置聚集,形成類似吸附相分離的密度分布差異.我們將柔性環(huán)邊界附近聚集形成的比較高密度分布的粒子排布區(qū)域劃分為高密度態(tài).而中間比較無(wú)序分布的區(qū)域,劃分為低密度區(qū).由圖 2可以看到,在有序區(qū)和過(guò)渡區(qū)(圖2(a)和圖2(b)),內(nèi)外側(cè)粒子分布存在明顯的密度差異,而在無(wú)序區(qū)則不明顯.通過(guò)比較兩種密度態(tài)的密度差異,來(lái)表征粒子分布的相分離程度和粒子在環(huán)邊界的聚集情況.

由于柔性環(huán)的形狀易變,以及桿狀粒子自身的各向異性,直接用桿的質(zhì)心位置計(jì)算粒子密度不太合適.我們根據(jù)桿的質(zhì)心位置先得到每個(gè)粒子的泰森多邊形,計(jì)算各粒子相應(yīng)的占據(jù)面積 Si,該面積對(duì)應(yīng)每個(gè)粒子相對(duì)自由的運(yùn)動(dòng)范圍.然后定義粒子的數(shù)密度,

其中ω 為符合高密度區(qū)或低密度區(qū)的粒子序號(hào)集合,|ω|為集合ω中的元素個(gè)數(shù).相應(yīng)的 ψin=表示系統(tǒng)的中心粒子數(shù)密度,ωin是沿環(huán)邊界等比例收縮后中心氣態(tài)區(qū)域內(nèi)的粒子集合.是系統(tǒng)的外層粒子數(shù)密度,ωout即桿質(zhì)心在沿環(huán)一圈寬度為桿長(zhǎng) Lr的環(huán)狀區(qū)間內(nèi)的粒子集合.由于內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)粒子在環(huán)邊界聚集排列,或低粒子數(shù) Nr時(shí)與柔性環(huán)碰撞,環(huán)邊界附近 ωout區(qū)域長(zhǎng)時(shí)間尺度上穩(wěn)定有粒子存在,而靠近環(huán)邊界粒子的泰森多邊形面積會(huì)明顯小于內(nèi)部粒子,最后得到的會(huì) 稍大于

為比較高低密度兩相的分離程度,可以定義約化密度差為

約化密度差P的值越大說(shuō)明系統(tǒng)內(nèi)外兩側(cè)粒子分布的密度差異越大,P值越接近0則對(duì)應(yīng)系統(tǒng)內(nèi)部的粒子分布越均勻.通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的約化密度差可以得到如圖4(a)所示的熱度圖,低噪聲有序區(qū)域明顯對(duì)應(yīng)的區(qū)域約化密度差P值較高,高低密度兩相分離明顯.高噪聲無(wú)序相區(qū)域的P值很低,接近均勻分布.這與圖2快照中的粒子分布是一致的.可以看到約化密度差P與極性序 SP有類似的分布,隨著噪聲強(qiáng)度 η 的減弱,系統(tǒng)從無(wú)序相進(jìn)入有序相的過(guò)程中,柔性環(huán)附近內(nèi)部粒子的堆積程度也相應(yīng)增強(qiáng).極性序 SP主要由環(huán)附近堆積的粒子貢獻(xiàn),而自驅(qū)動(dòng)粒子在環(huán)邊界的堆積程度由約化密度差P刻畫(huà),所以極性序 SP的大小一定程度上與約化密度差P正相關(guān).

圖4 (a)改變?cè)肼晱?qiáng)度 η和自驅(qū)動(dòng)桿粒子數(shù) Nr,比較約化密度差P得到的熱力圖;(b)不同噪聲強(qiáng)度 η 下,彈性環(huán)中心附近粒子數(shù)密度隨自驅(qū)動(dòng)桿粒子數(shù) Nr 的變化趨勢(shì)Fig.4.(a)Phase diagram of the reduced density difference P for self-propelled rods with varying the noise strength η and the number of self-propelled rods Nr;(b)density of central particles,ψ in,versus the particle number N r for different noise strength η .

注意到約化密度差的相圖在高噪聲強(qiáng)度 η和低粒子數(shù) Nr區(qū)域,P的值會(huì)有反向的變化.此處的約化密度差P隨粒子數(shù) Nr的增長(zhǎng)而減小.單獨(dú)比較中心粒子數(shù)密度 ψin的變化,由圖4(b)可以看到,不同噪聲下隨粒子數(shù) Nr的 增加 ψin值最終都會(huì)有一個(gè)穩(wěn)定的平臺(tái)出現(xiàn),對(duì)應(yīng)一個(gè)飽和密度的中心低密度態(tài)的存在.該飽和密度與噪聲強(qiáng)度有關(guān),噪聲越強(qiáng)飽和密度越高.而 ψin在達(dá)到飽和密度前隨粒子數(shù) Nr線性增加.在相圖右側(cè)高噪聲區(qū)域,粒子數(shù)Nr比較小的情況下,自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子很難在環(huán)邊界附近形成穩(wěn)定的集聚,此時(shí)外層區(qū)域 ωout內(nèi)的粒子是與環(huán)邊界碰撞的少數(shù)自驅(qū)動(dòng)桿,因而外層粒子數(shù)密度 ψo(hù)ut比較穩(wěn)定.此時(shí)中心粒子數(shù)密度 ψin未達(dá)到飽和,增加粒子數(shù)Nr會(huì)減小內(nèi)部粒子的泰森多邊形面積,即中心粒子數(shù)密度 ψin會(huì)隨粒子數(shù)Nr增加而迅速增大.整體的約化密度差P主要受中心粒子數(shù)密度ψin的影響而減小.而當(dāng)中心粒子數(shù)密度ψin達(dá)到飽和后,繼續(xù)增加粒子數(shù) Nr,中心粒子數(shù)密度 ψin基本保持穩(wěn)定.柔性環(huán)附近的粒子受擠壓,導(dǎo)致外層粒子數(shù)密度 ψo(hù)ut小幅增大.此時(shí)約化密度差P的值會(huì)相應(yīng)有所增大.所以約化密度差相圖中P值變化的極值位置,應(yīng)該對(duì)應(yīng)系統(tǒng)中心粒子數(shù)密度 ψin剛達(dá)到飽和密度的參數(shù)點(diǎn),比較發(fā)現(xiàn)這兩者基本是符合的.

在圖 4(b)中,低噪聲如 η=0.10 時(shí),系統(tǒng)的中心粒子數(shù)密度 ψin會(huì)先有個(gè)小幅回落才能穩(wěn)定在飽和密度.這是因?yàn)榈驮肼晠^(qū)域,粒子數(shù) Nr較小時(shí),內(nèi)部的桿狀粒子在自驅(qū)動(dòng)作用下容易聚集在環(huán)邊界位置,但未能形成完整的層狀排列.噪聲和粒子間的碰撞都參與到兩側(cè)的粒子交換中.當(dāng)粒子數(shù)Nr增大到形成完整序列時(shí),只有內(nèi)側(cè)層狀排列的粒子在噪聲作用下,與環(huán)中心區(qū)域的低密度態(tài)的粒子發(fā)生交換.此時(shí)的中心粒子數(shù)密度 ψin會(huì)有所降低.隨噪聲強(qiáng)度的增加,粒子碰撞貢獻(xiàn)的交換逐漸減少,該密度回落過(guò)程也逐漸減弱,ψin達(dá)到飽和平臺(tái)的曲線也愈加平滑.而當(dāng)噪聲較大時(shí),如噪聲強(qiáng)度 η=0.4,0.5對(duì)應(yīng)的ψin曲線幾乎重合,且沒(méi)有明顯水平的飽和平臺(tái).此時(shí)由于噪聲太大,粒子很難在環(huán)邊界形成有效的堆積,主要依靠粒子間排斥將柔性環(huán)撐開(kāi).且隨粒子數(shù)增大,柔性環(huán)拉伸后對(duì)內(nèi)部粒子的壓力也相應(yīng)增大,中心粒子數(shù)密度 ψin會(huì)隨粒子數(shù)變化而有一個(gè)小幅的增長(zhǎng).

3.3 整體遷移

由于內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)粒子分布的不均勻性,系統(tǒng)整體會(huì)有一定遷移運(yùn)動(dòng),為分析系統(tǒng)整體的動(dòng)力學(xué)行為,我們測(cè)量了柔性環(huán)質(zhì)心的均方位移,

圖5 彈性環(huán)及桿狀粒子質(zhì)心均方位移隨時(shí)間的變化(a)粒子數(shù)Nr 為 1500 時(shí),噪聲大小η為0.10,0.20和0.50所在三個(gè)區(qū)區(qū)域 的比較;(b)粒 子數(shù) Nr =1000,η 為0.25,0.30和0.50下無(wú)序態(tài)時(shí)的對(duì)比Fig.5.Mean-squared displacement(MSD)for the center of mass of particle and elastic ring:(a)Noise levels η=0.10,η=0.20,and η=0.50 for Nr=1500;(b)noise levels for η=0.25,η=0.30,and η=0.50 with particle number Nr=1000 in the disordered regime.

其中 R(t)是柔性環(huán)質(zhì)心的位置.如圖5(a)所示,我們測(cè)量了足夠長(zhǎng)時(shí)間尺度下,三個(gè)相區(qū)各自的均方位移及其斜率(補(bǔ)充材料movie1.mov,movie2.mov,movie3.mov,分別對(duì)應(yīng)η=0.10,0.20,0.50),其中有序相和過(guò)渡相的均方位移斜率均接近2.無(wú)序相在長(zhǎng)時(shí)間尺度時(shí)的均方位移斜率則接近1.系統(tǒng)在有序相和過(guò)渡相區(qū)域幾乎都是在做整體的定向遷移運(yùn)動(dòng),而在無(wú)序區(qū)則接近隨機(jī)游走.由于中心低密度態(tài)的粒子數(shù)比較少,且在角度上均勻分布,其對(duì)系統(tǒng)整體的運(yùn)動(dòng)影響很弱,系統(tǒng)的整體移動(dòng)主要由沿環(huán)附近堆積排列的粒子貢獻(xiàn).當(dāng)有序相和過(guò)渡相在形成穩(wěn)定分布后,其沿環(huán)附近堆積的粒子不會(huì)有很大的變化.由于很難實(shí)現(xiàn)完全的對(duì)稱,未被完全相互抵消的自驅(qū)動(dòng)貢獻(xiàn),會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)整體沿某一方向定向遷移.從圖5(a)可以看出,由于有序相具有更高的對(duì)稱性,多余的自驅(qū)動(dòng)貢獻(xiàn)比過(guò)渡相要低很多,其均方位移的尺度也要低一個(gè)數(shù)量級(jí)左右.而無(wú)序態(tài)的粒子分布和角度上的分布都很均勻,所以其瞬時(shí)的多余自驅(qū)動(dòng)貢獻(xiàn)在長(zhǎng)時(shí)間尺度上是類似高斯白噪聲的分布,其整體的運(yùn)動(dòng)也接近隨機(jī)游走.

另外還比較了無(wú)序相區(qū)域不同噪聲下的均方位移曲線,如圖5(b)所示,隨著噪聲強(qiáng)度 η 的增加,系統(tǒng)自身對(duì)稱性更高,其均方位移尺度的數(shù)量級(jí)會(huì)相應(yīng)降低,同時(shí)其長(zhǎng)時(shí)間的擴(kuò)散系數(shù)也相應(yīng)減小,接近無(wú)規(guī)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng).在無(wú)序相中,系統(tǒng)沒(méi)有穩(wěn)定的外層堆積分布,其整體的遷移主要來(lái)自噪聲和極性漲落的競(jìng)爭(zhēng).當(dāng)噪聲較弱時(shí)系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)趨向于定向遷移,而噪聲很強(qiáng)時(shí)系統(tǒng)會(huì)有類似隨機(jī)游走的運(yùn)動(dòng)行為.值得指出的是質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)有兩種可能,一種是整個(gè)彈性環(huán)形變導(dǎo)致質(zhì)心運(yùn)動(dòng)而整體可能并沒(méi)有發(fā)生明顯的遷移,另一種是系統(tǒng)整體的遷移.在目前的體系中,系統(tǒng)的形變帶來(lái)的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于整體遷移的作用,形變導(dǎo)致的質(zhì)心遷移對(duì)均方位移的貢獻(xiàn)是可以忽略的.

4 結(jié) 論

本文研究了在二維條件下,自驅(qū)動(dòng)桿狀粒子受限在一條可伸縮的柔性環(huán)中的動(dòng)力學(xué)行為.通過(guò)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模擬,發(fā)現(xiàn)根據(jù)內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)粒子整體的徑向極性,可以從低噪聲的有序區(qū)過(guò)渡到高噪聲低密度時(shí)的無(wú)序區(qū).同時(shí)粒子的空間分布也會(huì)產(chǎn)生變化.最主要的區(qū)別在于柔性環(huán)附近內(nèi)部粒子的堆積方式: 有序區(qū)內(nèi)部自驅(qū)動(dòng)粒子可以在環(huán)附近形成完整的層狀排布,而無(wú)序區(qū)則由于高噪聲影響,自驅(qū)動(dòng)粒子無(wú)法在相應(yīng)區(qū)域形成穩(wěn)定的高密堆積.特別地,我們發(fā)現(xiàn)無(wú)序和有序轉(zhuǎn)變的過(guò)渡區(qū)間環(huán)上有穩(wěn)定的粒子堆積,但由于粒子數(shù)限制無(wú)法形成完整的層狀排列,分散的堆積集團(tuán)會(huì)導(dǎo)致柔性環(huán)明顯形變.

除此之外,根據(jù)約化密度的異常轉(zhuǎn)變,發(fā)現(xiàn)中心粒子數(shù)密度存在一個(gè)與噪聲相關(guān)的飽和密度,該密度對(duì)應(yīng)環(huán)邊界附近位置開(kāi)始形成穩(wěn)定的粒子堆積.

系統(tǒng)整體的運(yùn)動(dòng)與這些邊界集聚的粒子分布有關(guān).在有序區(qū)和過(guò)渡區(qū)域中,環(huán)心的運(yùn)動(dòng)接近定向遷移.但由于有序相環(huán)邊界位置粒子的層狀分布更均勻,其整體定向遷移的強(qiáng)度會(huì)非常小.而當(dāng)噪聲增大,環(huán)邊界附近穩(wěn)定的粒子堆積逐漸減少,系統(tǒng)整體的運(yùn)動(dòng)也逐漸趨向無(wú)規(guī)則的隨機(jī)游走.在我們的模型中,柔性環(huán)在過(guò)渡區(qū)會(huì)有明顯形變,且此時(shí)系統(tǒng)整體的定向遷移最為顯著.研究這類受限條件下的活性物質(zhì)體系的動(dòng)力學(xué)行為,對(duì)探討細(xì)胞形變遷移方面的機(jī)制具有一定的參考意義[37].目前在一些人工受限體系,比如將分子馬達(dá)與桿狀的微絲、微管系統(tǒng)受限到液滴表面,研究其中活性液晶態(tài)的動(dòng)力學(xué)演化也正受到越來(lái)越多人的關(guān)注[38,39].