偶極玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體中的各向異性耗散*

趙珊珊 賀麗 余增強(qiáng)?

1)(山西大學(xué)理論物理研究所,太原 030006)

2)(山西大學(xué)物理電子工程學(xué)院,太原 030006)

針對(duì)偶極相互作用的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體,解析計(jì)算了點(diǎn)狀雜質(zhì)沿平行極化軸和垂直極化軸運(yùn)動(dòng)的能量耗散率,證明了在超流臨界速度更大的方向上耗散率也更高.該結(jié)論為最近在162Dy原子氣體中觀測(cè)到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象提供了理論支持.對(duì)于一般的運(yùn)動(dòng)方向,給出了耗散率在高速極限下以及臨界速度附近的漸近形式.結(jié)合數(shù)值計(jì)算的結(jié)果,論證了耗散率隨方向角的變化總是表現(xiàn)出與臨界速度一致的各向異性.

1 引 言

無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)是超流現(xiàn)象的基本特征之一.對(duì)于一個(gè)在超流體中運(yùn)動(dòng)的大質(zhì)量雜質(zhì)而言,僅當(dāng)其速度大于超流體的朗道臨界速度時(shí)才會(huì)產(chǎn)生能量耗散,臨界速度 vc的取值由體系的元激發(fā)能譜決定[1,2].在各向異性超流體中,vc的大小與運(yùn)動(dòng)方向有關(guān),不同方向上的耗散行為也會(huì)表現(xiàn)出差異.

超冷原子氣體作為高度可調(diào)控的量子多體系統(tǒng)為超流性的研究提供了一個(gè)理想平臺(tái).實(shí)驗(yàn)上通常采用攪動(dòng)激光束的方法模擬雜質(zhì)的運(yùn)動(dòng),并通過(guò)觀察原子云的加熱效應(yīng)測(cè)定玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體(BEC)或費(fèi)米超流體的朗道臨界速度[3?7].最近,德國(guó)Wenzel等[8]在具有偶極相互作用的162Dy原子BEC中首次觀測(cè)到了各向異性的臨界速度.實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn),相較于垂直極化軸的運(yùn)動(dòng)而言,平行極化軸方向的臨界速度更大,耗散率也更高.

本文將通過(guò)理論計(jì)算對(duì)上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行解釋.利用線性響應(yīng)理論和Bogoliubov近似,考察了在偶極BEC中點(diǎn)狀雜質(zhì)沿不同方向運(yùn)動(dòng)的能量耗散率.對(duì)于實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)的兩個(gè)主軸方向,解析地推導(dǎo)出耗散率隨約化速度變化的函數(shù)形式,從理論上證明了Wenzel等[8]發(fā)現(xiàn)的各向異性關(guān)系.對(duì)于偏離主軸的運(yùn)動(dòng)方向,我們給出了耗散率在高速極限下以及 vc附近的漸近形式,并結(jié)合數(shù)值計(jì)算的結(jié)果,論證了耗散率與臨界速度隨方向角的變化趨勢(shì)是普遍一致的.

2 模型和理論框架

考慮零溫下一個(gè)大質(zhì)量的點(diǎn)狀雜質(zhì)以速度v在N 個(gè)磁性原子(如 Cr,Dy,Er等[9?11])形成的BEC中運(yùn)動(dòng).針對(duì)實(shí)驗(yàn)的情形,設(shè)BEC原子的磁偶極矩被外場(chǎng)極化在z方向.雜質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方向與極化軸之間的夾角記為θv.采用接觸勢(shì)模型描述雜質(zhì)與磁性原子之間的相互作用,其哈密頓量為表示相互作用強(qiáng)度,R0為雜質(zhì)在t=0時(shí)刻的位置,ri為第i個(gè)原子的坐標(biāo).

在BEC原子的不斷碰撞下,雜質(zhì)的動(dòng)能一旦出現(xiàn)減損,則意味著耗散的產(chǎn)生.根據(jù)線性響應(yīng)理論,能量耗散率(即單位時(shí)間內(nèi)的平均能量變化)可寫(xiě)為[12,13]

其中 Eq為BEC中動(dòng)量為 q的準(zhǔn)粒子激發(fā)能,q=|q|為動(dòng)量的大小,n和m分別為玻色子的密度和質(zhì)量,? 為約化普朗克常數(shù).由于磁性原子間同時(shí)具有各向同性的s波相互作用和各向異性的偶極相互作用,因此耗散率P不僅依賴(lài)于雜質(zhì)的速度大小v,也依賴(lài)于運(yùn)動(dòng)方向的極角 θv.

偶極BEC的元激發(fā)能譜可以在Bogoliubov近似下解得[14,15]

其中 θq為動(dòng)量q與極化軸之間的夾角,為長(zhǎng)波極限下聲子激發(fā)的聲速.在平行極化軸方向上,聲速取最大值在垂直極化軸方向上,聲速取最小值這里 c0表示僅考慮s波相互作用時(shí)的聲速,?dd是衡量偶極相互作用相對(duì)強(qiáng)度的無(wú)量綱參數(shù).本文將限于討論 c0＞0 且 0＜ ?dd＜1的情形,以保證元激發(fā)能譜是穩(wěn)定的.

由(1)式可知,產(chǎn)生耗散的必要條件是體系中出現(xiàn)滿足關(guān)系式 Eq=q·v 的準(zhǔn)粒子激發(fā),這意味著雜質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度必須大于BEC的臨界速度 vc.與各向同性體系不同的是,在各向異性超流體中,vc并非簡(jiǎn)單地由運(yùn)動(dòng)方向的元激發(fā)能譜決定,朗道提出的臨界速度公式應(yīng)做適當(dāng)?shù)耐茝V[13,16].對(duì)于偶極BEC,已有理論工作給出[13]

在平行和垂直極化軸方向上,vc分別達(dá)到最大和最小,其取值與運(yùn)動(dòng)方向的BEC聲速相等.而在其他方向上,臨界速度則小于運(yùn)動(dòng)方向的聲速.

(1)式—(3)式構(gòu)成了本文理論計(jì)算的出發(fā)點(diǎn).以下為了對(duì)比不同方向的耗散行為,我們把P重新表達(dá)為約化速度 u ≡v/vc的函數(shù).于是,在任意方向上,只有當(dāng) u ＞1 時(shí),耗散率才不為 0.

3 主軸方向的能量耗散率

首先來(lái)考察實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的兩個(gè)主軸方向.

當(dāng)雜質(zhì)沿平行極化軸方向運(yùn)動(dòng)時(shí)(θv=0 或π),(1)式中的被積函數(shù)僅與q和θq有關(guān),代入(2)式中 Eq的表達(dá)式并完成積分,即可得到縱向耗散率為

顯然,由于元激發(fā)能譜的各向異性,P‖與P⊥的形式也是不同的.易于驗(yàn)證,當(dāng)偶極相互作用參數(shù)?dd趨于0時(shí),(4)式和(5)式均回到各向同性體系的結(jié)果[17,18].

通過(guò)比較 P‖和P⊥的大小很容易解釋實(shí)驗(yàn)上觀察到的各向異性耗散現(xiàn)象[8].由聲速關(guān)系c‖＞ c⊥可知,因此得到

(6)式表明,對(duì)于任意 u ＞1 的 約化速度,在 vc更大的主軸方向上(即平行極化軸方向上)能量耗散率更高.這個(gè)關(guān)系式為 Wenzel等[8]最近在162Dy 原子BEC中觀測(cè)到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象提供了簡(jiǎn)明、直觀的理論依據(jù).

4 能量耗散率的各向異性

現(xiàn)在進(jìn)一步考察在一般方向上的耗散行為,并對(duì)前述各向異性規(guī)律做更為普遍的推廣.

對(duì)于給定的約化速度u,可以用 ? P/?θv來(lái)表征能量耗散隨運(yùn)動(dòng)方向的變化.當(dāng)耗散率與臨界速度對(duì)方向角的依賴(lài)具有一致的變化趨勢(shì)時(shí),?P/?θv與? vc/?θv符號(hào)相同.這意味著,若將 P 寫(xiě)為 vc和u的函數(shù),必然有

下面就從三個(gè)方面來(lái)論證在偶極BEC中(7)式關(guān)系總是成立的.

首先,考慮 u ?1 時(shí)的高耗散情形.此時(shí)耗散率的主要貢獻(xiàn)來(lái)自于大動(dòng)量的準(zhǔn)粒子激發(fā),能譜的各向異性不再重要.將(1)式中的 Eq作大q展開(kāi)并保留至頭階項(xiàng),可以推出耗散率在高速極限下的漸近形式為 P=Av3.把該結(jié)果重新用 vc和u表示,于是得到

圖1 沿不同方向的能量耗散率 P在(a)高耗散區(qū)間和(b)低耗散區(qū)間隨約化速度u的變化曲線.離散點(diǎn)為數(shù)值計(jì)算的結(jié)果,(a)和(b)中的虛線分別對(duì)應(yīng)于(8)式和(9)式給出的漸近表達(dá)式.從上至下,各曲線的臨界速度分別為vc=1.41c0,1.22c0,1.07c0,0.89c0,0.71c0.兩圖采用的圖例相同.偶極相互作用參數(shù)取為?dd=0.5Fig.1.Energy dissipation rate P as a function of reduced velocity u along different directions in(a)high dissipation regime and(b)low dissipation regime.Discrete symbols are numerical results,and dashed lines in(a)and(b)correspond to the asymptotic expressions(8)and(9),respectively.From up to bottom,the critical velocities for each line are given by vc=1.41c0,1.21c0,1.07c0,0.89c0,and 0.71c0.The two plots use the same legend.The relative strength of dipolar interaction is set as ?dd=0.5 .

顯然,不等式關(guān)系(7)式在此情形下是成立的.

其次,再來(lái)考慮u略大于1時(shí)的低耗散情形.此時(shí)耗散率的主要貢獻(xiàn)來(lái)自于小動(dòng)量的準(zhǔn)粒子,且激發(fā)動(dòng)量的極角集中在θc附近,θc對(duì)應(yīng)于v=vc時(shí)產(chǎn)生聲子激發(fā)的傳播方向.將(1)式中的被積函數(shù)在q=0和θq=θc處作展開(kāi),經(jīng)過(guò)一系列較為繁瑣的推導(dǎo)(具體步驟見(jiàn)附錄A),最終得出

對(duì)于給定的 u,(9)式中的P是vc的增函數(shù),因此在臨界速度附近,不等式(7)式也是成立的.

最后,對(duì)于中等u值、中等耗散的情形,(1)式中的積分無(wú)法得到簡(jiǎn)單的解析結(jié)果,需要借助數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證耗散率與臨界速度的相關(guān)性.圖1給出了雜質(zhì)沿不同方向運(yùn)動(dòng)時(shí)耗散率P隨約化速度u的變化曲線.可以看出,在 vc更大的方向上耗散率也更高,這表明不等式(7)式對(duì)于任意 u ＞1 的速度區(qū)間都是成立的.在 u ?1和u →1+兩種極限情形下,數(shù)值結(jié)果與前面推導(dǎo)出的漸近表達(dá)式符合得很好.

根據(jù)以上分析,我們得出結(jié)論: 在偶極BEC中,耗散率與臨界速度隨方向角的變化趨勢(shì)總是一致的.這個(gè)結(jié)論將(6)式描述的各向異性關(guān)系推廣為更加普遍的形式,也為實(shí)驗(yàn)未觀測(cè)的非主軸方向上的耗散現(xiàn)象提供了新的理論預(yù)言.

5 結(jié) 論

在前文的計(jì)算中,假定了每個(gè)元激發(fā)過(guò)程只會(huì)產(chǎn)生一個(gè)準(zhǔn)粒子,而沒(méi)有考慮同時(shí)產(chǎn)生多個(gè)準(zhǔn)粒子的元激發(fā)過(guò)程.可以證明,激發(fā)單個(gè)準(zhǔn)粒子的臨界速度一定小于等于激發(fā)多個(gè)準(zhǔn)粒子的臨界速度(具體證明見(jiàn)附錄B).因此,當(dāng)雜質(zhì)速度由小及大逐漸增加時(shí),單粒子激發(fā)必然先于多粒子激發(fā)出現(xiàn).另一方面,在Bogoliubov近似下,密度擾動(dòng)引起的元激發(fā)過(guò)程自然地分成了兩類(lèi): 單粒子激發(fā)對(duì)應(yīng)于原子從零動(dòng)量態(tài)到非零動(dòng)量態(tài)的躍遷,多粒子激發(fā)對(duì)應(yīng)于原子在非零動(dòng)量態(tài)之間的躍遷.由于占據(jù)零動(dòng)量態(tài)的凝聚原子遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于非凝聚原子,所以多粒子激發(fā)對(duì)于耗散的貢獻(xiàn)是可以忽略不計(jì)的.

綜上所述,本文運(yùn)用線性響應(yīng)理論,全面考察了偶極BEC中點(diǎn)狀雜質(zhì)沿不同方向運(yùn)動(dòng)的能量耗散率.在兩個(gè)主軸方向上,解析地得到了耗散率隨約化速度變化的函數(shù)形式,證明了平行極化軸方向的耗散率比垂直極化軸方向的更高,從而定性地解釋了實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的各向異性耗散現(xiàn)象.此外,我們還普遍地論證了,耗散率與臨界速度隨方向角的變化趨勢(shì)總是一致的,這為進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)研究提供了新的理論預(yù)言.本文的結(jié)論對(duì)于探索其他冷原子體系(如自旋-軌道耦合BEC[19?21])的各向異性超流現(xiàn)象也有一定的借鑒意義.

附錄A

考慮雜質(zhì)沿偏離主軸的方向運(yùn)動(dòng).根據(jù)體系的軸對(duì)稱(chēng)性,不妨取速度v在x-y平面內(nèi)投影的方位角φv=0.將q·v=qv(sinθqcosφqsinθv+cosθqcosθv)代入(1)式可算出φq的積分,再對(duì)q和θq做適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q后,得到

對(duì)于一般情形,(A1)式中的積分并不能完整地解析算出.下面重點(diǎn)討論u略大于1時(shí)耗散率的漸近形式.

當(dāng)雜質(zhì)速度剛好達(dá)到vc時(shí),觸發(fā)耗散的準(zhǔn)粒子為q→0的長(zhǎng)波聲子,其傳播方向的極角θc滿足關(guān)系由于激發(fā)條件 Eq=q ·v 的等式兩端隨v和q連續(xù)變化,故當(dāng)雜質(zhì)速度比 vc略大時(shí),貢獻(xiàn)耗散的準(zhǔn)粒子只出現(xiàn)在小動(dòng)量區(qū)間,且動(dòng)量的極角集中在θc附近.據(jù)此分析,可以將函數(shù)展開(kāi)為

其中 γc=cosθc,展開(kāi)系數(shù) λ0,λ1,λ2,λ3由泰勒公式給出

λ1表 達(dá)式中的因子sgn(γv)意為取γv的正負(fù)號(hào).

易于驗(yàn)證,當(dāng) u →1 時(shí),λ2和λ3均 小于零,這表明在vc附近函數(shù)可簡(jiǎn)化為一個(gè)拋物面.在此近似下,耗散率可由(A1)式解析地算出:

將(A4)式—(A7)式中的展開(kāi)系數(shù)代入(A8)式,并將所得結(jié)果保留至 u -1 的平方階,即得到(9)式給出的漸近形式.

附錄B

觸發(fā)耗散的元激發(fā)過(guò)程可以產(chǎn)生一個(gè)或多個(gè)準(zhǔn)粒子.元激發(fā)的能量、動(dòng)量以及雜質(zhì)速度之間滿足關(guān)系式Eq+q·v=0 .對(duì)于多粒子激發(fā)過(guò)程,Eq和q 分別表示全體準(zhǔn)粒子的總能量和總動(dòng)量.根據(jù)這個(gè)關(guān)系,要同時(shí)激發(fā)j個(gè)準(zhǔn)粒子,雜質(zhì)速度必須達(dá)到閾值

將該結(jié)果與(B1)式對(duì)比,即可推斷,產(chǎn)生多粒子激發(fā)的閾值速度一定大于產(chǎn)生單粒子激發(fā)的閾值速度,

這意味著觸發(fā)耗散的臨界速度總是由單粒子激發(fā)過(guò)程決定的,即

上述結(jié)論作為朗道超流判據(jù)的推廣,同時(shí)適用于各向同性體系與各向異性體系.對(duì)于偶極BEC,將Bogoliubov近似下的元激發(fā)能譜代入(B5)式,即得到(3)式給出的臨界速度[13].