無窮小存在的證據(jù)與康托集合論的錯誤

【摘 要】 康托的形式主義觀點最典型地反映在他對于無窮小理論的一貫反對上，康托認為，無窮小理論就相當于化圓為方，既是絕對不可能，也是十分愚蠢的?，F(xiàn)在我們讓[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上，根據(jù)康托的兩個集合間一一對應的定義，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，所以[0，1]和[0，2]為一一對應的關(guān)系，本文將根據(jù)這個事實來證明無窮小的存在。這樣，我們不僅證明了康托反對無窮小理論的觀點是錯誤的，同時也直接地證明了康托集合論是錯誤的理論。我們還根據(jù)無窮小的存在引入超實函數(shù)的理論，并且根據(jù)這個理論進一步證明康托集合論是錯誤的理論。

【關(guān)鍵詞】 無窮小的存在;證明;康托集合論;錯誤

為了論述方便，我們首先引述康托集合論的兩個集合間一一對應的定義如下：

康托集合論的兩個集合間一一對應的定義：如果存在函數(shù)y=f（x）為集合A→B的雙射函數(shù)，則集合A和B為一一對應的關(guān)系。

康托集合論的基本觀點是一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等。而這個觀點正是康托集合論的一個定理，本文稱它為康托集合論的基本定理，現(xiàn)在我們把這個定理及其證明引述如下：

康托集合論的基本定理：令a，b為實數(shù)，且a

證明：令y=f（x）=a+（b-a）x，顯然，y=f（x）為[0，1]→[a，b]的一個雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)，即等于c。

為了論述得簡單明了，我們?nèi)∫环N具體的情況，即令a=0，b=2，于是就得到集合[0，2]，并且[0，1]和[0，2]是兩個實數(shù)點的集合，[0，1]是[0，2]的真子集，這是已知條件。為了論證需要，我們首先讓[0，1]和[0，2]都在x軸上，現(xiàn)在假定[0，1]和[0，2]為一一對應的關(guān)系，則相互對應的元素的性質(zhì)就存在相同和不同兩種情況。如果相互對應的元素的性質(zhì)相同，根據(jù)集合論的外延公理：如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，并且集合B的每一個元素都是集合A的元素，則A=B，所以[0，1]=[0，2]，但是，這是和客觀事實矛盾的;如果[0，1]和[0，2]相互對應的元素不同，則[0，1]不是[0，2]的子集，因此[0，1]也就不是[0，2]的真子集，這不僅和已知條件相互矛盾，而且和客觀事實相互矛盾，那是因為在[0，1]和[0，2]在同一個坐標軸上的時候，[0，1]一定是[0，2]的真子集，因此，在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時候，[0，1]和[0，2]不可能是一一對應的關(guān)系，只能是非一一對應的關(guān)系。也就是說，在這種情況下，康托集合論的基本定理的證明不能成立。因為這個定理是根據(jù)康托集合論的兩個集合間一一對應的定義證明的，所以這個定義的正確性就值得懷疑?，F(xiàn)在我們再讓[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上，根據(jù)康托集合論的理論，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，所以[0，1]和[0，2]為一一對應的關(guān)系，這時[0，1]和[0，2]相互對應的元素的性質(zhì)就存在相同和不同兩種可能。如果[0，1]和[0，2]相互對應的元素的性質(zhì)相同，則根據(jù)集合論的外延公理，有A=B，因此[0，1]=[0，2]，這顯然和客觀事實矛盾。因此只有一種可能，那就是[0，1]和[0，2]相互對應的元素具有不同的性質(zhì)。而實數(shù)點的集合，它們的元素是沒有性質(zhì)的，因此這時的[0，1]和[0，2]就是兩個非實數(shù)點的集合。因為函數(shù)y=2x的存在改變了它的判斷對象[0，1]和[0，2]的性質(zhì)，使它們從兩個實數(shù)點的集合變?yōu)閮蓚€非實數(shù)點的集合，所以康托的兩個集合間一一對應的定義就是錯誤的，根據(jù)它證明的康托集合論的基本定理也就不能成立，所以康托集合論也就是一個錯誤的理論。

前面已經(jīng)指出，在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的時候，一方面，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，所以[0，1]和[0，2]為一一對應的關(guān)系，另一方面，也正是由于函數(shù)y=2x的存在，[0，1]和[0，2]的元素，即點就具有了不同的性質(zhì)?，F(xiàn)在我們就來研究一下它們具有什么樣的不同的性質(zhì)。由于[0，1]和[0，2]是一一對應的關(guān)系，所以[0，1]和[0，2]的點的數(shù)目相等，但是[0，2]對應的線段的長度卻是[0，1]對應的線段的長度的2倍，原因是集合[0，1]和[0，2]上的元素，即點一定具有不同的長度，而點所具有的長度只能是小于任意正實數(shù)，但是又不等于0的無窮小長度，并且這些無窮小長度又必須遵守算術(shù)公理，也就是說，集合[0，1]和[0，2]上的點的無窮小長度的算術(shù)和分別等于[0，1]和[0，2]對應的線段的長度。而[0，1]和[0，2]具有不同的性質(zhì)，則可以理解為，[0，1]和[0，2]上的點具有不同的無窮小長度，具體地說，即[0，2]上的點所具有的無窮小長度是[01]上的點所具有的無窮小長度的2倍。

這也就是說，由于函數(shù)y=2x的存在，x軸上和y軸上的點具有了無窮小的長度，并且y軸上的點所具有的無窮小長度是x軸上的點所具有的無窮小長度的2倍，這些無窮小長度都遵守算術(shù)公理。根據(jù)以上的論證，我們可以假定，由于函數(shù)y=f（x）的存在，兩個軸上的點就具有了無窮小的長度，這時兩個軸上的點也就不是實數(shù)的點，而是超實數(shù)的點，同時超實數(shù)點所對應的數(shù)就是超實數(shù)?，F(xiàn)在令X=x+dx表示x軸上的超實數(shù)點，其對應的數(shù)就是超實數(shù)。其中x為實數(shù)，表示該點到原點的距離，dx為無窮小，它表示該點所具有的無窮小長度，它小于任意正實數(shù)，但是不等于0，并且遵守算術(shù)公理。請注意，這里的dx和經(jīng)典微積分的微分概念有本質(zhì)的區(qū)別。同樣的，Y=y+dy。如果有實函數(shù)y=f（x），那么有超實函數(shù)Y=f（X）=f（x+dx）。因為Y=y+dy，所以dy=Y-y，因此dy=f（x+dx）-f（x）。這是一個重要的公式，我們稱它為超實函數(shù)的基本公式。現(xiàn)在讓我們來比較超實函數(shù)Y=f（x+dx）和實函數(shù)y=f（x）之間的差別時就會發(fā)現(xiàn)，實函數(shù)是超實函數(shù)丟掉了dx而得到的函數(shù)，因此和超實函數(shù)比較，實函數(shù)就是一個不完整的函數(shù)。再有，我們應該認識到，超實函數(shù)是客觀存在的，并且是我們原來所不知道的一個函數(shù)，而實函數(shù)只是超實函數(shù)的一個伴隨的不完整的函數(shù)。根據(jù)超實函數(shù)的基本公式dy=f（x+dx）-f（x），如果有實函數(shù)y=2x，那么有dy=2dx。其中dy表示y軸上的點所具有的無窮小長度，dx表示x軸上的點所具有的無窮小長度。根據(jù)dy=2dx，則y軸上的點所具有的無窮小長度是x軸上的點所具有的無窮小長度的2倍。如此可見，康托只知道，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，因此[0，1]和[0，2]是一一對應的關(guān)系，而康托卻不知道，也正是由于函數(shù)y=2x的存在，使兩個實數(shù)點的集合[0，1]和[0，2]變成兩個非實數(shù)點的集合，這就說明了，作為判斷兩個實數(shù)點的集合是否為一一對應關(guān)系的定義，卻改變了它的判斷對象[0，1]和[0，2]的性質(zhì)，使它們從兩個實數(shù)點的集合變成兩個非實數(shù)點的集合，因此，康托的兩個集合間一一對應的定義就是一個錯誤的定義，康托集合論也就是一個錯誤的理論。

上面關(guān)于無窮小存在性的證明充分表明了，康托對于無窮小理論的否定是完全錯誤的。對于無窮小數(shù)，非標準分析的創(chuàng)始人，美國數(shù)學家魯濱遜認為：在實數(shù)之后，下一個十分自然的步驟，即引入無窮小。而在無窮小的基礎(chǔ)之上引入的超實函數(shù)，則給數(shù)學的發(fā)展提供了更為廣闊的空間。

【參考文獻】

[1][美]周·道本.康托的無窮的數(shù)學和哲學[M].大連：大連理工大學出版社，2008：83.

[2]張錦文.集合論與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)淺說[M].上海：上海教育出版社，1980：28.

[3]張錦文.集合論與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)淺說[M].上海：上海教育出版社，1980：50.

[4]張錦文.集合論與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)淺說[M].上海：上海教育出版社，1980：4.

[5][美]魯濱遜.非標準分析[M].北京：科學出版社，1980：4.

【作者簡介：張喜安，1942年，男，漢族，遼寧遼陽人。高級工程師。研究領(lǐng)域：集合論與微積分。代表作：康托集合論為什么是錯誤的理論】