風力作用下影響橢圓形物體飛起的因素分析

曲 昊

（遼寧軌道交通職業(yè)學院，遼寧 沈陽 110023）

0 引 言

人類很早就認識和利用風能，在農(nóng)業(yè)、航海和氣象預報等方面都有使用。風能的開發(fā)和利用仍然是當今乃至將來全世界非常關注的重大課題[1]。文章對風能在物體飛行的起飛階段進行了理論分析，得到了風力作用下影響物體上升力大小的因素。

1 數(shù)學模型

伯努利方程是空氣動力學的一個基礎，對于氣體，可忽略重力，方程簡化為p+1/2ρv2=常量（ρ0），各項分別稱為靜壓、動壓和總壓。顯然，流動中速度增大，壓強就減??；速度減小，壓強就增大；速度降為零，壓強就達到最大（理論上應等于總壓）[2]。從伯努利方程可知，一個物體的兩面風速不同，產(chǎn)生壓強差，就會使物體運動。物體兩面形狀不同，如果一側(cè)面是弧面，兩面產(chǎn)生的壓強差就越大。

在數(shù)學中，橢圓是圍繞兩個焦點的平面中的曲線，使得對于曲線上的每個點，到兩個焦點的距離之和是恒定的。橢圓有一定的外觀美感，在現(xiàn)代藝術和建筑(如石拱門)設計中廣泛應用，所以將飛行物體設計成一面為平面，另外一面為橢圓弧面，形狀如圖1所示。

如圖2 所示的A 截面，風分別經(jīng)過平面和橢圓弧面到達B 截面，到達時間相同，那么經(jīng)過平面和橢圓弧面的風速就不同，得：ν2=ν，ν1=νl1/l2。

其中：l2=a。

l1是橢圓弧長，是關于平面的曲線求弧長問題，可以利用曲線弧長積分求得。

若曲線由極坐標方程：ρ=ρ（θ）（α≤θ≤β）給出，計算它的弧長時，將弧微分寫成的形式，從而有

將橢圓極坐標方程：

求解定積時，當原函數(shù)不易求得時，便可借助數(shù)值方法近似地求出數(shù)值[3]。定積分的近似計算方法有矩形法、梯形法和辛普森法，其中辛普森法是將曲邊分成若干點，相鄰三點用拋物線代替曲邊，當分割數(shù)目趨于無窮大時就能準確地求出定積分：

（n 為偶數(shù)）

由氣體伯努力方程可知：

那么兩面產(chǎn)生的壓力為：

重力為：

如果F空氣≥G即可實現(xiàn)物體的上升。

2 計算器

由于橢圓弧長的計算迭代次數(shù)較多，人工很難完成，根據(jù)推導出的數(shù)學模型，在編程軟件中編寫程序[4]。在編程軟件的對象界面中添加9 個輸入文本框，在輸出文本框輸出空氣壓力產(chǎn)生的力和物體重力，并判斷物體是否飛起來，程序如下：

3 數(shù)據(jù)分析與結(jié)論

將a=50 mm，b=30 mm，f=2 mm，h=30 mm，風速v=15 m/s，材料密度ρ塑料=0.9×103kg/m3輸入到計算器中，計算結(jié)果如圖3 所示。

在計算器中，輸入不同參數(shù)，經(jīng)計算輸出結(jié)果，見表1 所示，經(jīng)過對比分析，可得如下結(jié)論：

表1 計算結(jié)果

（1）風速一定時，b 值越大，即兩弧長度差越大，物體受到的上升力越大

（2）當物體形狀一定時，即a、b 值一定，風速越大，物體受到的上升力越大。