近世代數(shù)教學(xué)改革的實(shí)踐與探索

桑 彩 麗

(貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴陽 550025)

一、引言

近世代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)等專業(yè)十分重要的專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)必修課，是高等代數(shù)課程的延續(xù)與提高，主要介紹群、環(huán)、域的基本概念、基本知識、基本技能和基本方法，有助于提高學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力。作為貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院近世代數(shù)課程的任課教師，本文就目前貴州民族大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)近世代數(shù)課程課堂教學(xué)中存在的問題談?wù)劷虒W(xué)改革的必要性和緊迫性，并從教材的選擇、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、考核方式等方面進(jìn)行探索和研究，提出改革方案，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)近世代數(shù)的積極性和教師的課堂教學(xué)效果。

二、教材和教學(xué)中存在的問題

(一)現(xiàn)用教材的特點(diǎn)及不足之處

近世代數(shù)是一門內(nèi)容高度抽象、理論性強(qiáng)、難教難學(xué)的課程。目前我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)兩個專業(yè)選用的教材為張禾瑞先生于1978年修訂的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》[1]。該教材為近世代數(shù)課程的經(jīng)典教材，在教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)該教材有一些不足之處。例如：1.教材內(nèi)容比較精簡，沒有實(shí)際應(yīng)用的例子，且例題少。2.沒有從具體的實(shí)際問題中引出所要闡述的概念或定義，或者在給出概念或定義后沒有給出相應(yīng)的例子進(jìn)行呼應(yīng)，這會使學(xué)生誤認(rèn)為在現(xiàn)實(shí)生活中沒有真正的例子能驗(yàn)證或呈現(xiàn)該概念。3.與已學(xué)習(xí)過的《高等代數(shù)》[2]課程聯(lián)系不夠緊密，沒有將近世代數(shù)是高等代數(shù)的延續(xù)和提高這種思想體現(xiàn)出來。這些不足使得教材內(nèi)容顯得抽象，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高。由于該教材內(nèi)容較少，在教學(xué)過程中作者想補(bǔ)充其它教材上的一些內(nèi)容，如循環(huán)群子群的結(jié)構(gòu)、群在集合上的應(yīng)用、Sylow定理等，但由于近世代數(shù)太抽象，學(xué)生對教材外的新內(nèi)容不感興趣，學(xué)生要求僅講授教材上的內(nèi)容。實(shí)際教學(xué)效果反映了由于該課程概念多、理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象，學(xué)生對學(xué)習(xí)該課程不感興趣等問題，其他教師在教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)了類似的問題[3][4][5][6]，因此應(yīng)該對近世代數(shù)教材進(jìn)行改革。

(二)教學(xué)方法存在的問題

貴州民族大學(xué)屬于普通本科院校，大部分學(xué)生來自貴州，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，沒有較強(qiáng)的抽象思維能力，也沒有做過這方面的訓(xùn)練。在近世代數(shù)的教學(xué)中教師普遍采用先給出定義(或簡單舉例后引出定義)，然后講引理、定理、推論的方法。由于近世代數(shù)的概念、理論過于抽象，這種教學(xué)方式只能讓學(xué)生記住定義，領(lǐng)會不到定義的來源以及要揭示的本質(zhì)問題。學(xué)生會認(rèn)為這門課程的內(nèi)容只不過是由一些枯燥乏味的概念和定理構(gòu)成的，沒有實(shí)用性。學(xué)生有了這樣的認(rèn)識，會大大降低學(xué)習(xí)的興趣，更談不上學(xué)好這門課程。在課堂教學(xué)中有的學(xué)生看手機(jī)、心不在焉，就反映了這些問題，因此要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平改革教學(xué)方式。

(三)考核方式不夠科學(xué)、合理

在考核環(huán)節(jié)，目前我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)兩個專業(yè)近世代數(shù)課程采用考勤(占5%)、作業(yè)(占20%)、階段測驗(yàn)(占20%)、課程小論文(占5%)、期末考試(占50%)這五種方式對學(xué)生進(jìn)行綜合評價和考核。目前期末考試成績占的比重較大，會使學(xué)生為了提高期末成績而機(jī)械地記憶定義、定理，忽視了近世代數(shù)的應(yīng)用背景及對學(xué)習(xí)近世代數(shù)興趣的培養(yǎng)。

三、教學(xué)改革的幾點(diǎn)建議

針對近世代數(shù)課程教學(xué)實(shí)踐中存在的問題，筆者給出教學(xué)改革的幾點(diǎn)建議。

(一)在編寫教材和課堂授課時增加知識點(diǎn)的來源和應(yīng)用背景介紹

近世代數(shù)(也稱抽象代數(shù))把我們熟悉的多項(xiàng)式、矩陣、映射、函數(shù)、變換等對象作為集合的元素，把集合中元素的運(yùn)算法則(例如，加、減、乘、除等)抽象為不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)來研究(例如，群中元素的運(yùn)算法則通稱為乘法、環(huán)和域中元素的兩種不同的運(yùn)算法則分別通稱為加法和乘法)，而沒有講為什么要這樣做？這樣做有什么用處？僅僅是為了研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)具有的最基本的性質(zhì)。這樣就把群、環(huán)、域的來源和背景掩蓋了，致使教材內(nèi)容抽象、枯燥、難懂，概念的來源和應(yīng)用背景匱乏、缺乏與實(shí)際問題的聯(lián)系，因此在編寫校本教材或課堂教學(xué)中，應(yīng)增加知識點(diǎn)的來源、應(yīng)用背景介紹和實(shí)例分析。例如，在引入群的概念時，可以講關(guān)于近世代數(shù)由來的數(shù)學(xué)史，講伽羅瓦引入“群”的概念證明了“高于四次的代數(shù)方程不能用根式求解”的典故，并將伽羅瓦所用理論和證明方法[6][7]講給學(xué)生聽；在講解群論相關(guān)知識時引入多面體著色問題[7]；在學(xué)習(xí)子群時可講解用子群的乘積、生成元證明三階魔方的可解性等問題，以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

(二)刪增部分教學(xué)內(nèi)容

《近世代數(shù)基礎(chǔ)》[1]距今已有41年了，其中很多概念和理論，如第一章的集合、映射、變換、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律、交換律、分配律等，學(xué)生在高中階段或本科階段的課程中已經(jīng)學(xué)過，這部分內(nèi)容可以刪減。隨著新知識、新方法、新技巧、新應(yīng)用的產(chǎn)生，在教學(xué)內(nèi)容上要做到與時俱進(jìn)，就要增加許多新的研究成果作為教學(xué)內(nèi)容，例如，可以在教學(xué)中增加群在集合上的應(yīng)用、Sylow定理、合成群列、單群、可解群、自由群、正多面體及有限旋轉(zhuǎn)群、有限域、中國剩余定理、群與幾何和數(shù)論的聯(lián)系等知識。也可以選擇多種參考教材，如趙春來和徐明曜編著的《抽象代數(shù)I》、胡冠章和王殿軍編著的《應(yīng)用近世代數(shù)》[7]、裴定一和郭華光編著的《近世代數(shù)》[8]等，從中汲取精華并挑選部分適合本校學(xué)生認(rèn)知且容易理解的概念、定理等基本知識作為教學(xué)內(nèi)容，從而使得教學(xué)內(nèi)容更加豐富。在對信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)本科生授課時，可增加有限域、正規(guī)擴(kuò)域等內(nèi)容，并介紹它們在計(jì)算理論、信息安全等領(lǐng)域上的應(yīng)用；Sylow定理具有極強(qiáng)的應(yīng)用性，可增加該定理并通過Polya記數(shù)定理給學(xué)生介紹其在組合數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。通過刪減已修內(nèi)容、增添最新研究成果的方式讓學(xué)生了解群、環(huán)、域等理論的巨大應(yīng)用背景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

(三)加強(qiáng)與高等代數(shù)等課程的聯(lián)系

近世代數(shù)課程中有些內(nèi)容是將高等代數(shù)中的多項(xiàng)式、矩陣、變換作為集合的元素進(jìn)行研究，并揭示它們的基本規(guī)律，因此在教學(xué)中應(yīng)充分利用學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過的高等代數(shù)知識，盡量將高等代數(shù)課本中沒有的知識點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)充，以便讓學(xué)生認(rèn)識到近世代數(shù)是高等代數(shù)的后繼及發(fā)展。例如，在講解群論時，可以讓學(xué)生證明：實(shí)數(shù)域上全體同階可逆矩陣對于矩陣乘法作成一個群，由于矩陣乘法不滿足交換律，因此不構(gòu)成交換群。又如，在講解環(huán)論時可以讓學(xué)生證明：有理數(shù)域上全體同階矩陣構(gòu)成環(huán)，但不構(gòu)成除環(huán)；全體一元多項(xiàng)式也構(gòu)成環(huán)。在講授教材(即文獻(xiàn)[1])第四章整環(huán)里的因子分解時，可以將素元、整除、最大公因子等結(jié)論作為高等代數(shù)教材(即文獻(xiàn)[2])第一章多項(xiàng)式里素?cái)?shù)、整除、最大公因式等概念和結(jié)論的推廣。再如，在引入“同態(tài)”和“同構(gòu)”概念之前，可以先讓學(xué)生回憶解析幾何中三角形“相似”和“全等”的概念及判定方法，這樣學(xué)生會將“相似”與“同態(tài)”“全等”與“同構(gòu)”聯(lián)系起來，并作類比加強(qiáng)理解和記憶。

(四)在課堂教學(xué)中強(qiáng)調(diào)從具體到抽象的思維過程，幫助學(xué)生理解近世代數(shù)中的抽象概念

近世代數(shù)中的概念、定義、定理等內(nèi)容具有高度的抽象性，大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)時都會感到困難，以致望而生畏、不感興趣，這就要求我們在課堂教學(xué)中對概念和定義的敘述方式和教學(xué)方法進(jìn)行改革。教學(xué)中要堅(jiān)持從具體到抽象的思維方法，盡可能先講解具體的例子，然后由具體的例子引出抽象的概念和定義，最后講解相關(guān)的知識點(diǎn)，讓學(xué)生知道這些知識是從實(shí)際例子中抽象出來的，不是憑空想象出來的，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生理解并掌握這些抽象的數(shù)學(xué)知識。例如，在講授教材(即文獻(xiàn)[1])的第一章第八節(jié)“同態(tài)”、第九節(jié)“同構(gòu)”的定義時，可以舉例子：

logc(a°b)=logc(ab)=logc(a)+logc(b)

(五)在課堂教學(xué)中讓學(xué)生講解并體驗(yàn)近世代數(shù)的應(yīng)用

在課堂教學(xué)中學(xué)生問的最多的問題是：為什么要學(xué)近世代數(shù)？為什么要學(xué)群、環(huán)、域等知識？學(xué)這些知識有什么用？若僅僅告訴學(xué)生，學(xué)近世代數(shù)肯定是有用處的，群、環(huán)、域等概念不是憑空想出來的，它們是為解決某些實(shí)際問題而抽象出來的，現(xiàn)在你們要做的就是認(rèn)真系統(tǒng)地學(xué)習(xí)近世代數(shù)，等到用到的時候就融會貫通了，這樣的回答會讓學(xué)生認(rèn)為老師根本沒有回答他們的問題，而是回避了他們的問題，這樣的回答提不起學(xué)生學(xué)習(xí)近世代數(shù)的興趣和積極性。在某些章節(jié)的課堂教學(xué)中教師可以采用翻轉(zhuǎn)課堂、換位教學(xué)和討論式教學(xué)[9]等多種教學(xué)方式，互換學(xué)生與教師的角色，鼓勵學(xué)生上講臺，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性與主動性。教師可以在課前預(yù)習(xí)階段安排對近世代數(shù)感興趣且成績較好的學(xué)生提前備課，查找所要講述知識點(diǎn)的應(yīng)用背景，并讓他們在課堂教學(xué)的引入階段上講臺講授查找到的應(yīng)用背景，然后讓其他學(xué)生分組討論，解決科學(xué)和生活中的實(shí)際問題，學(xué)生按組闡述自己的解決方案，最后教師總結(jié)并用近世代數(shù)的知識解決該問題，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)近世代數(shù)的樂趣，認(rèn)識到近世代數(shù)是一門有用的課程，以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。

例如，在講授了群對集合的作用后，教師可以讓學(xué)生分組討論開關(guān)線路問題：由n個開關(guān)可以組成多少種本質(zhì)上不同的開關(guān)路線?[10]在學(xué)習(xí)了四元數(shù)除環(huán)后，可以讓學(xué)生查找并分組討論：四元數(shù)除環(huán)在圖像處理中的應(yīng)用[11];在講到域的概念及相關(guān)知識時，可以讓學(xué)生分組討論：用尺規(guī)作圖能解決三等分角的問題嗎?學(xué)生分組討論并給出回答后，教師分別用群、環(huán)、域的知識講解并解決開關(guān)電路、圖像處理、尺規(guī)作圖不可能三等分角等問題。從教學(xué)實(shí)踐看，諸如此類的問題和知識都讓學(xué)生們興奮不已，使他們認(rèn)識到書本上那些枯燥的知識在實(shí)際問題中竟然有這么多的用處，慢慢地學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣就提高了。

(六)采取過程化方法對學(xué)生成績進(jìn)行綜合評定

建議增加課前應(yīng)用背景查找、課堂教學(xué)引入環(huán)節(jié)學(xué)生上臺講解、課堂分組討論環(huán)節(jié)等過程化考核，適當(dāng)降低期末考試分?jǐn)?shù)的比例，以整個學(xué)期學(xué)生的綜合成績進(jìn)行綜合評價，以便充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)近世代數(shù)的積極性和主動性，并回答“為什么學(xué)近世代數(shù)?”等問題。

四、結(jié)語

本文針對近世代數(shù)課程的特點(diǎn)，結(jié)合貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院本科生的實(shí)際情況，提出了從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段和考核方式等幾個方面進(jìn)行改革的建議。只要我們不斷地進(jìn)行教學(xué)改革的實(shí)踐與探索，必將全面提高近世代數(shù)課程的教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生的能力得到充分發(fā)展。