斜齒面齒輪齒面接觸問(wèn)題的有限元-線性規(guī)劃解法

宋相男，靳廣虎

(南京航空航天大學(xué) 直升機(jī)傳動(dòng)技術(shù)實(shí)驗(yàn)室， 江蘇 南京 210016)

0 引言

本質(zhì)上而言，面齒輪傳動(dòng)是漸開(kāi)線圓柱齒輪與錐齒輪相嚙合的齒輪傳動(dòng)[1]，在直升機(jī)主減速器的傳動(dòng)系統(tǒng)、銑床主軸的傳動(dòng)系統(tǒng)以及自行車(chē)的無(wú)鏈條傳動(dòng)系統(tǒng)中均有很好的應(yīng)用。其特有的結(jié)構(gòu)和嚙合特性使其具備諸多優(yōu)勢(shì)，成為21世紀(jì)直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)研究的重點(diǎn)。

LITVIN.F.L研究了面齒輪齒面成形的理論方法及齒面接觸應(yīng)力的分析[2-3]；沈云波等分析了斜齒面齒輪齒寬限制條件[4-5]；方宗德、WU S H及YE.S.Y等人基于齒輪齒面的柔度矩陣對(duì)齒面接觸應(yīng)力進(jìn)行了計(jì)算[6-9]；T.F.Conry等基于線性規(guī)劃的思想提出了彈性接觸問(wèn)題的解法[10-12]；唐進(jìn)元基于有限元的思想計(jì)算了螺旋錐齒輪的嚙合剛度[13]。

本文提出基于有限元-線性規(guī)劃法對(duì)斜齒面齒輪齒面接觸問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算的方法，基于齒面接觸區(qū)域的載荷和變形量計(jì)算了齒輪副的嚙合剛度及最大壓應(yīng)力。

1 斜齒面齒輪的齒面成形及接觸軌跡

1.1 齒面數(shù)學(xué)模型

斜齒面齒輪齒面十分復(fù)雜，無(wú)法直接將其齒面方程表示出來(lái)，需借助其加工刀具齒面方程，并結(jié)合齒輪嚙合方程間接對(duì)其齒面加以描述。

1) 插齒加工坐標(biāo)系

根據(jù)斜齒面齒輪插齒加工原理，建立如圖1所示加工坐標(biāo)系。其中，ssc(o-xsc,ysc,zsc)為刀具的固定坐標(biāo)系，ss(o-xs,ys,zs)是與刀具固聯(lián)的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，sfc(o-xfc,yfc,zfc)為面齒輪的固定坐標(biāo)系，sf(o-xf,yf,zf)是與面齒輪固聯(lián)的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，φs和φf(shuō)分別為刀具與面齒輪的轉(zhuǎn)角。

2) 刀具的齒面方程

圖2為刀具端面齒廓及坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系與圖1中的坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)。其中，θs為刀具漸開(kāi)線齒廓上的角度參數(shù)；θsc為刀具基圓上齒槽寬所對(duì)應(yīng)圓心角之半,其計(jì)算公式為

θsc=2π/Ns-(tanαst-αst)

(1)

式中：Ns為刀具齒輪的齒數(shù)；αst表示刀具端面壓力角。

圖1 斜齒面齒輪插齒加工坐標(biāo)系

圖2 刀具齒面坐標(biāo)系

漸開(kāi)線齒廓方程為：

(2)

式中：rbs為刀具基圓半徑；“±”分別表示漸開(kāi)線齒廓Ⅰ和Ⅱ。

漸開(kāi)線斜齒輪刀具的齒面由端面齒廓沿z軸作螺旋運(yùn)動(dòng)掃略形成，故刀具齒面1(即齒廓Ⅰ螺旋而成的齒面)方程表示為：

(3)

同理，齒面2方程為：

(4)

式中：γs為端面齒廓沿z軸螺旋的角度；ps為螺旋參數(shù)，其計(jì)算公式為

ps=2πrbs/tanβb

(5)

式中βb為刀具基圓螺旋角。

3) 斜齒面齒輪的齒面方程

根據(jù)包絡(luò)理論和齒輪嚙合原理，則得斜齒面齒輪的齒面方程為：

(6)

式中：Mf,s是坐標(biāo)系ss到sf的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；f(θs,γs,φs)是齒面嚙合方程。Mf,s表示為：

其中：v(s, f)為刀具與面齒輪嚙合點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度；n表示嚙合點(diǎn)處法向量。

1.2 齒面嚙合軌跡

采用齒數(shù)N1比刀具齒數(shù)Ns少1～3個(gè)，且其他參數(shù)與刀具一致的漸開(kāi)線斜齒圓柱齒輪與面齒輪嚙合，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)接觸傳動(dòng)。因齒面參數(shù)相同，故斜齒輪齒面方程與刀具相類(lèi)似，其齒面方程用r1(θ1,γ1)表示。

嚙合傳動(dòng)時(shí)，兩輪齒面連續(xù)相切，則在固定坐標(biāo)系中，兩輪齒面接觸點(diǎn)具有相同的坐標(biāo)和法向量，即：

(7)

依據(jù)上述理論分析，利用matlab編寫(xiě)程序，實(shí)現(xiàn)斜齒面齒輪齒面及接觸軌跡的可視化，如圖3。

圖3 斜齒面齒輪齒面及接觸軌跡

2 斜齒面齒輪齒面接觸問(wèn)題計(jì)算理論

2.1 面齒輪彈性接觸問(wèn)題的基本理論

圖4 斜齒面齒輪接觸情況

取區(qū)域Ⅱ包含實(shí)際接觸區(qū)域Ⅰ，區(qū)域Ⅱ上各點(diǎn)的彈性力為Pi，區(qū)域Ⅱ上點(diǎn)是否在實(shí)際接觸區(qū)域Ⅰ上的判別條件為：

1) 在接觸區(qū)域Ⅰ:

(8)

2) 不在接觸區(qū)域Ⅰ:

(9)

式中：δ為兩輪齒的整體接近量，δ=δ1+δf。

各點(diǎn)的接觸彈性變形可表示為：

ωi=ai·pi

(10)

式中ai表示各點(diǎn)的齒面柔度系數(shù)。

設(shè)區(qū)域Ⅱ上共有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，則各點(diǎn)彈性力之和為F，即

(11)

由式(8)-式(11)可得到區(qū)域Ⅱ上各節(jié)點(diǎn)的初始距離hi、節(jié)點(diǎn)力pi、彈性變形ωi和輪齒的整體接近量δ滿足：

(12)

記區(qū)域Ⅱ上斜齒輪和面齒輪齒面上各節(jié)點(diǎn)的柔度系數(shù)之和為一N×N階矩陣A

(13)

則式(12)可改寫(xiě)為：

(14)

式中：P=[P1,P2,…,Pn]T，H=[h1,h2,…,hn]T為N×1階列向量。

2.2 兩齒面對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間初始距離hi的求解

(15)

式中：t為坐標(biāo)參數(shù)，其值為任意實(shí)數(shù)。

(16)

3 齒面載荷分布的線性規(guī)劃算法

3.1 面齒輪彈性接觸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

將變形協(xié)調(diào)條件式(8)和式(9)改寫(xiě)為

(17)

引入松弛變量Yi(Yi≥0)，則上式可寫(xiě)為

(18)

(19)

將式(18)代入式(14)可獲得斜齒面齒輪齒面彈性接觸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：

(20)

式中：{e}為N×1階單位向量；[I]為N×N階單位矩陣；P=[P1,P2,…,Pn]T、H=[h1,h2,…,hn]T為N×1階列向量。

該模型中需求解的未知量為(P,δ,Y)，Pi≥0，δ≥0，Yi≥0，且各未知量均需滿足接觸條件式(19)。

3.2 改進(jìn)的單純形法計(jì)算齒面載荷

參照線性規(guī)劃的一般形式，將斜齒面齒輪的彈性接觸問(wèn)題改寫(xiě)為：

在約束條件：

(21)

下,求目標(biāo)函數(shù)

(22)

的最小值。

式中：Zi為人工變量，其值非負(fù)。

該問(wèn)題不同于一般線性規(guī)劃問(wèn)題之處在于其附加有接觸條件式(19)，將該問(wèn)題表示如表1所示。

表1 面齒輪彈性接觸問(wèn)題的線性規(guī)劃表示

表1第一行元素為待求的各未知量，往后每行代表一個(gè)約束條件，共有N+2個(gè)約束條件，最右邊一列的值為等式約束式(21)的右邊常數(shù)項(xiàng)。

將表1的第N+2約束行元素減去前N+1約束行元素之和，并將結(jié)果放置于原第N+2約束行，獲得改進(jìn)后的形式如表2所示。

表2 面齒輪彈性接觸問(wèn)題的改進(jìn)線性規(guī)劃表示

表2中，di、Zd可分別表示為：

(23)

由表2可知，Zi的系數(shù)矩陣為一單位陣，故令Zi為基變量，令(P,δ,Y)為非基變量，取值為0，得初始基本可行解。因未知量數(shù)遠(yuǎn)大于方程數(shù)，故有多組基本可行解，但僅有一組為所需解。由線性規(guī)劃的求解過(guò)程可知，得到一組基本可行解后，需不停地進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算，使各變量不斷進(jìn)入或退出基變量，找出一組使目標(biāo)函數(shù)取最小值的可行解。

任何一個(gè)非基變量xs增加一正增量Δxs，將使目標(biāo)函數(shù)變化為Zd+dsΔxs，為使目標(biāo)函數(shù)減小最快，應(yīng)使ds為di中的最小負(fù)值。找出變量xs所在列的所有正系數(shù)ais，其對(duì)應(yīng)最右邊的常數(shù)項(xiàng)為bi，作比值bi/ais，找出所有比值的最小者。假設(shè)在r行，則以r行s列元素為轉(zhuǎn)軸元素進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算。此時(shí)，原非基變量xs進(jìn)入基本可行解，而相應(yīng)的Zr則退出基本可行解。

用該方法求解斜齒面齒輪的齒面接觸問(wèn)題時(shí)，有附加接觸條件式(19)，故對(duì)進(jìn)入基本可行解的變量有限制條件。假設(shè)某次進(jìn)入基本可行解的變量選為Ps，則需檢查與之對(duì)應(yīng)的Ys是否為基變量。若否，Ps可自由進(jìn)入基本可行解；若是，Ps進(jìn)入后Ys退出，則此次Ps仍可進(jìn)入，否則找出di中除ds以外的最小負(fù)值所在列的變量進(jìn)入基本可行解；同理，若某次進(jìn)入基本可行解的變量選為Ys，則應(yīng)對(duì)相應(yīng)的Ps進(jìn)行檢查。

重復(fù)上述運(yùn)算過(guò)程，直至得到滿足接觸條件的基本可行解。實(shí)際計(jì)算表明，在2×(N+1)個(gè)循環(huán)內(nèi)便可以得到唯一可行解。

3.3 齒輪副綜合嚙合剛度的求解

斜齒面齒輪的齒厚在齒寬方向上不斷變化，故目前還未見(jiàn)斜齒面齒輪副嚙合剛度的解析求解法?；谝陨锨蠼猓色@得接觸區(qū)域上各節(jié)點(diǎn)的載荷和變形，從而求得單對(duì)齒嚙合剛度：

(24)

式中δu為單對(duì)輪齒的綜合彈性變形。

本文中，δu定義為整片接觸區(qū)域上所有對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)間彈性變形的平均值，即

(25)

式中m為實(shí)際接觸的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

多對(duì)齒接觸時(shí)，各接觸齒對(duì)間可看作是并聯(lián)彈簧，故將同時(shí)嚙合輪齒的單對(duì)齒嚙合剛度進(jìn)行分段疊加，即可得嚙合副的綜合嚙合剛度Km：

(26)

式中s為同時(shí)嚙合的輪齒對(duì)數(shù)。

3.4 實(shí)例計(jì)算

斜齒輪的法面模數(shù)mn=4,齒數(shù)N1=27，壓力角α=22.5°，螺旋角β=10°，刀具齒數(shù)Ns=28，面齒輪齒數(shù)Nf=131。

1) 初始距離hi

圖5所示為接觸點(diǎn)附近兩齒面對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的初始距離圖。由圖可知，斜齒面齒輪內(nèi)徑靠近齒根和外徑靠近齒頂處，兩齒面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的初始距離較大，而在接觸點(diǎn)附近，兩齒面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)間初始距離較小，該趨勢(shì)與兩齒面形狀吻合。

圖5 接觸區(qū)域?qū)?yīng)點(diǎn)間初始距離

2) 接觸區(qū)域載荷分布

圖6所示為斜齒面齒輪齒面接觸區(qū)域上的載荷分布，該接觸區(qū)域上最大載荷出現(xiàn)在初始接觸點(diǎn)(橢圓中心)處，接觸區(qū)域的載荷在空間內(nèi)呈半橢球體分布，這與Hertz接觸理論是吻合的。

圖6 接觸變形區(qū)域載荷分布

3) 嚙合剛度

根據(jù)式(22)和式(23)求得單對(duì)齒從嚙入到嚙出過(guò)程中，嚙合剛度計(jì)算值及傅里葉擬合曲線如圖7。

圖7 單齒嚙合剛度曲線

將單對(duì)齒嚙合剛度曲線向左、右移動(dòng)角度Δφ可得臨近齒對(duì)的單齒嚙合剛度曲線如圖8。Δφ為斜齒圓柱齒輪轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)周期的轉(zhuǎn)角與重合度的比值。

圖8 各嚙合齒對(duì)的嚙合剛度

將各單齒對(duì)的嚙合剛度按式(24)進(jìn)行分段疊加，得綜合嚙合剛度，如圖9。

圖9 綜合嚙合剛度

4) 最大接觸應(yīng)力計(jì)算結(jié)果與驗(yàn)證

采用本文方法和Hertz理論法分別計(jì)算單對(duì)齒嚙合時(shí)接觸區(qū)域的最大接觸應(yīng)力，結(jié)果如圖10所示。其中，施加的載荷F=2500N。由圖可知，嚙合過(guò)程中，兩種方法所得接觸應(yīng)力的最大誤差為7.87%，最小誤差接近0。

圖10 斜齒面齒輪齒面最大接觸應(yīng)力

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要做了如下工作：

1)通過(guò)包絡(luò)理論和齒輪嚙合原理推導(dǎo)了斜齒面齒輪的齒面方程，并基于matlab實(shí)現(xiàn)其齒面及接觸軌跡的可視化。

2)建立適合斜齒面齒輪接觸問(wèn)題的線性規(guī)劃模型，對(duì)單純形算法加以改進(jìn)，求得齒面載荷分布和各接觸位置的彈性變形，給出了基于有限元和線性規(guī)劃求解斜齒面齒輪副嚙合剛度的方法。

3) 通過(guò)與傳統(tǒng)的Hertz接觸理論計(jì)算出的接觸應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比，得到的誤差均在8%以內(nèi)，證明了本文方法的有效性。

本文為斜齒面齒輪齒面接觸問(wèn)題提出了一種行之有效的計(jì)算方法，給出了一種計(jì)算斜齒面齒輪副嚙合剛度的途徑，為斜齒面齒輪傳動(dòng)中接觸強(qiáng)度的分析提供了一定的理論基礎(chǔ)。