顆粒與壁面間滾動摩擦對進料裝置顆粒流動特性的影響*

邰曈，王彪，唐天琪，何玉榮

(哈爾濱工業(yè)大學能源科學與工程學院，哈爾濱 150001)

3D打印能快速制造出傳統工藝難以加工的復雜形狀實體，是一種極具革命性的數字化生產模式。3D打印技術可以分為熔融沉積成型、光固化快速成型、選擇性激光燒結、分層實體制造等[1-3]。熔融沉積成型技術(fused deposition modeling，FDM)作為最常用的3D打印技術之一，由于無需使用激光，直接將成型材料熔化后層層堆積成實體模型，因而具有結構簡單、成本低廉、使用便捷等優(yōu)點[4]。

然而，FDM技術也存在一些缺陷。由于FDM打印機采用低熔點的絲材作為原材料，制得成品的某些機械性能(如強度、韌性等)較差，且材料種類受限，熔點高的塑料無法采用[5]。同時，商業(yè)化FDM打印機中絲狀材料通常通過摩擦滾輪輸送，滾輪對絲材驅動力小，無法大幅提高打印速度。相對于絲狀材料，顆粒材料種類豐富、應用廣泛，且許多新型材料機械性能完全符合產品要求[6]。螺桿擠出裝置能夠輸運塑料顆粒并使其熔融擠出，且螺桿對顆粒的軸向擠壓作用力大[7-8]，可有效提高打印速度，故在FDM技術中具有廣闊應用前景。

應用于3D打印機進料的螺桿擠出裝置中，螺桿結構中顆粒的流動特性影響出口顆粒速度分布及質量流量，并對熔體的流動特性和成品質量產生重要影響。同時，顆粒的材料特性如滾動摩擦系數等直接影響顆粒流動特性。在流化床等設備中，滾動摩擦對顆粒流動特性的影響已得到充分研究，但在螺桿輸運結構中，相應研究十分缺乏。

因此，本文針對應用于FDM技術中的螺桿擠出裝置，建立顆粒運動和碰撞過程中相應的數學模型，基于離散單元法(discrete element method,DEM)對顆粒流動特性受輸運段顆粒與壁面間滾動摩擦的影響進行數值模擬研究，研究顆粒的流動特性包括顆粒速度、質量流量、轉矩等。

1 模型建立

1.1 顆粒運動

顆粒運動遵循牛頓第二定律。由于裝置中各部分壓力恒為大氣壓，且顆粒運動速度小，氣相與固相相對運動速度低，故氣相對固相顆粒的壓力梯度力和曳力作用可以忽略不計[7]，顆粒的運動過程只受到周圍顆粒對其作用力和自身重力的影響[9-10]：

(1)

式中：mp為顆粒質量(kg)；rp為某一顆粒球心位置(m)；n為與指定顆粒接觸的周圍顆粒個數；Fc為接觸力(N)。

顆粒轉動過程中動量矩定理[11]表示如下

(2)

式中：Ip為轉動慣量(kg·m2)；ωp為顆粒角速度(rad/s)；Tr為由滾動摩擦產生的顆粒轉矩(N·m)。

1.2 顆粒碰撞

本研究采用線性彈簧阻尼模型計算顆粒碰撞過程中的接觸力。線性彈簧阻尼模型中用彈簧-阻尼器-滑塊系統模擬碰撞過程中顆粒間相互作用。其中，彈簧組件表征顆粒間彈性接觸力作用，阻尼器表征顆粒間緩沖作用，滑塊組件表征顆粒間摩擦滑移等作用[12]。顆粒碰撞過程中接觸力表示如下：

Fc,n=-knδn-ηnvr,n，

(3)

(4)

式中：k為彈簧剛度(N/m)；δ為顆粒變形量(m)；η為阻尼系數(N·s/m)；vr為顆粒相對運動速度(m/s)；μf為滑動摩擦系數。

1.3 滾動摩擦

顆粒與顆粒、顆粒與壁面間發(fā)生碰撞時由于顆粒的轉動，相互間存在滾動摩擦作用。滾動摩擦對顆粒的流動特性產生一定影響。為了考慮滾動摩擦的作用，本研究采用一種常見的定向恒轉矩模型。該模型假設由滾動摩擦引起的轉矩的方向與發(fā)生碰撞的顆粒間的相對運動方向總是相反[13]。發(fā)生碰撞的顆粒由滾動摩擦引起的轉矩表示如下

(5)

式中：ωij為顆粒相對旋轉角速度(s-1)；Rr為相對半徑(m)，由發(fā)生碰撞的顆粒半徑確定；μr為無量綱滾動摩擦系數。

1.4 初始及邊界條件

圖1為螺桿擠出裝置輸運段的結構。螺桿裝置輸運段主要由進料漏斗、螺桿、外管壁及錐形體等結構組成。顆粒由進料漏斗流入，通過轉動的螺桿輸運到螺桿與錐形體中間的空腔中，并在空腔中堆積?？涨恢卸逊e的顆粒受到轉動螺桿對其的作用力，其中向下的軸向分力具有擠壓顆粒的作用，并使得顆粒從錐形體與外壁面間的環(huán)形間隙中流出。螺桿輸運段主要結構參數見表1。

1：進料漏斗；2：螺桿；3：外管壁；4：錐形體。圖1 螺桿擠出裝置輸運段結構Fig.1 Structure of the feeding section

表1 螺桿擠出裝置輸運段主要結構參數Table 1 Main structural parameters of the feeding section

數值模擬中采用3種不同類型的顆粒：聚乳酸(polylactic acid,PLA)，聚丙烯(polypropylene,PP)，熱塑性聚氨酯(thermoplastic polyurethane,TPU)，顆粒直徑均為3 mm，模擬時間內流入的顆粒數均為1 000個。螺桿擠出裝置所有壁面材料均為鋼，密度為7 800 kg/m3，剪切模量為2.07×1011Pa。模擬中的時間步長基于瑞利時間步確定，設置為4.4×10-7s。模擬中劃分的平均計算網格尺寸為4.5 mm×4.5 mm×4.5 mm，網格總數約為71 136個，通過網格無關性驗證證明該尺寸網格已達到網格無關性要求。所有工況的模擬時間均為25 s，并對10～25 s內流動特性參數的取時均值進行研究，因為10 s后空腔內顆粒堆積及流動情況趨于穩(wěn)定。

基于陳磊[14]及白曉鵬[15]的測量結果，表2給出3種顆粒材料的主要參數。模擬中PLA、TPU、PP的顆粒間滾動摩擦系數均設定為0.012，針對每種顆粒的顆粒與壁面間滾動摩擦系數分別設置0.012、0.015、0.018、0.021、0.024共5個工況[14,16-17]。

表2 3種顆粒材料主要參數Table 2 Main material properties for three kinds of particles

1.5 模型驗證

為了驗證所選取的模型的準確性，將Roberts和Willis[18]的實驗結果與采用本研究中模型的數值模擬結果進行對比。文獻[18]實驗中采用的是垂直螺旋輸送機結構。圖2給出螺旋輸送機中螺桿轉速不同的各工況下出口顆粒質量流量實驗數據與數值模擬結果對比。由圖可知，在實驗與DEM模擬結果中顆粒質量流量均隨螺桿轉速的增加而增加，且增加的幅度逐漸減小。不同螺桿轉速各工況中DEM模擬結果均比實驗結果略低，可能是由于數值模擬中對結構適當簡化所致。當螺桿轉速為1 200 rpm時。模擬結果與實驗結果的相對誤差最大，約為5.4%。由此可見，模擬結果與文獻[18]實驗符合良好，從而驗證了所采用模型的合理性。

圖2 螺旋輸送機出口顆粒質量流量實驗與模擬結果對比Fig.2 Comparison between experiment and simulation results on outlet particle mass flow in the screw conveyer

2 結果與討論

2.1 顆粒速度

輸運段顆粒速度均勻性對螺桿擠出裝置擠出成品質量具有重要影響。評判變量分布均勻性的一個重要標準是相對標準偏差(relative standard deviation，RSD)：

(6)

(7)

圖3展示顆粒與壁面間滾動摩擦系數對輸運段出口處顆粒相對速度標準偏差的影響。隨著顆粒與壁面間滾動摩擦系數的增大，3種顆粒在出口處相對速度標準偏差均相應增加，并且增加幅度逐漸減小。這是由于出口處顆粒沿著環(huán)向間隙單排流出，顆粒與壁面間滾動摩擦的增大使得與壁面發(fā)生碰撞的顆粒速度減小，其與未發(fā)生碰撞的顆粒的速度差異增大，導致速度均勻性下降。

圖3 顆粒與壁面間滾動摩擦系數對相對速度標準偏差的影響Fig.3 Effect of rolling friction coefficient between particle and wall on relative standard deviation of velocity

當顆粒與壁面間滾動摩擦系數相同時，PP顆粒對應相對速度標準偏差最大，PLA顆粒次之，TPU顆粒最小，說明TPU顆粒在出口處速度更加均勻。當顆粒與壁面間滾動摩擦系數從0.012增至0.024時，PLA顆粒相對速度標準偏差相應從68.0%增至80.8%，增幅最大，達12.8%。由此可知，若想在3D打印進料中使得顆粒出口流動盡可能均勻，應當選擇滾動摩擦系數更小、更光滑的顆粒；同時，選擇TPU顆粒相比于其余兩種顆粒在速度均勻性方面效果最好。

2.2 顆粒質量流量

進料段出口顆粒質量流量直接影響3D打印速度。圖4給出各工況下顆粒與壁面間滾動摩擦系數對出口處顆粒質量流量的影響。隨著顆粒與壁面間滾動摩擦系數的增大，輸運段出口處顆粒的質量流量均近似線性減小，證明顆粒與壁面間滾動摩擦對出口處顆粒流動存在一定的阻礙作用。

當顆粒與壁面間滾動摩擦相同時，PLA顆粒對應出口質量流量最高，TPU顆粒次之，PP顆粒對應的出口質量流量最小。當顆粒與壁面間滾動摩擦系數從0.012增至0.024時，PLA顆粒對應的質量流量從0.094 g/s降至0.086 g/s，減少的幅度最大，達8.6%。由此可見，要想在3D打印進料過程中顆粒質量流量更大，可以選擇更為光滑的顆粒。

圖4 顆粒與壁面間滾動摩擦系數對出口質量流量的影響Fig.4 Effect of rolling friction coefficient between particle and wall on outlet mass flow

2.3 顆粒轉矩

顆粒與壁面間的滾動摩擦影響顆粒的轉動特性，圖5給出顆粒與壁面滾動摩擦系數對顆粒時均總轉矩的影響。隨著顆粒與壁面滾動摩擦系數的增加，3種顆粒時均總轉矩均隨之增加，這是由于顆粒與壁面間滾動摩擦系數的增加使得螺桿壁面對附近顆粒的轉動行為的影響增強，周圍顆粒獲得更大的轉矩。

當顆粒與壁面間滾動摩擦系數相同時，PP和TPU對應的時均轉矩相對較小，PLA顆粒對應的時均轉矩最大，其數值為其余兩種顆粒轉矩的2～3倍。TPU顆粒對應的時均轉矩隨顆粒與壁面滾動摩擦系數的增加變化很小，說明TPU顆粒受顆粒與壁面間滾動摩擦影響極小。

圖5 顆粒與壁面間滾動摩擦系數對總轉矩的影響Fig.5 Effect of rolling friction coefficient between particle and wall on total torque

圖6進一步分析顆粒與壁面間滾動摩擦對由摩擦轉矩引起的轉矩(摩擦轉矩)與接觸力引起的轉矩(接觸轉矩)的影響規(guī)律。圖6(a)、6(c)、6(e)分別給出PLA、PP、TPU顆粒摩擦轉矩與接觸轉矩所占總轉矩的百分比。隨著顆粒與壁面間滾動摩擦系數的增加，3種顆粒對應的由滾動摩擦引起的轉矩占比均略有增加，相應地由接觸力引起的轉矩占比減小。其中，PLA顆粒摩擦轉矩占比受滾動摩擦影響很小，當顆粒與壁面間滾動摩擦系數由0.012增至0.024時，PLA摩擦轉矩占比從10.9%增至13.1%，增幅僅2.2%。PP與TPU顆粒對應摩擦轉矩占比受滾動摩擦影響較大，且增幅相近，滾動摩擦系數由0.012增至0.024時占比分別增加7.9%和6.5%。

圖6 顆粒與壁面間滾動摩擦系數對由滾動摩擦及接觸力產生轉矩的影響Fig.6 Effect of rolling friction coefficient between particle and wall on friction and contact torques

圖6(b)、6(d)、6(f)則分別展示PLA、PP、TPU顆粒對應的摩擦轉矩與接觸轉矩隨顆粒與壁面間滾動摩擦系數的變化。由圖可見3種顆粒的摩擦轉矩與接觸轉矩方向始終相反。隨著顆粒與壁面間滾動摩擦系數的增加，3種顆粒對應的摩擦轉矩與接觸轉矩均增加，相比而言接觸轉矩增幅更大，但與圖6(a)、6(c)、6(e)對比可知接觸轉矩占比反而減小。當顆粒與壁面間滾動摩擦系數從0.012增至0.024時，PLA顆粒對應摩擦轉矩與接觸轉矩絕對值及增幅最大，而PP顆粒對應的摩擦轉矩與接觸轉矩增長比例最快，分別增加149%及30.6%。

3 結論

本研究中，針對應用于FDM技術的螺桿擠出裝置，基于離散單元法對其輸運段中顆粒與壁面間滾動摩擦系數對顆粒流動特性的影響進行數值模擬研究。模擬中分別采用3種類型顆粒(PLA、PP、TPU)。顆粒接觸模型采用線性彈簧阻尼模型，并采用針對摩擦轉矩的定向恒轉矩模型以考慮滾動摩擦的影響。

研究得到的結論如下：隨著顆粒與壁面間滾動摩擦系數的增加，3種顆粒的出口質量流量相應減小，同時出口顆粒的速度均勻性相應減小。當顆粒與壁面間滾動摩擦系數從0.012增至0.024時，PLA顆粒對應的質量流量從0.094 g/s降至0.086 g/s，降幅最大，達8.6%；同時相對速度標準偏差由68.0%增至80.8%，增幅最大，達12.8%。3種顆?？傓D矩隨著顆粒與壁面滾動摩擦系數的增大而增大，工況相同時，PLA顆粒對應的時均轉矩最大，PP和TPU對應的時均轉矩相對較小。滾動摩擦及接觸力引起的轉矩隨滾動摩擦系數的變化趨勢與總轉矩均一致，PP顆粒對應的摩擦轉矩與接觸轉矩增幅最大，分別增加149%及30.6%。

在實際應用中，要想在3D打印進料過程中獲得更大的質量流量，且出口處顆粒流動更為均勻，最好令顆粒與壁面間滾動摩擦系數更小，即盡量選擇更為光滑的顆粒或者使得裝置內壁更為光滑。