電磁發(fā)射軌道的溫度場及非傅里葉熱效應(yīng)

趙凌康,田振國,靳利園

(燕山大學(xué)河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

在電磁發(fā)射過程中，大功率的脈沖電流通入到軌道和電樞所形成的回路中，可以在極短的時間內(nèi)將電樞加速至很高的速度[1]。伴隨著電樞高速運動，軌道處于大電流、高溫、高壓和強磁場的工作環(huán)境中[2]。而由于電磁熱效應(yīng)引起的溫度變化會導(dǎo)致軌道燒蝕、變形，這不利于電磁發(fā)射軌道在大功率下的連續(xù)發(fā)射[3]。因此，了解發(fā)射過程中軌道溫度分布，以及軌道溫度隨電樞移動的變化規(guī)律，對于軌道冷卻系統(tǒng)的設(shè)計有著重要的參考意義。

近年來，隨著電磁軌道發(fā)射技術(shù)的快速發(fā)展，其所涉及的各種問題的研究都在不斷深入。文獻(xiàn)[4-6]關(guān)注了電磁軌道炮結(jié)構(gòu)的優(yōu)化及部件的設(shè)計，從推進(jìn)方式、結(jié)構(gòu)設(shè)計、和幾何參數(shù)等方面給出了優(yōu)化方案，文獻(xiàn)[7]分析了發(fā)射過程中炮膛內(nèi)的磁場分布規(guī)律，以及電樞距離與峰值磁通密度的關(guān)系，并給出了能夠有效計算軌道炮智能炮彈部位感應(yīng)電場和磁場的方法，文獻(xiàn)[8-10]關(guān)注了軌道材料性能的研究，分析了作為軌道復(fù)合層合金材料的電磁、熱及力學(xué)方面的參數(shù)特性，文獻(xiàn)[11-13]研究了軌道的強度、剛度、動態(tài)響應(yīng)等問題。尤其是電磁軌道發(fā)射時的溫度場問題，得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)[14]搭建了基于光纖光柵的溫度測量系統(tǒng)，測量了導(dǎo)軌多點溫度數(shù)據(jù)，分析導(dǎo)軌上熱量分布及傳導(dǎo)過程，文獻(xiàn)[15]利用有限元方法，對發(fā)射中軌道溫升這一瞬態(tài)過程進(jìn)行仿真計算，在電磁場與溫度場耦合的情況下，求解了軌道橫截面的電流與溫度分布，文獻(xiàn)[16]通過三維數(shù)值仿真研究了電磁軌道炮在脈沖波形電流下的電磁場特性，分析了電樞軌道及樞軌接觸面的溫度變化。從目前的研究成果來看，關(guān)于電磁發(fā)射軌道溫度場的研究主要是通過實驗和數(shù)值仿真的方式進(jìn)行分析，理論計算結(jié)果還很少見。

本文通過建立發(fā)射軌道和電樞的熱傳導(dǎo)方程，將電流的焦耳熱看作內(nèi)熱源，應(yīng)用格林函數(shù)的方法得到溫度場的理論解，通過算例分析軌道和電樞的溫度分布規(guī)律，以及非傅里葉熱效應(yīng)對溫度的影響。

1 模型及研究方法

如圖1所示，電磁軌道炮由軌道、電樞、蓋板等部分組成。建立圖2所示的坐標(biāo)系，其中，d為軌道寬度，b為軌道間距離，在進(jìn)行溫度場分析時，將軌道沿x軸方向離散成等距的N段，其間距均為Δx，軌道沿x軸坐標(biāo)表達(dá)為(x1,x2…xi,…,xj…xN)，軌道總長度為L。電樞滑過每個坐標(biāo)時將電樞與對應(yīng)位置的軌道視為一個區(qū)塊(如圖2虛線所示)，整體視為多個區(qū)塊疊加而成。對于每個區(qū)塊，其溫度場應(yīng)由如下三部分組成：電樞加熱后對軌道的影響；電樞在區(qū)塊上作用時間內(nèi)的軌道自身電加熱；電樞離開區(qū)塊后軌道自身的電加熱。

圖1 電磁發(fā)射軌道炮結(jié)構(gòu)示意圖

因此，軌道的溫升與電樞移動的位置相關(guān)。在tA時刻電樞沿軌道滑動的位移按下式計算[17]

(1)

圖2 溫度場計算簡圖

2 軌道溫度的計算

因為軌道和電樞升溫性質(zhì)不同，電樞從發(fā)射起就開始持續(xù)加熱，軌道則是在電樞經(jīng)過后才開始加熱，所以將樞、軌加熱時間分別表示為tA和tR。將電流發(fā)熱作為內(nèi)熱源，則軌道與電樞的熱傳導(dǎo)控制方程為[18]

(2)

其中：λ為熱導(dǎo)率；t0為對應(yīng)材料的弛豫時間；ρ為材料密度；Cp為比熱容；g(x)為電加熱熱源；J表示軌道電流密度，則電加熱作用下熱源功率為g(x)=J2/σR，考慮到軌道發(fā)射情況，則其熱源功率可表達(dá)為[19]

(3)

其中:U為加載電壓；a為電樞沿軌道長度的一半；σA為電樞的電導(dǎo)率；σR為軌道電導(dǎo)率，h軌道厚度；L′為電樞滑過軌道的長度；R0為外接電阻，軌道與電樞接觸的熱能傳遞方式視為熱傳導(dǎo)。

假定軌道初始溫度為f1(y)，無外部熱流通量，則其初始條件為

T|tR=0=f1(y)

(4)

(5)

考慮軌道與電樞之間進(jìn)行熱交換，即在y=0處軌道邊界受電樞熱流密度影響，而軌道與外界空氣或外包層為絕熱，則軌道的初始條件可表達(dá)為

(6)

T|y=d=0

(7)

式(6)中:q(tA)表示電樞對軌道邊界的熱流密度，其值由電樞的溫度對y求偏導(dǎo)數(shù)得到；tA表示電樞行進(jìn)的時間，即電樞自加熱時間。

式(2)為含熱源的非傅里葉導(dǎo)熱方程，若忽略熱源項，則得如下普適的齊次非傅里葉導(dǎo)熱方程

(8)

式(8)的可以通過分離變量法表示為：

T(y,t)=Y(y)·E(t)

(9)

將(9)代入(8)中可得如下兩個微分方程

Y″+β2Y=0

(10)

t0E″+E′+αβ2E=0

(11)

將式(10)、(11)的解代入到式(9)中，可得溫度場的表達(dá)式為

(12)

(13)

當(dāng)初始條件為常數(shù)時，有

(14)

(15)

(16)

則軌道溫度場的解為

cosβmycosβmy′f(y′)dy′

(17)

將式(12)與格林函數(shù)解的形式相對應(yīng)，可以得到本問題的格林函數(shù)為

cosβmycosβmy′

(18)

軌道溫度場的解為

(19)

其中α=λ/ρCp表示熱擴(kuò)散率。解的第一項表示軌道初始條件的影響，第二項表示軌道自身電加熱的影響，第三項表示電樞在該區(qū)域上熱流密度的影響，體現(xiàn)為非齊次邊界條件。但該解在邊界y=b上不收斂，應(yīng)對最后一項做分部積分，用等價的封閉形式代替，令

(20)

對(20)進(jìn)行分部積分可得：

(21)

其中g(shù)2為電樞熱源功率，將式(20)、(21)代入到(19)中即可得出軌道溫度場的解。

3 電樞溫度的計算

在軌道溫度場的解析解中含有電樞對軌道邊界的熱流密度項，故需求電樞的溫度場，然后用電樞的溫度場對y求偏導(dǎo)可以得出電樞對軌道的熱流密度

(22)

電樞在電磁作用下的熱源功率為

(23)

應(yīng)用式(8)來求解電樞溫度場，假定軌道電樞溫度為f2(y)，其初始條件為

T|tA=0=f2(y)

(24)

(25)

若不考慮電樞與外界的熱交換，則電樞邊界條件為

(26)

T|y=-b=0

(27)

電樞溫度場的解為

(28)

將式(28)代入到式(22)中，即可得到軌道邊界熱流密度，進(jìn)而得到軌道溫度場的完整表達(dá)式。

為了對比非傅里葉和傅里葉效應(yīng)計算結(jié)果的區(qū)別，按照同樣的條件給出軌道在僅考慮傅里葉效應(yīng)時的溫度場計算結(jié)果，傅里葉傳熱的控制方程如下

(29)

邊界條件同式(6)、(7)，(24)、(25)。用格林函數(shù)解法可以得到如下解析解

(30)

4 算例分析

取軌道總長L=3 m，軌道上每段區(qū)域長Δx=0.02 m，電樞的尺寸為0.2 m×0.2 m×0.2 m，導(dǎo)軌間距b=0.2 m，導(dǎo)軌厚度h=0.2 m。電樞材質(zhì)為鋁，電導(dǎo)率為σA=3.6×107(Ω·m)-1，密度ρA=2 700 kg/m3,傳熱系數(shù)λA=238 W/(m·℃)。軌道材質(zhì)為銅，電導(dǎo)率σR=5.88×107(Ω·m)-1，密度ρR=8 900 kg/m3，比熱容c=386 J/(kg·K)。傳熱系數(shù)λR=377 W/(m·℃)。軌道電感梯度Li′=0.451 24 μH/m，電樞初始溫度設(shè)為30 ℃，軌道初始溫度設(shè)為20 ℃，材料的弛豫時間t0=1×10-5s，系統(tǒng)加載電壓U=8 000 V，不計摩擦。

圖3表示用非傅里葉和傅里葉的計算公式，分別計算得到的電樞內(nèi)y=0-m處和y=-0.05 m處的溫度隨電樞在軌道內(nèi)滑動時的變化曲線，可以看出，在同一時刻越靠近邊界即坐標(biāo)軸，溫度越高。并且，對于電樞溫度，非傅里葉和傅里葉計算的結(jié)果差距并不明顯。

圖3 l=0- m與l=-0.05 m處電樞溫度隨時間變化曲線

圖4為電樞到達(dá)xi=1 m時，對應(yīng)位置的軌道沿寬度方向的溫度分布曲線，可以看出電樞在同一時刻同一位置時，按照非傅里葉效應(yīng)計算軌道的整體溫度場結(jié)果比傅里葉計算的結(jié)果值略大，這是因為考慮到材料的弛豫效應(yīng)，造成溫度傳遞的延遲，體現(xiàn)為非傅里葉熱傳導(dǎo)時軌道的局部溫度相對較高。

圖4 電樞在xi=1 m處軌道溫度沿y分布曲線

圖5為電樞從xi=1 m分別移動到xi=1.2 m，xi=1.4 m時，軌道上xi=1 m處的溫度分布變化曲線?？梢钥闯?，在電樞離開后，原位置繼續(xù)電加熱會引起該區(qū)塊內(nèi)溫度繼續(xù)升高。

圖5 電樞在xi=1 m處繼續(xù)移動軌道溫度沿y分布曲線

圖6為電樞分別移動到xi=1.2 m，xi=1.4 m時，軌道上xi=1 m處軌道電加熱的溫度分布曲線，可以看出，對于非傅里葉和傅里葉兩種算法，電加熱影響項計算的結(jié)果幾乎相等。造成這種現(xiàn)象的原因是，電樞極快滑過這兩個位置，在一個對應(yīng)軌道區(qū)塊內(nèi)，對于軌道整體溫度場加熱時間極短，邊界y=0+m處熱擾動還未來得及傳遞。

圖6 電樞在xi=1.2 m和xi=1.4 m軌道自身電加熱影響曲線

圖7為當(dāng)電樞移動到xi=2 m時，對應(yīng)位置的軌道溫度場分布曲線。與圖4相比，在軌道內(nèi)側(cè)y=0+m位置上按照非傅里葉效應(yīng)計算軌道的溫度場結(jié)果比傅里葉計算的結(jié)果差值明顯增加，而遠(yuǎn)離邊界位置的計算結(jié)果趨于一致。造成這個結(jié)果的原因是，在軌道末端，電樞運動速度極快，對應(yīng)的這個區(qū)塊的軌道自身電加熱時間極短，軌道內(nèi)部溫度較低，軌道外表面為絕熱條件，與電樞接觸表面受到電樞的快速、高溫差的熱沖擊。

圖7 電樞在xi=2 m處軌道溫度沿y分布圖

圖8為軌道與電樞接觸面上不同位置處的溫度隨時間變化曲線。可以看出電樞從初始位置開始移動到軌道終點的過程中，引起xi處軌道內(nèi)表面y=0+m位置的溫度變化。其中，線1、2分別表示在xi=0.5 m處非傅里葉效應(yīng)和傅里葉效應(yīng)計算對比的結(jié)果，其含義是電樞在未到達(dá)指定區(qū)域時，軌道一直保持初始溫度，電樞到達(dá)后邊界溫度瞬間有一個階躍，可以看出，兩種計算方法在電樞到達(dá)該區(qū)塊瞬間，軌道內(nèi)表面溫度存在階躍差值。線3、4、5、6、7、8分別表示在xi=1 m，xi=2 m及xi=2.5 m位置時兩種計算方法的溫度變化，可以看出，隨著電樞運動時間的增加，兩種方法計算的軌道內(nèi)表面溫度的階躍差值不斷增加。造成這個結(jié)果的原因是，隨著電樞移動的距離增加，電樞表面y=0-m的溫度不斷增加，而電樞還未滑過的部分軌道還未形成通路，始終保持初始溫度，當(dāng)電樞溫度與軌道溫度差越大時，對軌道內(nèi)表面引起的溫度階躍差值越大。

圖8 軌道內(nèi)表面y=0+m處溫度隨時間變化曲線

圖9為電樞運動過程中對軌道xi=1 m和xi=2 m兩個位置由熱流密度產(chǎn)生的影響曲線，可以看出，對于各個相等的(x=0.02 m長度的區(qū)塊，隨著電樞溫度的增加，軌道邊界的熱流密度同時增大，由非傅里葉效應(yīng)和傅里葉效應(yīng)計算的對溫度場影響的差值也增大。

圖9 電樞在xi=1 m和xi=2 m處熱流密度影響曲線

5 結(jié)論

1)靠近發(fā)射端的軌道加熱時間長，電樞對溫度影響較小；而出口端的軌道加熱時間短，電樞溫度相對較高，對軌道的影響顯著。因而，靠近軌道發(fā)射端的溫度高，沿寬度分布均勻，靠近出口端的溫度值相對較低，沿寬度分布不均勻，靠近與電樞交界面處的相對較高。

2)由非傅里葉熱效應(yīng)計算的電磁炮發(fā)射時的溫度場與傅里葉定律計算的溫度場存在差值。電樞的非傅里葉熱效應(yīng)并不明顯，而軌道的非傅里葉熱效應(yīng)則較為顯著，尤其是在靠近出口一端，這是因為持續(xù)加熱的電樞溫度較高，速度較快，與軌道進(jìn)行熱交換的時間短、溫差大。