具正負系數(shù)和多變時滯的高階微分方程的振動性

覃桂茳，劉玉周，楊甲山

（1.梧州學院大數(shù)據(jù)與軟件工程學院，廣西梧州543002； 2.梧州學院廣西高校行業(yè)軟件技術(shù)重點實驗室，廣西梧州543002； 3.梧州學院機械與材料工程學院，廣西 梧州543002； 4.梧州學院廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點實驗室，廣西梧州543002）

0 引 言

在微分方程理論中，振動性是其重要的分支之一，并廣泛應(yīng)用于物理力學、控制系統(tǒng)、時間延遲系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、時變非線性反饋系統(tǒng)等。微分方程的振動性廣受關(guān)注且成果頗豐[1-14]。但具有正負系數(shù)和多變時滯的高階方程振動性的研究成果卻很少?？紤]以下微分方程

的 振 動 性，其 中n ≥2 為 偶 數(shù)，t0≥0 為 實 常 數(shù)；φ(u)=|u|γ-1u,γ ＞0 為實常數(shù)；h ≥1，m ≥1，l ≥1，均為整數(shù)。全文總假設(shè)條件(H0)～(H5)成立：

(H0) 函 數(shù) A(t)， Pk(t)， b(t)， Qi(t)，Rj(t)∈C([t0,+∞),[0,+∞)),k=1,2,…,h；i=1,2,…,m； j=1,2,…,l( 下 同 , 略)； Bk(u)，fi(u),gj(u)∈C(R,R) 且 uBk(u)＞0(u ≠0)，ufi(u)＞0(u ≠0)，ugj(u)＞0(u ≠0)。

(H1) 函 數(shù) τk(t)∈C([t0,+∞),(0,+∞))，

(H2) 函數(shù)σi(t)=δj(t)=σ(t)∈C1([t0,+∞),

(H3) 存在常數(shù)0 ＜ηk≤1,αi＞0,βj＞0，使得當 u ≠0 時 有 Bk(u)/u ≤ηk， fi(u)/u ≥αi，并 且最終成立。

關(guān)于方程(1)的解及其振動性的定義參見文獻[1-12]，本文只討論方程(1)的非平凡解。方程(1)包括了許多典型的微分方程，如二階Emden-Fowler型方程：

及具有正負系數(shù)的二階方程：

等。這些典型的微分方程已有許多很好的振動準則[1-12]。如KAMENEV[1]改 進 了WINTNER 的 結(jié)果，得到了以下振動準則(稱之為Kamenev 型振動準則)：

定理A[1]若+∞（μ ＞1 為常數(shù)），則方程(E1)振動。

之后，LI 等[2]將KAMENEV 的結(jié)果推廣到了二階半線性微分方程(E2)，得到

定理B[2]若如 存在常數(shù)k ＞γ，使得

則方程(E2)振動。

以此為基礎(chǔ),黃記洲等[3]研究了更一般的二階Emden-Fowler 型方程(E3)，并得到方程(E3)振動的一系列新準則，其Hille 型振動準則如下：

定 理C[3]設(shè)β ≥γ，A′(t)≥0，δ′(t)＞0，0 ≤p(t)＜1，且若 存 在 函 數(shù)φ ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

其中k ＞0 為常數(shù)，則方程(E3)振動。

對具有正負系數(shù)的二階微分方程，仉志余等[4]率先研究了方程(E4)的振動性，結(jié)果如下：

定理D[4]設(shè)0 ≤P(t)＜1，Q(t)≥0 且R(t)最終為負，若

緊接著，楊甲山等[5]研究了一類廣泛的具有正負系數(shù)的二階方程(E5)的振動性，放寬了文獻[4]的條件，得到了方程(E5)的振動準則(包括Hille 型準則和Kamenev 型準則等)。其他結(jié)果可參見文獻[6-10]，而對具有正負系數(shù)及多時滯的高階微分方程的振動性研究成果目前還很少。

本文的目的是研究具有正負系數(shù)和多變時滯的高階阻尼微分方程(1)的振動性，進一步改進并拓展現(xiàn)有的研究成果，使得定理A～定理D 成為本文結(jié)果的特例，最后用一些具體實例說明本文的主要結(jié)論。

1 引 理

引入記號

則方程(1)可寫為

引理1[7]設(shè)u(t)在[t0,+∞)上是正的n 次可微函數(shù)，u(n)(t)最終定號，則存在t*≥t0和整數(shù)l(0 ≤l ≤n)，當u(n)(t)≥0 時，n+l 為 偶 數(shù)；當u(n)(t)≤0 時，n+l 為 奇 數(shù)，使 得 當l ＞0 時，有u(k)(t)＞0，t ≥t*，k=0,1,…,l-1；且 當l ≤n-1時 ， 有 t ≥t*； (-1)l+ku(k)(t)＞0； k=l,l+1,…,n-1。

引理2[7]設(shè)u(t) 滿足引理1 的條件，且u(n-1)(t)u(n)(t)≤0(t ≥t*)，則對任意θ ∈(0,1)，存在常 數(shù)M ＞0，使 得 對 一 切 充 分 大 的t 有u′(θ t)≥Mtn-2u(n-1)(t)。

引理3[7]設(shè)a，b 為非負實數(shù)，則aλ-λabλ-1+(λ-1)bλ≥0，λ＞1，等號成立當且僅當a=b。

引理4設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，則

證明因為x(t)是方程(1)的最終正解，不妨設(shè)當t ≥T ≥t0時，x(t)＞0，x(τk(t))＞0，x(σi(t))=x(δj(t))=x(σ(t))＞0，于是

由方程(3)并注意到條件(H3)，得

因此ω(t)A(t)φ(z(n-1)(t))是減函數(shù)，并且z(n-1)(t)最終定號，且能斷言：

事實上，若z(n-1)(t)＜0，t ≥T。由式(6)，得

其中常數(shù)

于是由上式得

進一步，有

于是有

在 上 式 中 ，令 t →+∞，注 意 到 (H5)，得類 似 可 得這 與z(t)＞0 矛盾！故式(7)成立。

由式(5)知，

由此推得z(n)(t)≤0(t ≥T)。因為n 是偶數(shù)，于是由引理1 中l(wèi) 為奇數(shù)，有z′(t)＞0(t ≥T)。 證畢。

2 方程（1）的振動準則

定 理 1如 果 存 在 函 數(shù) ρ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

其中函數(shù)Φ(t)和ψ(t)的定義如下：

常數(shù)θ ∈(0,1)和M ＞0 同引理2，則方程(1)振動。

證明設(shè)方程(1)存在非振動解x(t)，不失一般性，設(shè)x(t)＞0,x(τk(t))＞0，x(σ(t))＞0，t ≥T ≥t0。由引理4 知，式(4)成立。于是由引理2，對任意0 ＜θ ＜1，存在常數(shù)M ＞0，有

由式(2)的第1 個式子知，x(t)≤z(t)，于是

整理得

則V(t)＞0(t ≥T)，注意到式(5)、(10)和(11)，由式(12)可導出

注意到式(9)的第1 個式子，當t ≥T 時，由上式進一步可得

現(xiàn)取

由引理3，有λabλ-1-aλ≤(λ-1)bλ，即

將上式代入式(13)，得

上式兩邊從T 到t 積分，可得

取上極限，則得到與式(8)矛盾的結(jié)果。定理1 證畢。

定 理 2如 果 存 在 函 數(shù) ρ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))及常數(shù)μ ＞γ，使得

其中常數(shù)θ ∈(0,1)和M ＞0 的定義同引理2，而函數(shù)Φ(s)，ψ(s)的定義同式(9)，則方程(1)振動。

證明若不然，則方程(1)存在非振動解x(t)，不 失 一 般 性 ， 設(shè) x(t)＞0,x(τk(t))＞0，x(σ(t))＞0，t ≥T ≥t0。由 引 理4 知，式(4)成 立。定義函數(shù)V(t)如式(12)，則由定理1 的證明知，式(13)成立，即當s ≥T 時，有

上式兩邊同乘以(t-s)μ，并從T 到t 積分，由分部積分法，整理得

現(xiàn)取

由引理3，有λabλ-1-aλ≤(λ-1)bλ，注意到式(9)的第2 個式子，可得

綜合式(15)、(16)，有

即

于是

注 1若 方 程(1) 中 n=2，m=1，Pk(t)≡0，b(t)=0，Rj(t)≡0，f (u)=u，σ(t)=t，并在定理2 中取ρ(t)=1，于是由定理2，可得定理B。即定理A 和定理B 為定理2 的特例。此外，若方程(1)中，m=1，Pk(t)≡0，Rj(t)≡0，fi(u)=u，則定理1 即為文獻[11]中的定理2；進一步，在定理2 中，取ρ(t)≡1，即得到文獻[11]中的定理1。關(guān)于方程(1)的特殊情形的不同振動準則，可參考文獻[5-11]。

注2若 方 程(1)中，n=2，h=m=l=1，b(t)≡0，γ=1，B(u)=u，τ(t)=t-τ0，σ(t)=t-σ0，δ(t)=t-δ0，則相應(yīng)地，本文定理1 和定理2 即為具有正負系數(shù)的二階微分方程(E4)的振動準則，但本文沒有文獻[4]的條件:“R(t)最終為負”，因此本文結(jié)果進一步改進并拓展了現(xiàn)有的研究成果。

例1考慮以下4 階具有正負系數(shù)的變時滯方程

其中f,g 分別為f (u)=u[6+lnγ(1+u2)]，g(u)=這相當于方程(1)中

顯然有

即條件(H0) ～(H5)成立。在定理1 中,取ρ(t)=1，并注意到式(9)，則有

于是由定理1 知，方程(18)振動。

例2考慮具有正負系數(shù)和阻尼項的變時滯2階方程

則

即 條 件(H0) ～ (H5) 成 立。 現(xiàn) 在 定 理2 中，取ρ(t)=1，μ=2 ＞γ，并注意到式(9)，則有

而

所以

于是由定理2 知，方程(19)振動。顯然文獻[1-12]中的定理均不能用于方程(18)和(19)的振動性判別。