TIE和GS迭代算法用于生物細(xì)胞的相位恢復(fù)

于 穎，林大鈞，王海鳳

（上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

引 言

眾所周知，物體的反射光包含了光的強(qiáng)度信息和相位信息[1]，通過CCD或COMS可以直接探測(cè)與收集光的強(qiáng)度信息，但是不能直接檢測(cè)反射光的相位信息[2]。因此，許多學(xué)者提出了一些基于干涉測(cè)量的間接相位檢測(cè)方法，例如全息術(shù)[3-4]、相位對(duì)比方法（PC）[5]、微分相位對(duì)比方法（DPC）[6]和微分干涉對(duì)比方法（DIC）[7]等。其中PC是最簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)方法，通常由傳統(tǒng)的4f成像系統(tǒng)和空間光調(diào)制器（SLM）相互結(jié)合來實(shí)現(xiàn)相位恢復(fù)[8-9]。而DIC方法是一種光束剪切干涉技術(shù)，其中要求參考光束傾斜的量小于艾里斑[10]的直徑。然而，由于相位和強(qiáng)度之間存在非線性關(guān)系，所以PC無法提供定量信息，而具有校準(zhǔn)偏差的DIC技術(shù)也僅在精確對(duì)準(zhǔn)后才能提供定量結(jié)果。還有一些非干涉方法用于恢復(fù)相位信息，例如光強(qiáng)度傳輸方程（TIE）、基于Gerchberg-Saxton角譜迭代（GS）算法等，可以通過僅收集在成像平面附近的2或3個(gè)圖像的強(qiáng)度信息來恢復(fù)物體的相位[11]。通過求解二階微分方程[12-13]可以得到物體的相位，目前對(duì)TIE常用的求解方式有傅里葉變換求解、Zernike多項(xiàng)式和多重網(wǎng)格（multi-grid）求解等。但是，TIE因?yàn)椴捎昧颂嗟慕浦祵?dǎo)致精度值不高，而GS方法的初始相位是隨機(jī)數(shù)，迭代時(shí)間較長(zhǎng)。

鑒于上述情況，我們提出了一種新的方法，該方法通過結(jié)合TIE和GS算法來增強(qiáng)生物細(xì)胞圖像的相位恢復(fù)的效果，并將其命名為GSTIE方法。我們先用TIE算法恢復(fù)出生物組織的相位信息，然后將得到的相位信息結(jié)果作為GS方法的初始相位，在經(jīng)GS迭代后得到更加準(zhǔn)確的相位信息。我們使用反射型顯微鏡，用白光照射生物細(xì)胞，在用CCD采集細(xì)胞的照片，并對(duì)采集到的3張圖像分別采用GS-TIE方法恢復(fù)相位。在模擬仿真階段，我們采用了紅色、綠色和藍(lán)色3個(gè)通道來對(duì)生物細(xì)胞進(jìn)行恢復(fù)，以便獲得最佳效果，該重建相位應(yīng)該是3個(gè)重建相位結(jié)果之中的一個(gè)，這取決于所研究對(duì)象的主要顏色。對(duì)恢復(fù)對(duì)象的主色的判斷可以幫助我們以最少的計(jì)算時(shí)間獲得最佳的結(jié)果。

1 算法原理

1.1 光強(qiáng)傳輸方程

光強(qiáng)傳輸方程（TIE）是目前對(duì)垂軸強(qiáng)度圖像進(jìn)行相位恢復(fù)的著名工具[14]。圖1為采用TIE方法收集的3張包含反射光強(qiáng)度信息的圖像。

圖1 TIE方法收集的3張包含強(qiáng)度信息的圖像Fig. 1 Three images containing intensity information collected by the TIE method

TIE可以表示為

式中：I為光強(qiáng)；P為相位；z為間隔距離；λ為波長(zhǎng)。

使用快速傅里葉變換方法可得到式（1）的解[15]。設(shè)每個(gè)圖像平面上的衍射波強(qiáng)度分別為Ia、Ib、Ic，其中相鄰平面之間的間隔為Δz，則3個(gè)平面的復(fù)振幅分別為：

式中：A1、A2、A3分別為每個(gè)圖像的幅度；kx、ky、kz分別為波矢量k在x、y和z方向上的分量；1和2分別為相對(duì)于第一平面的相位。

引用Teague近似，忽略式（5）的旋度項(xiàng)[16]，得 ?，再對(duì)等式兩邊進(jìn)行快速傅里葉變換。根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)

1.2 結(jié)合光強(qiáng)傳輸 方程（TIE）和 Gerchberg-Saxton迭代（GS）算法（GS-TIE算法）

GS-TIE方法主要包括兩個(gè)步驟：（1）使用圖1所示的3個(gè)平面中的光強(qiáng)信息獲得相位分布，并將該相位作為GS迭代循環(huán)的初始值。（2）經(jīng)GS迭代后獲得精確的相位結(jié)果[19-20]。在GS迭代過程中，分別采用波長(zhǎng)為λR= 625 nm、λG= 532 nm和λB= 473 nm的3個(gè)通道進(jìn)行模擬仿真，進(jìn)而得到3張相位恢復(fù)圖。圖2是GSTIE算法的流程圖。兩種方法的結(jié)合可以大大提高相位恢復(fù)的精確度。

圖2 GS-TIE 算法的流程圖Fig. 2 Flow chart of the GS-TIE algorithm

將上述TIE計(jì)算所得的b面相位作為初始相位pb，結(jié)合模擬的b面振幅Ab，作為初始迭代面的復(fù)振幅fb帶入迭代；利用快速傅里葉變換轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行處理，將其頻譜乘以b、c面間距離Δz2對(duì)應(yīng)的角譜傳遞函數(shù)，再進(jìn)行傅里葉逆變換即可得c面的復(fù)振幅分布，通過對(duì)其求相位角以及記錄所得的c面振幅Ac，重新構(gòu)成c面的復(fù)振幅fc，對(duì)其在頻域中進(jìn)行角譜逆向傳遞，方法同第一步一致；如此每步用記錄所得的振幅替代傳播后計(jì)算所得的振幅加以校正。由此，衍射波傳播過程記錄的3個(gè)面形成一個(gè)循環(huán)，在傳播到每一面時(shí)，用該面記錄所得的振幅Ai(i=a,b,c)結(jié)合計(jì)算的光場(chǎng)傳播到該處的相位pi(i=a,b,c)組成復(fù)振幅，這樣可以校正光場(chǎng)角譜衍射迭代中的偏差。將實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的空間關(guān)聯(lián)性更好地帶入迭代運(yùn)算中，從而得到恢復(fù)細(xì)節(jié)更好的b面相位pb。角譜傳遞函數(shù)的表達(dá)式如下：

式中 fx=mx/Lx、fy=my/Ly，mx、my分別為 x、y 方向的空間頻率采樣系數(shù)，Lx、Ly分別為x、y方向的采樣區(qū)間長(zhǎng)度。

我們采用均方根形式對(duì)迭代算法的相位恢復(fù)進(jìn)行了分析，所得該數(shù)值為兩次循環(huán)的相位相對(duì)誤差精度，其表達(dá)式為

式中：n為迭代次數(shù)；Pk為迭代當(dāng)次的相位分布；Pk-1為上次迭代的相位分布。

2 實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

2.1 實(shí)驗(yàn)方法

我們?cè)诎坠庹丈涞姆瓷湫惋@微鏡下用彩色CCD采集南瓜根莖樣品細(xì)胞像平面附近的3個(gè)強(qiáng)度圖像。顯微鏡物鏡放大倍率為40倍，相鄰圖像之間的距離Δz。在采集圖像強(qiáng)度信息時(shí)，如果間隔太小，相鄰平面之間的光強(qiáng)差異不明顯，如果間隔太大，將增加相位恢復(fù)的誤差。通常，TIE算法要求采樣的間隔約為1 mm。圖3為在像平面附近以1 024像素×1 024像素的分辨率采集的3張根莖細(xì)胞彩色圖像。

圖3 像平面采集到的南瓜根莖細(xì)胞Fig. 3 Pumpkin rhizome cells collected in the image plane

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用MATLAB軟件進(jìn)行仿真計(jì)算，將采集到的3張彩色圖像逐一帶入波長(zhǎng)為λR= 625 nm、λG= 532 nm和λB= 473 nm的R、G、B 3個(gè)通道中，結(jié)果如圖4所示。

從圖4的通過GS-TIE算法恢復(fù)的3個(gè)彩色圖像的相位圖可以看出：G通道的相位輪廓最清晰，三維效果最明顯，細(xì)節(jié)展示相對(duì)其他兩個(gè)通道更為全面；R通道相對(duì)較弱，而B通道效果最不理想，噪點(diǎn)較多，3D效果較為模糊。圖右邊色條表示生物細(xì)胞的均勻程度。盡管如此，三通道相位誤差的精度都高達(dá)10?7。圖5顯示了GS-TIE算法恢復(fù)的R、G、B通道的相對(duì)誤差，圖中橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)（iteration time），縱坐標(biāo)為相位相對(duì)誤差值RMS的大小。

圖4 RGB 三通道相位恢復(fù)圖Fig. 4 RGB-channels phase recovery images

圖5 GS-TIE算法恢復(fù)的RGB通道的精確度誤差Fig. 5 Accuracy error of the RGB channel recovered by the GS-TIE algorithm

3 結(jié) 論

本文提出了一種利用白光進(jìn)行生物組織圖像高分辨率相位重建的新方法，該方法結(jié)合了強(qiáng)度方程傳輸（TIE）和 Gerchberg-Saxton迭代（GS）算法，并采用RGB 3個(gè)通道對(duì)生物細(xì)胞相位進(jìn)行恢復(fù)。利用該方法，可以獲得清晰的相位恢復(fù)圖像，所得到的前后兩次循環(huán)迭代的相位相對(duì)誤差精度值可以達(dá)到10?7。