雙曲線小題中的一題多解與一題多變

李瑛

摘 ?要：圓錐曲線小題在高考中占據(jù)兩道，有一道通常是求雙曲線的離心率大小（或范圍）、漸近線方程等問題。由于它涉及雙曲線較多的基本量，以及方程與曲線、方程組與不等式的求解問題，因此解題過程比較復雜，思考角度比較多，導致解題方法的多樣化。文章從解決某一道雙曲線小題出發(fā)，引導學生領悟雙曲線解題思路的多樣，感受一題多解的魅力，打開舉一反三的大門。

關鍵詞：雙曲線;離心率;漸近線;一題多解;一題多變

一、解題知識

（一）基礎知識

已知雙曲線方程為，兩焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點為雙曲線上的一動點，則：①定義;②;③離心率;④漸近線：

（二）常用結論

結論1：由雙曲線的左右焦點到兩條漸近線的距離均為.

結論2：由雙曲線的左右頂點到兩條漸近線的距離均為.

二、典例分析

典例（2017全國卷I）以雙曲線C：的右頂點為圓心，b為半徑作圓，且與雙曲線的一條漸近線交于M，N兩點.若，則的離心率為???????.

（一）一題多解，搭好橋梁

[解析]由題意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，，從而AMN為等邊三角形.設漸近線的傾斜角為，過點A作交漸過線于P點.下面開始“搭橋”.

思路1：借“”搭橋.

由

思路2：借“”搭橋.由以及，

思路3：借“”搭橋.由，

[總結] 相比之下，思路3通過直接得出與的關系式，計算最簡潔，因此是最快捷的方法。今后同學們遇到此類題型就知道如何去搭橋找題眼了。

下面將例1進行變式訓練，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維以及舉一反三的能力。教師也可引導學生去改編題，比如改變圓心、半徑、直線與圓位置關系、角的大小等。

（二）一題多變，舉一反三

變式1：將典例中半徑改成“半徑”，其余不變，則.

[解析]很快找到“橋梁”，，解得.

變式2：以雙曲線：的右焦點為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點.若，則的離心率為???????.

思路1：由結論1及正三角形性質知，.

思路2：由結論1及的幾何意義知，.

思路3：在直角三角形中，由，.

通過變式1、2我們發(fā)現(xiàn)，無論圓心是在右頂點，還是右焦點的圓，都經(jīng)過原點O，且與雙曲線同一漸近線的兩交點與圓心構成的三角形相似，因此雙曲線的離心率相同。

那如果圓心不是這兩個特殊點呢？我們得到以下推廣結論。

[推廣]已知雙曲線，以點為圓心，為半徑的圓與其一條漸近線相交于M，N兩點.

（1）若，則該雙曲線的離心率為;

（2）若，，則該雙曲線的離心率為.

推導：（1）在中，，由，解出.

（2）由，從而，因此.

我們再回到典例，將條件“漸近線與圓相交”進行改變，得到如下變式3。

變式3：以雙曲線：的右焦點為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率等于???????.

[解析] 由題意得b=a，該雙曲線C為等軸雙曲線，故離心率

變式4：以雙曲線：的右焦點為為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的漸近線有交點，則的離心率的取值范圍是?????????.

[解析] 漸近線與圓有交點，則圓心到漸近線的距離，即，從而. 又e>1，因此

[歸納]?通過變式3和變式4發(fā)現(xiàn)，等軸雙曲線是一類很特殊的雙曲線，它在求雙曲線離心率的值或者范圍的過程中，一般都是“臨界值”。

此外我們還發(fā)現(xiàn)，若將圓的半徑換成，則該圓與雙曲線的漸近線剛好相切。

結論3：以雙曲線的焦點為圓心、虛半軸長為半徑的圓與雙曲線的漸近線必定相切。

下面再進一步改變典例題目的條件，半徑變成直徑問題。

變式5：已知分別是雙曲線的左、右焦點，是以為直徑的圓與該雙曲線的一個交點，且，則這個雙曲線的離心率是（ ）

A.B.C.D.

[解析] 由題意知點位于左支且，由可得. 從而，.

思路1：借“”搭橋.根據(jù)雙曲線的定義可知，從而求出離心率，

選C.

思路2：借“”搭橋.在中，.

思路3：借“點坐標”搭橋.連接，易知是以為邊長的等邊三角形，計算出坐標，將之代入雙曲線方程，從而建立關于a，b，c的方程.

[小結]思路2與思路1有著異曲同工之處，顯然思路3的計算量最大，相比之下，變式5建議采用前兩種思路。

如果繼續(xù)按照這樣的變題思路走下去，相信這一道“典例家族”可以更加龐大。在此，筆者只是作個示范引導，感興趣的你可以繼續(xù)做下去。

三、思考提升

已知雙曲線，是實軸頂點，是右焦點，是虛軸端點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得構成以為斜邊的直角三角形，求雙曲線離心率的取值范圍.

變式1：將“存在不同的兩點”換成“存在一個點”，求離心率的取值范圍.

變式2：將“存在不同的兩點”換成“不存在點”，求離心率的取值范圍.

變式3：將題干中“線段上（不含端點）存在不同的兩點”換成“線段上（含端點）存在不同的兩點”，求離心率的取值范圍.

變式4：將題干中“線段上（不含端點）存在不同的兩點”換成“線段上（含端點）存在一個點”，求離心率的取值范圍.

四、歸納小結

離心率是圓錐曲線的重要幾何性質之一，是高考常考的問題。解決此類問題的關鍵是要求出或者找到關于的關系式，掌握“搭橋”的技巧，平時多進行舉一反三訓練。

文中提到的一些結論及推廣命題主要是基于焦點在軸上的雙曲線而言，同樣也適用于焦點位于軸的雙曲線，這個推導過程交給讀者自己去完成了。

文章涉及到的內容僅為個人鄙見，若有不妥之處，歡迎批評指正。

參考文獻：

[1] 高考總復習優(yōu)化設計.理科數(shù)學/任志鴻主編. ——北京：知識出版社，2017.2（2019.2重?。?/p>

[2] 共焦點的雙曲線和橢圓問題. 李志強. ——李志強高中數(shù)學解題研習社，2019，9

[3] 考試說明全解. 數(shù)學. 理/薛金星主編. ——北京：現(xiàn)代教育出版社，2016.1（2019.1重?。?/p>

[4] 解題卡殼怎么辦：高中數(shù)學解題智慧點剖析. 余繼光，蘇德礦編著. ——浙江大學出版社，2019