研析教材立意 筑建多維課堂——以“兩角和與差的余弦公式教學(xué)”為例

江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué) 劉 燕

在高中數(shù)學(xué)的公式教學(xué)中，教師應(yīng)以教材為本，立足學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的最近發(fā)展區(qū)，著力提高學(xué)生在推導(dǎo)公式過(guò)程中的學(xué)力，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)概念體系的把握，提升數(shù)學(xué)思維能力，進(jìn)一步完善和發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。那么，如何合理有效地利用教材，使課堂的含金量更高呢？本文將從以下幾個(gè)方面進(jìn)行探討。

一、以生為本，確立認(rèn)知結(jié)構(gòu)

皮亞杰認(rèn)為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有三個(gè)特性：整體性、轉(zhuǎn)換性、自身調(diào)整性。學(xué)生學(xué)習(xí)新知的過(guò)程離不開其原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在學(xué)“兩角和與差的余弦公式”前，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了三角函數(shù)的各項(xiàng)性質(zhì)，周期性便是其中之一，從周期運(yùn)動(dòng)合成的角度提出變換的課題，不僅可以賦予三角變換以實(shí)際的意義，而且可以使三角函數(shù)變換的教學(xué)與“三角函數(shù)”“平面向量”的教學(xué)融于一體。

事實(shí)上，很多老師在教學(xué)的時(shí)候，認(rèn)為它的落腳點(diǎn)太高，思維跳躍過(guò)大，學(xué)生可能很難理解，便摒棄了這個(gè)引入，直接讓學(xué)生求cos（60°-30°）及cos60°，cos30°，sin60°，sin30°的值，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)值之間的聯(lián)系，再通過(guò)幾個(gè)特例驗(yàn)證，得到公式。這樣的引入看似非常自然和諧，課堂上你問(wèn)我答，其樂融融，好不歡快，但實(shí)際的效果卻有待商榷。

二、以書為基，豐富課堂導(dǎo)入

教科書為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)活動(dòng)提供了廣闊的空間，教材里呈現(xiàn)的每一處數(shù)學(xué)知識(shí)都有它的“固著點(diǎn)”，從而為學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的整體化做準(zhǔn)備。我們應(yīng)該在此基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)多維的課堂導(dǎo)入，滲透基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)文化，不妨選取以下案例：

案例1：20 世紀(jì)90 年代末，美國(guó)《數(shù)學(xué)雜志》開辟?zèng)]有文字證明的證明專欄，以數(shù)學(xué)史為背景的導(dǎo)入一下子受到了廣大數(shù)學(xué)愛好者的關(guān)注，右圖就是其中刊登的一個(gè)典型案例！思考：由圖，你能得到什么公式？

設(shè)計(jì)意圖：平面幾何是三角函數(shù)的“母體”，三角公式源自幾何命題，用平面幾何圖形的方法來(lái)研究三角運(yùn)算及運(yùn)動(dòng)學(xué)自古而有之。初中研究的三角函數(shù)就是放在直角三角形中研究的，到了高中，我們要研究更復(fù)雜的三角問(wèn)題，依然可以回到“最初的起點(diǎn)”，依托知識(shí)本身一脈相承的體系去尋找答案，這種能力的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生至關(guān)重要，也是教材引入的意義和精髓所在。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]的案例恰恰也佐證了這一點(diǎn)，特別是北京市第十中學(xué)的張麗娟老師的分蛋糕問(wèn)題的構(gòu)造是十分有新意的。

這部分內(nèi)容可以讓學(xué)生課后自己查閱資料進(jìn)行研究，并可進(jìn)一步引發(fā)思考：若∠ABC=α,∠CBD=β，則可以得出什么公式？

通過(guò)一系列的研究，學(xué)生積極地思考、探索，定能較好地構(gòu)建邏輯框架結(jié)構(gòu)圖。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)中的數(shù)與形是緊密相連的，三角函數(shù)也有與之對(duì)應(yīng)的“形”，借助單位圓這一有效載體，數(shù)形結(jié)合，充分發(fā)揮圖形的作用，讓學(xué)生在更加直觀的情境下研究，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)地發(fā)現(xiàn)、理性地思考，提高分析、解決問(wèn)題的能力。

三、以做為證，檢驗(yàn)研究結(jié)果

愛因斯坦說(shuō)過(guò)：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個(gè)偉大成就為基礎(chǔ)，那就是希臘哲學(xué)家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里得幾何中）以及通過(guò)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系（在文藝復(fù)興時(shí)期）?！笔穼幹薪淌谝脖硎荆骸拔覀儽仨毲宄澜缟嫌泻芏鄸|西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷?！敝腔鄄⒉煌耆蕾囍R(shí)的多少，而依賴知識(shí)的運(yùn)用、依賴經(jīng)驗(yàn)，你只能讓學(xué)生在實(shí)際操作中磨煉，過(guò)程的教育不僅僅是指在授課時(shí)要講解或者讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，甚至不是指知識(shí)的呈現(xiàn)方式，而要注重對(duì)學(xué)生探究的過(guò)程、思考的過(guò)程、反思的過(guò)程的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)亦是如此，讓學(xué)生真正去“做”、真正參與“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，建立合理的、必然的數(shù)學(xué)知識(shí)、以“百科管理構(gòu)建法”構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。教師要注重學(xué)生學(xué)習(xí)創(chuàng)造的多維發(fā)展，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)出“再創(chuàng)造”的思維空間，引申學(xué)生的無(wú)限創(chuàng)造性認(rèn)知，而不能僅僅重視教學(xué)活動(dòng)中知識(shí)的單向傳輸。

通過(guò)這樣層層遞進(jìn)式的探究，可以幫助學(xué)生更好地感受向量與三角函數(shù)的緊密聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的博大精深。

四、以問(wèn)為引，優(yōu)化思維過(guò)程

以問(wèn)題引導(dǎo)思考為教學(xué)之常態(tài)，數(shù)學(xué)問(wèn)題本身的魅力才是引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探索的關(guān)鍵，教師必須“以生為本”，充當(dāng)一個(gè)“陪跑者”，盡可能幫助學(xué)生找到問(wèn)題的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，構(gòu)建更加清晰、完整的知識(shí)板塊，強(qiáng)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如教師可以設(shè)置以下問(wèn)題：

問(wèn)題1：前面研究的角α、β有什么要求？

問(wèn)題3：有了兩角差的余弦，如何得到兩角和的余弦、兩角和與差的正弦？為什么可以用-β直接換β？如何理解用-β代替β的幾何意義？

問(wèn)題4：前面學(xué)的誘導(dǎo)公式與兩角和與差的余弦公式有何關(guān)系？

問(wèn)題5：如何記憶這幾組公式？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題串的形式，可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的求知欲望，絲絲緊扣，對(duì)前面的研究進(jìn)行“打補(bǔ)丁”，得到更一般的、科學(xué)的結(jié)論，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法，提高對(duì)問(wèn)題的整合能力。

五、以思為歸，提升核心素養(yǎng)

教材是實(shí)施新課程的重要資源，教材的編寫凝聚著大量專家、學(xué)者的心血，是科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、迎合時(shí)代發(fā)展要求的。教師應(yīng)充分挖掘教材的設(shè)計(jì)意圖，選擇有效的教學(xué)策略，使學(xué)生在最有內(nèi)涵的課堂中汲取養(yǎng)分，發(fā)展自己的學(xué)習(xí)能力。

江蘇省數(shù)學(xué)教研員李善良博士亦說(shuō)過(guò)：“要想做一名優(yōu)秀的教師，就要學(xué)會(huì)定期反思，并把心得寫下來(lái)，以此來(lái)時(shí)常勉勵(lì)自己。”因此，有效的反思應(yīng)是教學(xué)的最后一個(gè)步驟，也是至關(guān)重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，“反思”是當(dāng)代心理學(xué)中屬于元認(rèn)知的概念范疇，反思性教學(xué)不僅僅是對(duì)前面知識(shí)點(diǎn)的一個(gè)簡(jiǎn)單回顧，更是要深究學(xué)習(xí)活動(dòng)中所涉及的知識(shí)、方法、思路、策略等，要從新的層次、更高的角度看到現(xiàn)實(shí)的不足，引領(lǐng)學(xué)生一起對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行“重新組織”或轉(zhuǎn)換，使得學(xué)習(xí)者成為構(gòu)造主義者。以本堂課為例，課中探討的兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程并不是盡善盡美的，肯定還有不足或是有更符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、更能提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的導(dǎo)入。一堂課的時(shí)間只有40 分鐘，但是同樣的40 分鐘賦予學(xué)生的意義卻是不盡相同的，教師需要親近學(xué)生、了解學(xué)生，多維度、多角度地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的“四基”“四能”及“六個(gè)關(guān)鍵能力”。