反饋控制對工期不確定的并行耦合任務(wù)完工時間的調(diào)節(jié)

田啟華 李 浪 杜義賢 周祥曼 鄢君哲

(三峽大學(xué) 機械與動力學(xué)院,湖北 宜昌443002)

復(fù)雜產(chǎn)品由于設(shè)計環(huán)節(jié)較多,不同階段設(shè)計任務(wù)之間頻繁的信息交流會導(dǎo)致大量的迭代返工,這使得產(chǎn)品設(shè)計任務(wù)執(zhí)行時間難以預(yù)估[1].實際產(chǎn)品開發(fā)過程中存在著如市場需求的變化、關(guān)鍵技術(shù)無法攻克、任務(wù)執(zhí)行工期和資源分配不均等不確定性因素,它們同樣會增大產(chǎn)品開發(fā)完工時間的不確定性.為了更客觀地反映耦合設(shè)計任務(wù)的不確定執(zhí)行工期和減小這種不確定性對產(chǎn)品開發(fā)完工時間的影響,必須采用一種自適應(yīng)機制來加以調(diào)控.針對該問題,國內(nèi)外許多學(xué)者展開了廣泛研究.如:金宏,王宏安,傅勇,等[2]提出一種基于模糊反饋控制的調(diào)度算法將任務(wù)集按不同的優(yōu)先等級進行劃分,控制了任務(wù)的截止期錯失率；虞忠偉,陳輝堂,王月娟[3]針對具有不確定項的重復(fù)非線性時變系統(tǒng),提出了基于反饋控制的迭代學(xué)習(xí)控制器來調(diào)整系統(tǒng)的最終跟蹤誤差界；俞嶺,謝奕,陳碧歡,等[4]提出了一種基于控制理論的虛擬資源動態(tài)分配方法,從而實現(xiàn)應(yīng)用系統(tǒng)的優(yōu)化運行和虛擬資源的有效利用；Kim[5]將離散狀態(tài)空間模型用于耦合迭代中工作轉(zhuǎn)移矩陣的表達,通過離散狀態(tài)量來預(yù)測耦合迭代過程的動態(tài)特性；Ong等[6]提出一種齊次狀態(tài)空間表示法,對整個并行設(shè)計迭代過程進行建模和監(jiān)控；Huang H Z 等[7]將產(chǎn)品開發(fā)過程看作帶反饋信息的動態(tài)系統(tǒng),并結(jié)合設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣獲取任務(wù)間的交互信息；鄧騰,戴紫彬,張立朝,等[8]針對不確定條件下任務(wù)完工錯過率過高以及調(diào)度過程穩(wěn)定性差的問題,運用反饋控制機制將各任務(wù)的錯過率偏差反饋到控制器,然后根據(jù)偏差值對任務(wù)的執(zhí)行優(yōu)先級進行調(diào)整；陳振東,鄭應(yīng)平[9]針對傳統(tǒng)的任務(wù)調(diào)度過程要求給出一定的資源裕度來保證各任務(wù)不會因資源受限而發(fā)生延遲執(zhí)行,提出了運用反饋控制的方法提高任務(wù)執(zhí)行過程資源的利用率；吳衛(wèi)東,黃洪鐘,古瑩奎[10]通過對多目標(biāo)優(yōu)化問題不確定性因素的分析,將協(xié)調(diào)校正權(quán)函數(shù)、優(yōu)屬度函數(shù)和重要性加權(quán)因子引入閉環(huán)反饋控制中,從而得到了多目標(biāo)滿意解的優(yōu)選方法.上述文獻從不同角度闡述了反饋控制機制對所研究目標(biāo)或?qū)ο蟮恼{(diào)控作用,但是這些方法很少有針對任務(wù)工期不確定條件下的并行耦合設(shè)計迭代過程的研究.

本文針對產(chǎn)品開發(fā)過程中任務(wù)工期的不確定性,利用工期的區(qū)間數(shù)描述方式構(gòu)建了工期不確定條件下的并行耦合迭代時間模型,并結(jié)合迭代收斂條件和工期滿意度區(qū)間條件得到了并行耦合迭代反饋控制模型.該模型通過調(diào)整任務(wù)的返工量來加快任務(wù)迭代速率,從而減小任務(wù)工期不確定性對并行耦合迭代完工時間的影響.

1 任務(wù)工期不確定的并行耦合迭代時間模型的構(gòu)建

在確定性環(huán)境下,耦合任務(wù)集的工期矩陣W 可以表示為:

式中:W 為對角矩陣,其元素wi表示每個任務(wù)確定的工期值,N為任務(wù)的個數(shù).

實際產(chǎn)品開發(fā)中,任務(wù)之間頻繁的信息交互導(dǎo)致的迭代返工使任務(wù)的執(zhí)行工期具有不確定性.為了更客觀地反映這種不確定性,采用區(qū)間數(shù)[11]來描述任務(wù)的工期.定義此時的工期矩陣為:

式中:[wvi]為用區(qū)間數(shù)表示的任務(wù)工期.

并行耦合迭代模型中的工作轉(zhuǎn)移矩陣WTM包括兩部分的數(shù)值信息,即任務(wù)返工量數(shù)值矩陣RA和任務(wù)工期數(shù)值矩陣W[12].并行耦合任務(wù)迭代過程中可用向量u(t)來描述第t次迭代時任務(wù)的工作量,假設(shè)任務(wù)的返工量不隨時間而變化,依據(jù)線性規(guī)則有:

根據(jù)并行耦合迭代方式的特點可知,完成整個迭代過程所消耗的時間為每個迭代階段所消耗時間之和,而每個迭代階段所消耗的時間由該階段中迭代時間最長的任務(wù)決定,即[13]:

式中:t為當(dāng)前迭代次數(shù),M 為迭代終止次數(shù),[·](i)表示向量的第i個元素,u0為全1的工作量向量.

將式(2)代入式(4)中可以得到工期不確定條件下并行耦合任務(wù)迭代時間模型:

2 區(qū)間數(shù)的運算和比較

求解工期不確定條件下并行耦合任務(wù)迭代時間模型涉及到區(qū)間數(shù)的運算和比較.

設(shè)Q={[aiL,aiR]}(1≤i≤m)是一組包含了m個區(qū)間的集合,則區(qū)間數(shù)運算規(guī)則[14]如下:

式中:c 為常數(shù)；aiL和aiR分別表示區(qū)間ai的左右端點.

為了比較多個區(qū)間數(shù)的大小,通常采用可能度計算的排序方法對各個區(qū)間進行排序[15].設(shè)有區(qū)間數(shù)a=[aL,aR]和b=[bL,bR],定義P(a≥b)為a≥b的可能度,可能度計算式為:

式中:L(a)=aR-aL,L(b)=bR-bL可能度的6種取值代表了任意兩個實數(shù)區(qū)間在數(shù)軸上6種可能的位置關(guān)系.

可能度的取值在0～1之間,可以用它來衡量相互比較的區(qū)間數(shù)之間的大小關(guān)系；假設(shè)有m個區(qū)間數(shù),它們之間進行兩兩比較,其結(jié)果可以組成一個m階的可能度方陣P=(pij)m×m；建立可能度方陣后,就可以對m個區(qū)間數(shù)排序.文獻[16]給出了可能度方陣的排序公式:

通過式(9)得到排序向量ω=(ω1,ω2,…,ωm)T,按其分量的大小對各區(qū)間進行排序,得到各區(qū)間的大小關(guān)系.

3 反饋控制調(diào)節(jié)過程分析

在產(chǎn)品開發(fā)中通常希望其完工時間能夠在預(yù)期的時間區(qū)間內(nèi)波動,任務(wù)工期的不確定性將增加項目完工時間的不確定性；為了降低這種不確定性的影響,引入反饋控制方法實現(xiàn)迭代過程的自適應(yīng)調(diào)節(jié).反饋控制流程圖如圖1所示.

圖1中Wv為輸入的不確定性工期矩陣,u0是任務(wù)初始工作向量,RA是耦合任務(wù)集的返工量矩陣；時間累加器用于累加耦合任務(wù)集每次迭代的時間,T為其輸出量；Tv表示為滿足滿意度要求的耦合迭代完工時間區(qū)間；K表示反饋調(diào)節(jié)矩陣,該矩陣的元素kij代表為了使整個耦合迭代過程達到期望的結(jié)果而額外分配給每個任務(wù)的資源量.即,基于反饋控制的并行耦合任務(wù)的返工迭代模型可表示為:

式中:RA(t+1)為第t+1次迭代時由發(fā)生返工的任務(wù)組成的返工量矩陣,為了簡化模型,這里假設(shè)RA是一個不隨時間變化的矩陣.從式(10)可知,反饋調(diào)節(jié)矩陣K通過調(diào)整任務(wù)的返工量,使整個并行耦合迭代的完工時間向滿意度區(qū)間靠攏,從而減小完工時間的不確定性.

根據(jù)第2節(jié)所提工作轉(zhuǎn)移矩陣的意義和項目管理者的實際工程經(jīng)驗,確定與迭代過程相對應(yīng)的返工量矩陣RA以及任務(wù)不確定性工期矩陣Wv,并進一步確定并行耦合迭代過程的收斂閾值ε 和完工時間的滿意度區(qū)間Tα.反饋調(diào)節(jié)過程應(yīng)滿足以下不等式:

由式(5)和式(6)求解較大規(guī)模耦合任務(wù)集時,得到的迭代終止次數(shù)M 和反饋調(diào)節(jié)矩陣K并不唯一,為了求得滿足要求的最小反饋調(diào)節(jié)矩陣K和相應(yīng)的迭代終止次數(shù)M,現(xiàn)作如下分析.

返工量矩陣RA的最大特征值決定了并行耦合任務(wù)迭代過程的收斂性,且在增加資源加快設(shè)計迭代過程時,耦合任務(wù)集的內(nèi)部迭代屬性未發(fā)生變化,即每個迭代階段的關(guān)鍵任務(wù)[17]沒有改變.此處定義任務(wù)模態(tài)的概念,任務(wù)模態(tài)是指以返工量矩陣的特征值與特征向量為標(biāo)志的耦合任務(wù)間相互作用的特性；特征值對應(yīng)的特征向量定量地表示了各耦合任務(wù)在迭代過程中對任務(wù)工作總量的影響率.返工量矩陣RA的最大特征值對應(yīng)的特征向量為耦合迭代過程中的主模態(tài)(影響率最大的任務(wù)模態(tài)),主模態(tài)中各任務(wù)對應(yīng)的分量各不相同,這種不同反映了各耦合任務(wù)對任務(wù)工作總量影響程度的差異.

由于反饋調(diào)節(jié)矩陣K中的元素kij表示為了使整個耦合迭代過程達到期望的結(jié)果而額外分配給每個任務(wù)的資源量,這里假設(shè)各任務(wù)的初始工作量為單位1,kij可以等效于各任務(wù)需要進行的額外返工量占初始工作量的比例,即整個反饋調(diào)節(jié)矩陣K可以等效于1個返工量矩陣,它和返工量矩陣具有相同的屬性,可以用來調(diào)節(jié)返工量矩陣RA的最大特征值對應(yīng)的主模態(tài).

基于以上分析,可以假設(shè)矩陣K和RA具有相同的特征向量,唯一不同的是這兩個矩陣的最大特征值不同.根據(jù)矩陣論知識可知,當(dāng)矩陣RA有不同的特征值時,它可以表示為:

式中:V和S分別為矩陣RA的特征值矩陣和特征向量矩陣.

若令矩陣RA的最大特征值為λmax,矩陣K的最大特征值為為矩陣K的特征值矩陣),則有:

式中對角陣diag(λmax-λ*max,…,0)的階數(shù)與耦合迭代的任務(wù)數(shù)相等；將式(14)代入式(11)和式(12)可求得最小的反饋調(diào)節(jié)矩陣K和迭代終止次數(shù)M.

4 示例分析

以某空氣凈化器的開發(fā)過程為例[18].結(jié)合設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣DSM,并使用劃分、聚類運算得到一個包含風(fēng)扇設(shè)計A、空氣過濾器設(shè)計B、水箱設(shè)計C、智控系統(tǒng)設(shè)計D 和主體設(shè)計E 5個設(shè)計任務(wù)的耦合任務(wù)集,其耦合信息如圖2所示.

圖中0至1之間的數(shù)字表示對應(yīng)任務(wù)的返工量大小,藍色格子代表各子任務(wù)的工期,TL和TR分別表示對應(yīng)任務(wù)執(zhí)行工期的區(qū)間數(shù)左、右邊界值.

耦合任務(wù)集返工量矩陣:

任務(wù)不確定性工期矩陣:

令初始工作向量u0為:

現(xiàn)設(shè)定耦合任務(wù)集完工時間滿意度區(qū)間Ta=[36,44],迭代收斂精度ε=5%.當(dāng)調(diào)用反饋控制環(huán)節(jié)時,根據(jù)式(11)和式(12),需滿足如下不等式:

矩陣RA的最大特征值；

矩陣RA的特征向量矩陣:

式中:i為虛數(shù)單位.

將式(20)和式(21)代入式(14)可以簡化式(18)和式(19)的求解過程,從而得到最小的矩陣K和相應(yīng)的迭代終止次數(shù)M.

在給定的任務(wù)工期范圍內(nèi)按依次減小區(qū)間半寬(區(qū)間長度的一半)的方式選取3組任務(wù)工期分別代入式(5),利用Matlab計算得到如表1所示的未調(diào)用反饋控制的耦合任務(wù)集的迭代次數(shù)和完工時間；同理將3組任務(wù)工期分別代入式(18)和式(19)得到如表2所示的調(diào)用反饋控制的耦合任務(wù)集的迭代次數(shù)和完工時間.

表1未調(diào)用反饋控制的耦合任務(wù)集迭代結(jié)果

由表1可知,在未調(diào)用反饋控制的情況下,將原任務(wù)工期作為第1組參數(shù)輸入時,耦合任務(wù)集迭代終止次數(shù)為10次,完工時間區(qū)間為45.6:48.3 d；將第2組任務(wù)工期參數(shù)輸入時,耦合任務(wù)集迭代終止次數(shù)為8次,完工時間區(qū)間為43.5:47.8 d；將第3組任務(wù)工期參數(shù)輸入時,耦合任務(wù)集迭代終止次數(shù)為7次,完工時間區(qū)間為42.2:45.6 d；即3組任務(wù)工期對應(yīng)的耦合任務(wù)集完工時間均大于設(shè)定的滿意度區(qū)間.

調(diào)用反饋控制的耦合任務(wù)集迭代結(jié)果見表2.

表2調(diào)用反饋控制的耦合任務(wù)集迭代結(jié)果

由表2可知,在調(diào)用反饋控制的情況下,將原任務(wù)工期作為第1組參數(shù)輸入時,耦合任務(wù)集迭代終止次數(shù)為6次,完工時間區(qū)間為37.8:43.2 d,反饋調(diào)節(jié)矩陣K為非零矩陣(單元數(shù)值0.131代表當(dāng)任務(wù)A在某一迭代階段的工作量為100%時,任務(wù)B需要分配初始資源的13.1%完成額外的工作量)；將第2組任務(wù)工期參數(shù)輸入時,耦合任務(wù)集迭代終止次數(shù)為5次,完工時間區(qū)間為38.4:42.7 d；將第3組任務(wù)工期參數(shù)輸入時,耦合任務(wù)集迭代終止次數(shù)為4次,完工時間區(qū)間為40.4:42.8 d.

將表1和表2的數(shù)據(jù)作對比可知,采用反饋控制方法可以有效地減小任務(wù)工期不確定性給整個并行耦合任務(wù)集的完工時間帶來的影響,使項目完工工期的不確定性降低,從而向預(yù)期的滿意度區(qū)間靠攏.

5 結(jié)論

產(chǎn)品開發(fā)中任務(wù)工期的不確定性會增加耦合任務(wù)集完工時間的預(yù)估難度,運用區(qū)間數(shù)和區(qū)間序可能度對不確定的工期區(qū)間進行描述以及大小比較可以更加真實地反映這種不確定性；結(jié)合工程中的滿意度概念和迭代收斂條件,將反饋控制方法運用于并行耦合任務(wù)集的迭代中,可以降低耦合任務(wù)集完工時間的不確定性.該方法對實際的產(chǎn)品開發(fā)過程具有一定理論指導(dǎo)意義.