變上限積分求導(dǎo)定理課堂教學(xué)構(gòu)思設(shè)計(jì)及實(shí)踐效果

楊莉　朱立軍

摘? 要：變上限積分求導(dǎo)定理是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，如何使本節(jié)課有效的進(jìn)行，授課教師對(duì)其進(jìn)行了精心的構(gòu)思：提出問(wèn)題→解決問(wèn)題→問(wèn)題總結(jié)→拓展探究，在此過(guò)程中融入啟發(fā)式、探究式及團(tuán)隊(duì)式教學(xué)模式，教學(xué)課件豐富，教學(xué)語(yǔ)言詼諧，教學(xué)互動(dòng)靈活，教學(xué)效果明顯。

關(guān)鍵詞：變上限積分;求導(dǎo)定理;課堂教學(xué);構(gòu)思設(shè)計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2096-000X（2020）01-0122-03

Abstract： Variable Upper Bound Integrals Derivative Theoremis the difficulty inCalculusteaching.To make this lesson effective， the teacher carefully designed it by following steps： ask questions，answer questions，summarize questions and expand inquiry. Heuristic， inquiry and team-based teaching modes are adopted in the process， which obtain rich teaching courses， humorous teaching languages， flexible teaching interaction and obvious teaching effects.

Keywords： Variable Upper Bound Integrals; derivative theorem; classroom teaching; conceptual design

《高等數(shù)學(xué)》是我校理工類(lèi)和經(jīng)管類(lèi)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，既能展現(xiàn)基礎(chǔ)學(xué)科的理論特色又能兼顧專(zhuān)業(yè)課程的實(shí)踐特色，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)其他后繼課程的基礎(chǔ)，在人才培育中占有重要地位。通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，能很好的培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

如何提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，已經(jīng)成為《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)活動(dòng)中亟待解決的課題。對(duì)于民族院校經(jīng)濟(jì)類(lèi)專(zhuān)業(yè)《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)，需考慮學(xué)生的生源及個(gè)體差異性，對(duì)教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)需精心構(gòu)思，目的激發(fā)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的積極性和熱愛(ài)程度，使其一環(huán)緊扣一環(huán)的繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)后續(xù)知識(shí)，并且更重要的是在數(shù)學(xué)課程中培養(yǎng)學(xué)生積極正能量的人格品質(zhì)，從而為少數(shù)民族地區(qū)培育有用的服務(wù)型人才。

變上限積分是高等數(shù)學(xué)中聯(lián)系不定積分與定積分的一個(gè)重要概念，其教學(xué)設(shè)計(jì)構(gòu)思關(guān)系著整個(gè)教學(xué)效果的整體呈現(xiàn)。以下為變上限積分教學(xué)構(gòu)思設(shè)計(jì)過(guò)程與實(shí)踐效果。

一、承前啟后，有效導(dǎo)入

全體同學(xué)請(qǐng)將你的美麗目光集中在這里（手勢(shì)右手大展繞一圈指向左手手心，提示大家注意），同學(xué)們，早上好！

今天我們一起來(lái)探討學(xué)習(xí)第6章定積分6.4節(jié)微積分基本定理之變上限積分求導(dǎo)定理。

上節(jié)課，我們提出了兩個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：我們已經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的微分學(xué)、初步的學(xué)習(xí)了積分學(xué)，我們要問(wèn)：這兩者之間是否有一定的聯(lián)系呢？如果有，能說(shuō)明什么問(wèn)題？

問(wèn)題2：截至目前，求定積分只能通過(guò)定義，然而定義中的和式極限給計(jì)算帶來(lái)了一定的繁雜性，那么要問(wèn)：是否有一種更巧妙簡(jiǎn)便的辦法來(lái)計(jì)算定積分？

為此，我們引入了變上限積分。

通過(guò)拉窗簾活動(dòng)，由已知（定積分）到未知（變上限積分），自然過(guò)渡到變上限積分的定義。

進(jìn)入PPT：

一、變上限積分

觀察這個(gè)式子'（x）=f（x），認(rèn)識(shí)一下？椎（x）和f（x）的關(guān)系。f（x）是？椎（x）的導(dǎo)函數(shù)，？椎（x）是f（x）的原函數(shù)。那也就是說(shuō)在[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）必然存在原函數(shù)，下面以定理的形式給出。

PPT4變上限積分求導(dǎo)定理

變上限積分求導(dǎo)定理回答了上節(jié)課我們提出的第1個(gè)問(wèn)題微分學(xué)與積分學(xué)的聯(lián)系，它是溝通微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁。同時(shí)說(shuō)明了變上限積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在上限處的函數(shù)值，也表明了閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必然存在原函數(shù)，而且這個(gè)原函數(shù)是由其本身生成的變上限積分函數(shù)。

趁熱打鐵，我們利用定理1求幾個(gè)變上限積分的導(dǎo)數(shù)。

定理1是我們這節(jié)課的終極目標(biāo)，目的達(dá)到，課程到此結(jié)束。

四、梳理總結(jié)，拓展探究

下面我們來(lái)簡(jiǎn)單梳理總結(jié)一下本節(jié)課。

由上節(jié)課提出的兩個(gè)問(wèn)題我們引入變上限積分，本節(jié)課比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鐾茖?dǎo)變上限積分求導(dǎo)定理。在分析過(guò)程中遇到兩個(gè)有趣的疑難點(diǎn)：

（1）? ? ? ? ? ? ? ? ? 復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化;

（2）? ? ? ? ? ? ?，將變量為？駐x→0時(shí)的極限轉(zhuǎn)化為變量為？孜→x時(shí)的極限，問(wèn)題簡(jiǎn)易化。

這也就是說(shuō)我們?cè)谟龅嚼щy時(shí)，一種辦法行不通，我們得大膽嘗試、探索尋求另一種方法來(lái)解決，那么我們想要的那個(gè)美麗的答案馬上會(huì)得到。正所謂宋代詩(shī)人陸游《游山西村》中的一句詩(shī)所說(shuō)“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”。

下面布置作業(yè)，課下同學(xué)們可以試著完成兩個(gè)任務(wù)。注：課下作業(yè)任務(wù)2同學(xué)們?cè)凇皩W(xué)習(xí)通”主題討論中互相討論;任務(wù)3的WORD編輯上傳到“學(xué)習(xí)通”作業(yè)（在線(xiàn)課程任務(wù)）中。

PPT5課下作業(yè)

五、實(shí)踐效果，問(wèn)卷呈現(xiàn)

本節(jié)課于管理學(xué)院選修《高等數(shù)學(xué)》班級(jí)進(jìn)行，通過(guò)對(duì)39名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（參見(jiàn)文獻(xiàn)[5]），整體教學(xué)效果良好，抽選問(wèn)卷（共12個(gè)問(wèn)題）中的4個(gè)問(wèn)題如下。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）：上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]趙樹(shù)嫄.微積分（第四版）[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2016.

[3]肖俊.關(guān)于變上限函數(shù)求導(dǎo)的教學(xué)實(shí)例[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013，16（06）：49-51.

[4]變上限積分函數(shù)動(dòng)態(tài)圖[EB/OL].http：//img.bimg.126.net/photo/KEf5qTFJDxB_ovLzLHL7mQ==/4224376450474286368.jpg.

[5]6.4節(jié)微積分基本定理之“變上限的定積分”求導(dǎo)定理教學(xué)效果測(cè)評(píng)問(wèn)卷調(diào)查[EB/OL].http：//mooc1.chaoxing.com/course/202227494.html