基于空間表象的直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)

裴日春

[摘? 要] 直觀想象原本是指幾何直觀與空間想象，因此直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，與高中數(shù)學(xué)中與圖形相關(guān)的知識(shí)關(guān)系密切，因此基于幾何圖形或者是函數(shù)圖像等內(nèi)容的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)是可行的. 基于空間表象培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)，還有以下兩點(diǎn)理解：第一，直觀想象素養(yǎng)形成以空間表象為思維載體;第二，直觀想象是空間表象加工后形成的直覺與合理想象. 這個(gè)培養(yǎng)過程可以分成三個(gè)環(huán)節(jié)：一是幫學(xué)生建立實(shí)物表象;二是幫學(xué)生建立想象表象;三是在反思中完善直觀想象.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);幾何直觀;空間表象

幾何直觀是高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素之一，考慮到核心素養(yǎng)的落地與具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)，而直觀想象原本是指幾何直觀與空間想象，因此直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)，與高中數(shù)學(xué)中與圖形相關(guān)的知識(shí)關(guān)系密切，因此基于幾何圖形或者是函數(shù)圖像等內(nèi)容的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)是可行的. 從學(xué)生學(xué)習(xí)心理機(jī)制的角度來看，學(xué)生對(duì)“形”的思維加工，是以表象為對(duì)象的，因此基于空間表象培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，就成為邏輯上說得通、操作中可行的思路.

直觀想象與空間表象的關(guān)系

所謂直觀想象，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的過程. 進(jìn)一步的研究表明，直觀想象主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系（即常說的數(shù)形結(jié)合）;建構(gòu)數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路等. 而基于空間表象培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)，還有以下兩點(diǎn)理解：

第一，直觀想象素養(yǎng)形成以空間表象為思維載體

空間表象是學(xué)生觀察思考空間圖形之后，大腦中留下來的印象. 由于直觀強(qiáng)項(xiàng)是幾何直觀與空間想象的合成，因此直觀想象素養(yǎng)生成過程中的思維載體必然是空間表象. 舉個(gè)例子，在簡(jiǎn)單幾何體的學(xué)習(xí)中，教師常常會(huì)提出一些命題，讓學(xué)生去構(gòu)思. 如三維空間中不相交的兩條直線一定平行嗎？對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生是有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)的——同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線互相平行. 而此時(shí)教師給出的命題與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)略有區(qū)別，學(xué)生會(huì)通過比較發(fā)現(xiàn)這個(gè)區(qū)別，然后提醒自己：三維空間與平面是不同的，同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線平行，可能并不意味著三維空間里永不相交的兩條直線也是平行的（這里用到了一定的邏輯推理，更多的則是直覺）. 有了這個(gè)思考作為基礎(chǔ)，他們就會(huì)在大腦當(dāng)中構(gòu)思三維空間，想象兩條不相交的直線之間的關(guān)系，然后得出結(jié)果.

這樣的一個(gè)過程就對(duì)應(yīng)著直觀想象素養(yǎng)的形成，顯而易見的是，學(xué)生此時(shí)思維加工的對(duì)象就是基于想象形成的表象.

第二，直觀想象是空間表象加工后形成的直覺與合理想象

學(xué)生大腦當(dāng)中形成的表象越清晰，對(duì)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)就越有好處. 因?yàn)楸硐笤角逦?，學(xué)生的內(nèi)心就越認(rèn)可，那么所形成的認(rèn)識(shí)就越有可能變成直覺;有了直覺之后再進(jìn)行合理的想象，也就形成了直觀想象能力培養(yǎng)的主要過程. 上面的例子中，當(dāng)學(xué)生確認(rèn)了三維空間里兩條永不相交的直線有著無數(shù)種可能——事實(shí)上就有學(xué)生建構(gòu)出的空間表象是：兩條直線起初起處于同一平面且互相平行，然后一條直線不動(dòng)，另一條直線轉(zhuǎn)動(dòng)，從而將同一平面內(nèi)的情形變成三維空間的情形，這樣就形成了一個(gè)清晰的三維空間的永不相交的兩條直線未必平行的表象. 這樣的一個(gè)具體過程，就是一個(gè)典型的直觀想象能力培養(yǎng)過程.

基于空間表象培養(yǎng)直觀想象

通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，基于空間表象培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)是可行的. 有研究表明，引導(dǎo)學(xué)生觀察空間幾何體，制作空間圖形的模型，積累空間圖形的表象，通過學(xué)生的直觀感知，增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生掌握空間圖形的能力;讓學(xué)生通過看圖、畫圖等，增強(qiáng)學(xué)生的空間感，然后通過動(dòng)手實(shí)踐、操作等，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). 進(jìn)一步通過對(duì)實(shí)踐的梳理，筆者以為這一培養(yǎng)過程可以分成三個(gè)環(huán)節(jié)：

一是幫學(xué)生建立實(shí)物表象. 根據(jù)學(xué)習(xí)的普遍規(guī)律，表象形成首先來自于實(shí)物，而高中數(shù)學(xué)內(nèi)容比較抽象，這個(gè)實(shí)物表象往往需要借助于教學(xué)手段來完成. 比如函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像，教師就可以在激活學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)圖像認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，借助于多媒體，給學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)上述函數(shù)圖像生成的動(dòng)態(tài)過程，這樣學(xué)生的思維加工起來就會(huì)比較直接，形成的表象也會(huì)比較清晰.

二是幫學(xué)生建立想象表象. 實(shí)物表象是為了學(xué)生的想象表象奠基，當(dāng)學(xué)生大腦中的經(jīng)驗(yàn)足夠豐富時(shí)，就應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)他們通過想象建構(gòu)想象表象的能力. 這一環(huán)節(jié)中最簡(jiǎn)單且有效的辦法，就是辨識(shí)訓(xùn)練. 比如我們可以讓學(xué)生去構(gòu)思y=3sin（2x+5）的表象——考慮到不同層次學(xué)生的需要，這樣一個(gè)過程可以循序漸進(jìn)，比如從y=3sinx到y(tǒng)=3sin2x，再到y(tǒng)=3sin（2x+5），這樣效果更好.

三是在反思中完善直觀想象. 如果說建立表象的過程，既是教師有意識(shí)設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)過程，也是學(xué)生的一種直覺的話，那只管想象素養(yǎng)培養(yǎng)的過程，就肯定是一個(gè)需要教師給學(xué)生提供情境，并在學(xué)習(xí)反思的過程中不斷完善的過程. 在上面函數(shù)圖像學(xué)習(xí)之后，讓學(xué)生結(jié)合大腦中的正弦圖像的經(jīng)驗(yàn)，思考y=Asin（ωx+φ）的得出過程，再思考一系列變式中的圖像得出過程，這樣可以讓實(shí)物表象和想象表象連貫起來，而這個(gè)表象越完整、越清晰，學(xué)生的幾何直觀就會(huì)更準(zhǔn)確，空間想象能力也會(huì)更強(qiáng)，很顯然這樣直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)效果就越好.

關(guān)于直觀想象培養(yǎng)的再思考

作為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的成長目標(biāo)，直觀想象描述了學(xué)生在遇到空間圖形的時(shí)候有效進(jìn)行描述和問題解決的情形;而作為對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的描述，直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、建構(gòu)抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ). 因此我們認(rèn)為，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視直觀想象能力的培養(yǎng)，并努力促使學(xué)生將能力進(jìn)一步提升為素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教師的重要任務(wù)，也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的重要突破口.

需要強(qiáng)調(diào)的是，直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)必須面向?qū)W生，而面向?qū)W生意味著教師在設(shè)計(jì)教學(xué)的時(shí)候，要清楚地知道學(xué)生已有的直觀想象水平，然后基于教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)，且要保證設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)過程在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”之內(nèi). 在學(xué)生建構(gòu)空間表象、加工空間表象的過程中，教師要關(guān)注學(xué)生的思維狀態(tài)，尤其是關(guān)注學(xué)生思維可能出現(xiàn)的困難，然后及時(shí)點(diǎn)撥，以讓學(xué)生建構(gòu)、加工空間表象的過程更為順利，這樣可以保證學(xué)生將注意力集中在空間表象形成本身，從而也就保證了直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)過程更加科學(xué)合理.

總之，基于空間表象的直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)，是經(jīng)得起理論與實(shí)踐的檢驗(yàn)的，是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的重要切入口，值得在教學(xué)中認(rèn)真嘗試.