基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的立體幾何教學(xué)設(shè)計實踐探究

趙玉香

【摘 要】 教學(xué)設(shè)計是課堂教學(xué)的“羅盤”，立體幾何教學(xué)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要載體。本文從三個方面介紹了實踐探究中形成的基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)下的形形相聯(lián)六環(huán)節(jié)立體幾何教學(xué)設(shè)計模式。

【關(guān)鍵詞】 形形相聯(lián);六環(huán)節(jié)立體幾何教學(xué)設(shè)計;數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

一、問題的提出

2017年開始，數(shù)學(xué)新課標(biāo)、新高考評價體系越來越重視學(xué)生的核心素養(yǎng)，特別是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。當(dāng)下高中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)較弱，從而導(dǎo)致其應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力較弱。怎樣的教學(xué)設(shè)計能更好地服務(wù)課堂、有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)呢？教無定法，貴在得法，筆者決定從多面體的外接球問題著手，對立體幾何教學(xué)設(shè)計開展具體的實踐研究，以期得到有實效的教法。

二、問題的分析、探究及解決

（一）指導(dǎo)理論與概念

學(xué)科素養(yǎng)是高考評價體系“一體四層四翼”中的四層考查目標(biāo)之一，數(shù)學(xué)素養(yǎng)包含具有數(shù)學(xué)基本特征的必備思維品格和關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)知識、技能、能力及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現(xiàn)。《高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一。 數(shù)學(xué)建模的實質(zhì)是將實際問題的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)字、圖表或公式、符號等表示出來，根據(jù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本原理建立數(shù)學(xué)模型的若干原型，在解決實際問題時識模、用模、解模的過程。

（二）問題探究

1.高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)弱的主要成因

（1）快餐式的課堂教學(xué)忽略知識的來龍去脈，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識“只窺一斑”、不探全貌，思維深度與習(xí)慣不佳，數(shù)形結(jié)合意識不強。

（2）學(xué)生的課堂反思與歸納不足，不能精準(zhǔn)掌握數(shù)學(xué)知識與方法。

2.提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的立體幾何教學(xué)設(shè)計實踐探究

（1）流程設(shè)計探究：教學(xué)過程設(shè)計分為幾個環(huán)節(jié)更合適？每個環(huán)節(jié)的具體任務(wù)是什么？該怎么落實？

（2）關(guān)鍵環(huán)節(jié)設(shè)計探究：如何引導(dǎo)學(xué)生形形相聯(lián)，聯(lián)想并構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解決問題，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)？

（三）問題解決及模式形成

筆者認(rèn)為，形形相聯(lián)，以圖形為主線的六環(huán)節(jié)立體幾何教學(xué)設(shè)計模式能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)：（1）目標(biāo)引領(lǐng)中展示問題;（2）回顧舊知中挖掘內(nèi)涵;（3）問題引導(dǎo)中建模研模;（4）問題實踐中用模解模;（5）反思?xì)w納中完善模型;（6）實踐鞏固中熟知模型。

三、模式實施

多面體外接球問題是高中立體幾何教學(xué)中的一個重點和難點，本文以此為例可以更好地闡述形形相聯(lián)六環(huán)節(jié)立體幾何教學(xué)設(shè)計模式。

（一）目標(biāo)引領(lǐng)中展示問題

圖形展示三棱錐、四棱錐與棱柱等多面體及其外接球，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)：“能根據(jù)幾何體的性質(zhì)特征，解決一些簡單的多面體的外接球問題”。

（二）回顧舊知中挖掘內(nèi)涵

引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1，設(shè)置問題，回顧多面體和球的幾何性質(zhì)，為新課奠定基礎(chǔ)。

1.概念與性質(zhì)回顧

（1）球的定義是什么？有哪些性質(zhì)？

（2）平面上，三角形的外接圓圓心如何確定？

（3）空間中，多面體的外接球球心如何確定？

2.內(nèi)涵領(lǐng)悟（展示幾何體實物）

（1）長方體的外接球球心在哪兒？它的半徑怎么計算？

（2）正四面體的外接球球心在哪兒？它的半徑怎么計算？

【設(shè)計意圖】以學(xué)生熟悉的長方體和正四面體的外接球問題為切入點，引導(dǎo)學(xué)生明確外接球問題的內(nèi)涵是確定球心和半徑——球心到各頂點距離相等，半徑等于球心到任一個頂點的距離。

（三）問題引導(dǎo)中建模研模

1.建模：通過上面的問題可得外接球問題的原型（圖2）。

2.研模：所有多面體的外接球問題都可構(gòu)建為圖2原型，經(jīng)常會出現(xiàn)下面兩種實際問題解決方法：

（1）構(gòu)造三邊長含有R、r和d的直角三角形。

代表模型：圖3。

【設(shè)計意圖】將外接球原型擴展可得一個新的直角三角形（圖3），其中，BC垂直小圓所在平面，引導(dǎo)學(xué)生由圖形聯(lián)想到其特征“線面垂直”，側(cè)棱垂直底面?？陕?lián)想到長方體具備此特征，“長方體的8個頂點中，任取若干個頂點組成的多面體，其外接球也是原長方體的外接球”，一些多面體的外接球問題可通過補形法轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，運用圖3模型來解決。

（2）定義法：確定球心的位置，球心到各頂點距離相等。

球心與多面體任意一面的外心連線與此平面垂直。代表模型如圖4。

【設(shè)計意圖】外接球原型也可擴展為圖4的模型，引導(dǎo)學(xué)生由圖形聯(lián)想到可確定球心位置的一些多面體，特別是椎體的外接球問題可構(gòu)建此模型來解決。

正四面體的外接球既可轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，也可用圖4模型來解決。

（四）問題實踐中用模解模

1.線面垂直模型的應(yīng)用

例1：如圖5，已知球O的球面上四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于? ? ? ? ? ? 。

變式練習(xí)1：如圖6，底面邊長為的正三棱柱的外接球體積為，則該三棱柱的體積為? ? ? ? ? ? 。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生“形形相聯(lián)”，根據(jù)圖形特征聯(lián)想到圖3模型，找出2d，求出底面多邊形的外接圓（小圓）直徑2r，再求R。

2.定義法模型

例2：（1）如圖7，已知三棱錐D-ABC中，AD⊥BD，AC⊥BC，BC=4，求此三棱錐的外接球半徑。

（2）如圖8，三棱錐D-ABC中，E是AB中點，DE=AB=4，CE=2，DE⊥平面ABC，求此三棱錐的外接球表面積。

變式練習(xí)2：正四棱錐的五個頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為? ? ? ? ? ? 。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)球的定義和性質(zhì)明確“球心在過多面體任意面的外心且與此平面垂直的直線上”，將此類問題分解為找多邊形的外心、確定球心位置、構(gòu)建并求解圖4模型幾個步驟。

（五）反思?xì)w納中完善模型

引導(dǎo)學(xué)生歸納反思：例題及變式練習(xí)是否還有其他的解法？具有什么明顯特征的外接球問題可以選用圖3和圖4模型來解決？

（六）實踐鞏固中熟知模型

鞏固練習(xí)1：底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的外接球的體積為? ? ? ? ? ? 。

鞏固練習(xí)2：直三棱柱的各頂點都在同一球面，AB=3，AC=5，BC=7，，則此球的表面積等于? ? ? ? ? ? ? 。

鞏固練習(xí)3：三棱錐S-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=2，SA=SB=SC=2，則此三棱錐的外接球球心到平面ABC的距離是? ? ? ? ? ? ?。

實踐發(fā)現(xiàn)，用這種教學(xué)設(shè)計為立體幾何教學(xué)做準(zhǔn)備，可更好地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，形形相聯(lián)，以不變的基本模型解決萬變的實際問題，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。這種教學(xué)設(shè)計模式需要教師認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)與大綱要求，預(yù)測學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，認(rèn)真整合與重組教材內(nèi)容，有序細(xì)化相關(guān)問題與對應(yīng)數(shù)學(xué)模型所需的必備知識，如此才能引導(dǎo)學(xué)生建模、用模和解模，不斷滲透并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

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【備注：本文系廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2018年度課題《基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計實踐研究》（課題批準(zhǔn)號：20190000095）的研究成果】