中學數(shù)學中不等式的證明方法及技巧

蘇夢虎

【摘 要】 在高中數(shù)學學習過程中，不等式的應(yīng)用占據(jù)了很大一部分，譬如在解析幾何與函數(shù)相結(jié)合的題型、有關(guān)圓周問題的題型中都會有所應(yīng)用。由此，掌握不等式解題技巧便可更為高效地解決數(shù)學問題。因此，學習不等式在高中數(shù)學學習過程中是十分重要的。本文就中學數(shù)學中不等式的證明方法及技巧這一問題展開探究，先是闡述不等式的概念，再例舉常見的重要的不等式并歸納其證明方式及技巧，最后分析不等式在高中數(shù)學題型中的實際應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】 高中不等式;證明方式;解題技巧

不等式的題型是多種多樣的，因此不等式的證明方法也有許多不同，但即便是這樣靈活多變的題型，其規(guī)律還是有跡可循的。本文通過例舉習題、總結(jié)方法的方式闡述觀點，望對今后碰到這樣題型的學生能起到一定的借鑒和幫助。

一、不等式的概念

數(shù)的關(guān)系不全是相等，還存在不等關(guān)系。含不等符號的式子，就是一個不等式。不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地，用純粹的“>”“<”連接的不等式稱為嚴格不等式，用“≥”“≤”連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。

二、不等式證明方式及技巧

1.比較法

不等式的證明方式在比較法中主要分為兩類，一是做差法，二是做商法。這種證明方式的優(yōu)點便是較為明了，容易被同學們想到，但缺點便是比較法的應(yīng)用條件較為局限，并且計算量較大，容易出現(xiàn)錯誤。

如例1便是用了比較法中的做商法來證明不等式，需注意的是，在通常情況下，同學們應(yīng)記住不等式中a2+b2≥2ab的變式應(yīng)用，這道例題便是結(jié)合了根式不等式的相關(guān)應(yīng)用并通過變換來證明出結(jié)果。

2.換元法

換元法又稱等量替代法，通過設(shè)定整體未知數(shù)或是較為復(fù)雜變量的方式達到簡化解題的目的。如例2便是通過換元法并結(jié)合相關(guān)理論公式來證明不等式。

三、不等式在高中數(shù)學題型中的實際應(yīng)用

如例3所示，該高考真題第一小題從基本不等式的概念出發(fā)，通過不等式之間的變換得出結(jié)論。第二小題在第一小題的基礎(chǔ)上通過反證法來推理，進而產(chǎn)生矛盾，最后得出結(jié)論。

綜上，不等式作為一種解題的路徑，其證明方式也是多種多樣的，同學們在做此類題型的時候應(yīng)善于去發(fā)現(xiàn)每道題型中獨特的地方，并通過歸納總結(jié)，在下一次做題時能加以篩選應(yīng)用。上述證明方式與技巧僅僅是一些較為常見的方法，高中教材上對于不等式的介紹不多，但即便如此，不等式多樣的解題方式也能給我們諸多啟示，當我們在遇到困難時，如何運用最優(yōu)解法來解決問題，這不僅是在解不等式時應(yīng)思考的問題，也不僅是在學習高中數(shù)學中需要去思考的問題，還是我們需要通過一生的學習去思考的問題。因此，通過本文對于不等式的證明方式及技巧的歸納，同學們能對此有新的思考，并在學習中、生活中培養(yǎng)良好的分析問題與解決問題的思維能力。我們也應(yīng)敢于創(chuàng)新，多借鑒學習他人優(yōu)秀的數(shù)學教學理念，不斷有效地提升高中學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，幫助學生樹立良好的數(shù)學思維，構(gòu)建科學的數(shù)學知識體系。

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