體現(xiàn)數(shù)學(xué)化理念的高中數(shù)學(xué)學(xué)案設(shè)計(jì)

袁華風(fēng)

[摘 ?要] 統(tǒng)籌、思考“數(shù)學(xué)化”和“提出問題”這兩個(gè)問題的學(xué)案設(shè)計(jì)能引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行有效的“課堂對話”，幫助教師構(gòu)建體現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”思想的教學(xué)模式，真正實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”的教學(xué)并取得余音繞梁的效果.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)化;學(xué)案;學(xué)習(xí)引導(dǎo);思考引導(dǎo);總結(jié)引導(dǎo);拓展引導(dǎo);教學(xué)目的

“數(shù)學(xué)化”在數(shù)學(xué)課程改革不斷推進(jìn)的今天已經(jīng)成為大家關(guān)注的熱點(diǎn)，如何用數(shù)學(xué)“教化”人這一問題卻仍舊沒有得到完美的解決. 與此同時(shí)，培養(yǎng)“提出問題”的能力這一問題也令人們的眼光聚焦在了一起. 事實(shí)上，“數(shù)學(xué)化”和“提出問題”這兩個(gè)問題的思考和解決在學(xué)案的設(shè)計(jì)中就應(yīng)該進(jìn)行統(tǒng)籌和思考，將“問題的提出與解決”設(shè)定為教學(xué)的目的并依托“學(xué)案”，使學(xué)生能夠在課堂教學(xué)中進(jìn)行有效的“課堂對話”并順利構(gòu)建起體現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”思想的教學(xué)模式.

妥善處理好學(xué)案和教案之間、學(xué)案和教學(xué)之間的關(guān)系才能將學(xué)生的思維引入深處，使學(xué)生在學(xué)案的習(xí)得中體驗(yàn)“是什么”“為什么”并因此將預(yù)習(xí)所得“數(shù)學(xué)化”，這是檢驗(yàn)學(xué)案成功與否的重要指標(biāo).

如何設(shè)計(jì)學(xué)案

設(shè)計(jì)學(xué)案需要考慮能否引導(dǎo)學(xué)生加深理解并發(fā)現(xiàn)知識間聯(lián)系、能否激發(fā)學(xué)生尋得解題新思路、能否幫助學(xué)生運(yùn)用發(fā)展的觀點(diǎn)看待問題等諸多方面的因素.

1. 確定設(shè)計(jì)思路

引發(fā)學(xué)生思考并使其提出問題是設(shè)計(jì)學(xué)案的主要目的，通過學(xué)案設(shè)計(jì)問題并使學(xué)生根據(jù)問題引領(lǐng)進(jìn)行材料的收集以及內(nèi)涵的了解，才能使學(xué)生學(xué)到知識的精髓并促使自身知識發(fā)生質(zhì)的改變.

（1）設(shè)計(jì)起始問題并以此為引領(lǐng)

提出問題與解決問題相互依賴且不可分割，教師精心設(shè)計(jì)的起始問題不僅是影響學(xué)案設(shè)計(jì)成功與否的關(guān)鍵，更是激發(fā)學(xué)生真實(shí)感受并引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)與思考的關(guān)鍵步驟.

比如，我們在設(shè)計(jì)“直線的點(diǎn)斜式方程”這一學(xué)案時(shí)就可以提出如下起始問題：幾何和代數(shù)這兩個(gè)數(shù)學(xué)分支相互關(guān)聯(lián)且密不可分，就好比平面中的點(diǎn)始終會有一對實(shí)數(shù)跟它一一對應(yīng)一樣，那么大家一起來思考一下，平面中的直線和代數(shù)中的什么內(nèi)容之間會是一一對應(yīng)的呢？

這一問題的思考和解決必然需要諸如以下的新問題的提出：以前見過此類問題嗎？以前是否見過跟此問題相關(guān)聯(lián)的問題呢（直線和一次函數(shù)的關(guān)系）？會是直線和一次函數(shù)一一對應(yīng)嗎（猜想）？可否證明？一個(gè)一次函數(shù)能對應(yīng)一條直線，那么一條直線是否就一定能尋得其對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式或方程呢？先設(shè)出表達(dá)式是否可行？是不是要確定兩個(gè)參數(shù)呢？這是否意味著應(yīng)有兩個(gè)條件？應(yīng)該是怎樣的條件？已知兩點(diǎn)坐標(biāo)可行嗎？已知一點(diǎn)坐標(biāo)與斜率呢？……

（2）展現(xiàn)概念形成

學(xué)案應(yīng)具備立體感，應(yīng)能涵蓋知識的發(fā)生、發(fā)展以及知識間的聯(lián)系并能為學(xué)生充分感知.

比如，以下在“從位移、速度、力到向量”這一內(nèi)容上的探索環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)：

第一步，實(shí)驗(yàn)與提問：假設(shè)力的作用點(diǎn)在桌子的中心，現(xiàn)將桌子分別向左、右或下推動，試分析桌子的運(yùn)動情況;假設(shè)作用點(diǎn)不在桌子的中心上（偏左或者偏右），桌子的運(yùn)動情況又是怎么樣的呢？試分析這兩種情況下桌子運(yùn)動狀態(tài)的異同，并嘗試用數(shù)學(xué)概念來描述它.

第二步，發(fā)現(xiàn)與抽象：大家能結(jié)合物理知識找出“位移”“速度”“力”這些量的共同點(diǎn)嗎？向量這一概念的產(chǎn)生又是怎樣的呢？

（3）凸顯數(shù)學(xué)思想的特點(diǎn)

透過知識本身看到數(shù)學(xué)本質(zhì)并形成數(shù)學(xué)觀、體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵步驟. 比如，“方程和直線之間的關(guān)系怎樣？”這一問題就可以用在“直線的點(diǎn)斜式方程”這一內(nèi)容的教學(xué)中，以此引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不同方式對同一對象進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫并獲得數(shù)形結(jié)合意義的理解.

2. 確定學(xué)案結(jié)構(gòu)

一份完整的學(xué)案一般包含學(xué)習(xí)引導(dǎo)、思考引導(dǎo)、總結(jié)引導(dǎo)、拓展引導(dǎo)這四個(gè)部分.

（1）學(xué)習(xí)引導(dǎo)

對數(shù)學(xué)知識“真懂”或“徹悟”這一數(shù)學(xué)理解的高層次是提出問題的基礎(chǔ)，是否能夠有效地喚起學(xué)生的認(rèn)知并使其對知識進(jìn)行理解、吸收是學(xué)案成功的關(guān)鍵與起點(diǎn).

比如，以下在“對數(shù)函數(shù)”所設(shè)計(jì)的學(xué)案問題：大家能敘述課本中對對數(shù)函數(shù)的描述嗎？如此描述的優(yōu)點(diǎn)在哪里？價(jià)值如何？筆者以這些問題來引導(dǎo)學(xué)生對知識進(jìn)行吸收與理解，并對學(xué)生進(jìn)行了學(xué)法指導(dǎo)，使學(xué)生能夠?qū)ρ矍爸R與已有知識之間的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行判定，并選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行吸收.

（2）思考引導(dǎo)

學(xué)生初步學(xué)習(xí)知識之后所要進(jìn)行的就是深入學(xué)習(xí)，在深刻理解知識的基礎(chǔ)上才能產(chǎn)生質(zhì)疑并提出問題.

比如，筆者在“空間圖形的基本關(guān)系與公理（1）”這一學(xué)案中進(jìn)行的問題設(shè)計(jì)：點(diǎn)、線、面相互搭配的情況一共有多少種呢？教材中關(guān)于“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的描述的具體含義是什么？從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)對“直線與平面”“平面與平面”關(guān)系的合理性進(jìn)行說明是否可取？學(xué)生吸收知識之后所應(yīng)進(jìn)行的學(xué)習(xí)行為便是考慮知識學(xué)習(xí)的重要意義，這對提出問題來講是極為關(guān)鍵的.

（3）總結(jié)引導(dǎo)

這是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識掌握的自我總結(jié)并發(fā)現(xiàn)知識間聯(lián)系、數(shù)學(xué)特點(diǎn)的一個(gè)重要環(huán)節(jié). 比如，筆者在“空間圖形的基本關(guān)系與公理（1）”這一學(xué)案的設(shè)計(jì)中就引導(dǎo)學(xué)生對幾種關(guān)系進(jìn)行了填寫，使學(xué)生在“點(diǎn)與直線”“點(diǎn)與平面”“線與線”“線與面”等關(guān)系的梳理中獲得了學(xué)習(xí)的總結(jié)與知識的再吸收.

（4）拓展引導(dǎo)

這是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的一個(gè)環(huán)節(jié)，因此這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)需要根據(jù)具體內(nèi)容進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚砼c設(shè)計(jì). 比如，蘊(yùn)含于問題研究中的諸多思想方法都需要教師引導(dǎo)學(xué)生對其重要性進(jìn)行理解.

比如，筆者在“空間圖形的基本關(guān)系與公理（1）”這一學(xué)案的拓展引導(dǎo)環(huán)節(jié)上就設(shè)計(jì)了以下問題：若直線上有兩點(diǎn)在某一平面內(nèi)，該直線和平面的關(guān)系怎樣？怎樣說明？若兩個(gè)平面不重合但卻存在兩個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面間的關(guān)系怎樣？怎樣說明？若兩條直線之間存在一個(gè)公共點(diǎn)，那么兩條直線在同一平面內(nèi)的說法成立嗎？

教師的必須認(rèn)知

教學(xué)模式對于教學(xué)結(jié)果的影響并不是決定性的，教學(xué)思想與觀念對于教學(xué)結(jié)果的影響才是關(guān)鍵且具決定性的. 觀念的先進(jìn)與否往往決定行為的優(yōu)劣，而觀念往往又是從理解之中形成的. 教師在本模式的實(shí)施過程中必須達(dá)成一定的共識：

1. “數(shù)學(xué)化”的形成是影響教學(xué)效率的重要因素

教師首先應(yīng)對“數(shù)學(xué)化”和教學(xué)效率之間的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行研究與理解，并在此基礎(chǔ)上形成一定的認(rèn)知，明確引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)并使其形成數(shù)學(xué)觀、提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)才是激發(fā)其學(xué)習(xí)動力的重要因素這一認(rèn)知，教學(xué)效率的提升也只有建立在學(xué)生具備內(nèi)在學(xué)習(xí)動力與興趣的基礎(chǔ)之上才能實(shí)現(xiàn).

2. 學(xué)生數(shù)學(xué)化的基礎(chǔ)是教師的數(shù)學(xué)化

教師提出問題的示范性對于學(xué)生提出問題來說極其重要，因此，教師首先應(yīng)對數(shù)學(xué)進(jìn)行體會、欣賞和研究并靜心思考一些問題，尤其是那些把握、理解數(shù)學(xué)知識的問題更值得關(guān)注與思考. 學(xué)生是否會問、會思的關(guān)鍵在于教師是否會問、會思，因此教師對教材進(jìn)行深入挖掘與理解對于教學(xué)成功來說是關(guān)鍵中的關(guān)鍵.

存在一定差異的思維活動自然也有其明顯的共性，把握、引導(dǎo)學(xué)生的思維需要教師對問題進(jìn)行思考這一必要的環(huán)節(jié)，這是體驗(yàn)、把握學(xué)生思維所必不可缺的. 波利亞在著名的教師“十戒”中提出的第一點(diǎn)就是要求教師能夠懂得任教內(nèi)容. “懂得”一詞涵蓋的意義相當(dāng)廣泛，教師具備的數(shù)學(xué)知識與知識結(jié)構(gòu)、對教材進(jìn)行的宏觀與微觀的認(rèn)知與理解等內(nèi)容都是涵蓋其中的. 也就是說，教師應(yīng)該在把握知識走向、聯(lián)系的基礎(chǔ)上對某些內(nèi)容進(jìn)行鉆研與思考并獲得數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知與理解，只有這樣，數(shù)學(xué)的“品味”才會因此獲得提升.

3. 充分認(rèn)識數(shù)學(xué)教學(xué)的目的

教師始終要明確數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的就是數(shù)學(xué)化，將“數(shù)學(xué)化”置于重要地位并對知識教學(xué)進(jìn)行新的理解，使學(xué)生通過理解知識獲得疑問并將課堂教學(xué)延續(xù)至課外，這正是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該達(dá)到的最終目的. 只有這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)才能真正實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”，并取得余音繞梁的效果.