利用經濟生活元素開展數(shù)列教學

陳宏春

[摘 ?要] 高中數(shù)學教育中存在脫離生活的問題，隨著社會的不斷進步與發(fā)展，數(shù)學在日常生活中的應用已經越來越廣泛，教師應該嘗試多利用生活元素開展教學：一是熟悉的生活情境能有效地消除學生對陌生知識的抵觸情緒;二是這樣的教學模式能引導學生關注生活，培養(yǎng)學生觀察生活的能力，讓學生明白生活中處處有數(shù)學，鼓勵學生在生活中不斷學習數(shù)學. 文章中筆者將會以實例來展示利用常見的經濟生活場景展開數(shù)列教學的方法.

[關鍵詞] 生活元素教學;等差數(shù)列;等比數(shù)列;求和公式;通項公式

常常聽到學生們開玩笑說道：“只要學完小學數(shù)學，就可以解決日常生活需求了，我們現(xiàn)在學的數(shù)學都沒什么實際用途.”實際上，這樣的說法并不適用于現(xiàn)代生活，它從側面表現(xiàn)出了高中數(shù)學教育存在脫離生活的問題. 隨著社會的不斷進步與發(fā)展，數(shù)學在日常生活中的應用已經越來越廣泛，教師應該嘗試多利用生活元素開展教學：一是熟悉的生活情境能有效地消除學生對陌生知識的抵觸情緒，從而使得學生能以更大的激情和更濃厚的興趣投入學習中;二是這樣的教學模式能引導學生關注生活，培養(yǎng)學生觀察生活的能力，讓學生明白生活中處處有數(shù)學.

數(shù)列是高中數(shù)學知識結構中的重要部分，能很有效地鍛煉學生觀察歸納和計算的能力. 數(shù)列的知識在經濟生活中十分實用，下文中筆者將會以實例來展示利用常見的經濟生活場景展開數(shù)列教學的方法.

銀行存款利息問題

高中階段的學生對于銀行存款問題并不陌生，筆者曾在介紹完等比數(shù)列通項公式之后，讓學生嘗試應用通項公式的相關知識解決銀行存款利息計算的問題.

師：假設你們每年有一萬元用于儲蓄，有兩家銀行分別提出了自己的利息策略. A銀行采取無復利模式，每年提供本金7%的利息;B銀行采取復利模式，每年提供上一年本息合計4%的利息. 在不考慮通貨膨脹的情況下，請同學們相互討論一下怎樣規(guī)劃才能使這筆資金得到的利息最多，看看你們是不是理財小能手.

在看見這樣富有生活氣息的問題后，學生們紛紛表現(xiàn)出了濃厚的興趣，課堂討論氛圍十分熱烈. 在學生大致討論了一段時間后，筆者搜集了以下幾種比較有代表性的儲蓄方案.

方案A：一半的錢放在A銀行，一半的錢放在B銀行.

方案B：把所有的錢放在A銀行.

方案C：先把所有的錢放在A銀行，一定年數(shù)后本息合計放入B銀行.

接下來筆者將學生分為了三組，讓他們計算三種方案在5年、10年和25年的時間跨度里分別能有多少收益，存放在A銀行的錢收益是固定的，而存放在B銀行的錢收益需要利用等比數(shù)列的通項公式來計算，對于前兩個較容易計算的方案，學生得出的收益情況如表1所示.

第三組學生在計算方案C時遇到了問題，筆者便讓其選出一位代表闡述一下困難所在.

生：第三種方案和前兩種方案的不同之處在于，我們需要計算出這個特殊的“一定年數(shù)”后才能夠最終確定利息的計算方法，但是對于這個特殊的時間節(jié)點我們還需要經過一定的計算.

師：那么你們是怎么思考和計算的呢？

生：A銀行雖然看起來利息率比較高，但是由于它不是復利型的方案，增加的利息是固定的，而隨著總量的不斷增加，B銀行提供的方案產生的利息終有一年會超過A銀行，于是我們一年一年地進行計算，對比A銀行、B銀行的利息差異.

師：的確，隨著總量的增加，原本看似收益更小的B方案最終帶來的收益反而會更多，思路是正確的，但是你們不覺得一年一年地進行計算是一件“吃力不討好的事”嗎？試著利用等比數(shù)列通項公式的知識來解決這個問題.

生（經過一段時間的思考）：那我們只要求解不等式10000+700n≤10000·（1.04）n（n∈N）即可.

師：很好，等比數(shù)列的通項公式正可以起到這樣化繁為簡的作用.

接下來教師帶領著全班同學一起計算了第三種方案的收益情況，學生們十分投入和認真.

分期付款方案選擇問題

問題情境：小王想要在工作之余成為一名兼職的滴滴司機，現(xiàn)要買一輛汽車，已知該汽車的總價值為115000元，全款買車不需要額外的錢，分期付款的方案如下：先交15000元的首付金，接下來的每一個月付5000元和余款利息，余款利息的計算公式為：利息=余款×1%. 如果小王手上的活動資金能夠付得起首付卻不能全款買下這輛車，20個月后才能全款買下，試問：小王平均每月要通過兼職司機這份工作賺多少錢，選擇分期付款方式才更加經濟？

情境分析：滴滴出行是學生們生活中常用的軟件，以此為問題的情境能極大程度上調動起學生探索研究的欲望.

問題解答：先計算分期付款模式下的總付款. 根據(jù)題干信息易知，需要20個月才能最終還清所有的錢，假設第n個月小王需要付的金額數(shù)為an，則可以推斷出an=6000-50（n-1）（n=1，2，…，n），因此該數(shù)列的和加上首付便是小王應該付的總額. 因為S20=110500，所以小王最終總付款為125500元，對比原價多付了10000元，因此小王需要每月通過兼職賺10000÷20=500（元）才更加經濟.

企業(yè)經營利潤問題

問題情境：某企業(yè)需要進行技術升級投資，現(xiàn)有兩種方式可供選擇.

方案A：一次性向銀行貸款一千萬元，第一年能夠為企業(yè)增加一百萬元的收益，往后收益逐年增加30%;

方案B：每一年都向銀行貸款一百萬元，往后第n年的收益為50（n+1）萬元.

假設這兩種方案中貸款的使用年限相同，皆為k（9≤k≤11，k∈N）年，到達期限之后公司需要連本帶息一次性償還，已知銀行按年利率10%復利收取貸款利息，請問：出于凈利潤最大化考慮，公司應該選擇哪種方案？

問題解答：（注：方便計算，下面所有數(shù)據(jù)皆以“百萬元”作為單位）

方案A：分析收益情況易知，該方案的收益按年份成等比數(shù)列，根據(jù)首項為1和公比為3的條件可知，前n年的收益總和為（百萬元），且可計算得銀行貸款本息合計為10×1.1n（百萬元），因此最終的凈利潤為-10×1.1n（百萬元）.

方案B：該方案下的收益數(shù)據(jù)成等差數(shù)列（首項為1，公差為0.5），根據(jù)等差數(shù)列求和公式易得其前n項和為n+×0.5（百萬元），而每一年的貸款本息合計成等比數(shù)列，總額為11×（1.1n-1）（百萬元），因此凈利潤為n+×0.5-11×（1.1n-1）（百萬元）.

當使用年限為9時，方案A的凈利潤為8.44百萬元，方案B的凈利潤為12.06百萬元，所以選擇方案B公司所得凈利潤更高;

當使用年限為10時，方案A的凈利潤為16.68百萬元，方案B的凈利潤為14.97百萬元，所以選擇方案A公司所得凈利潤更高;

當使用年限為11時，方案A的凈利潤為27.87百萬元，方案B的凈利潤為18.12百萬元，所以選擇方案A公司所得凈利潤更高.

情境分析：該問題綜合考察了等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，有利于幫助學生對比兩種求和公式的異同.

植樹造林增長率問題

問題情境：假設某地有2200畝荒地可以用來植樹，若第一年年初植樹100畝，往后逐年遞增50畝，假設這些樹木都能夠成活，那么需要花多少年才可以把這片荒地種滿綠樹呢？若每一畝綠樹在剛種下時有2m3的木材量，且每年木材量都會增長20%，試問：在實現(xiàn)全面綠化那一年的年底該地區(qū)木材總量為多少？

問題解答：將荒地完全綠化也就是要使得每一年的植樹面積累加起來等于荒地的面積，根據(jù)題干條件易知，每一年綠化的面積成等差數(shù)列，因此根據(jù)求和公式可得前n年的綠化總面積為100n+25n（n-1），即要使100n+25n（n-1）=2200，可解得年數(shù)為8.

假設用an表示第n年種下的木材量，將木材量從最后一年向第一年逆推可得，最后一年年底每一年積累下來的木材量分別為2a8·1.2，2a7·1.22，2a6·1.23，…，2a1·1.28，將其求和便可得第九年年底的木材總量了.

注意點總結

（1）去繁存簡，突出重點. 生活中的實際事件情況一般比較復雜，教師沒必要將其都呈現(xiàn)出來，而是應該結合教學知識的需求，適當簡化事件干擾因素，突出與教學目標最契合的點.

（2）教師引導，學生主導. 學生在接觸到生活元素時一般會比較激動，教師要注意設置一些關鍵性的引導問題，防止學生注意力飄到無關緊要的地方去.

（3）情境引導，深度參與. 如第一點所示，教師在利用生活元素進行教學時，不妨建構一些可以讓學生更有代入感的情境，這樣的情境引導會讓學生更加積極地投入研究.

（4）注意觀察，結合時代. 高中生的生活閱歷畢竟有限，教師在選取情境時要注意貼近學生的視角和生活.