次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下后定選擇權(quán)定價(jià)

王瑞,薛紅,梁喜珠

（西安工程大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710600）

1973年,Black和Scholes開(kāi)創(chuàng)性地提出了Black-Scholes模型[1],隨后該模型廣泛運(yùn)用于各種期權(quán)定價(jià)問(wèn)題中.然而研究表明,Black-Scholes模型中的假設(shè)并不適用于收益率為非獨(dú)立、非線性的金融市場(chǎng)[2-4].后來(lái),一些學(xué)者用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述與過(guò)去價(jià)格相關(guān)的股價(jià)的變動(dòng),其具有自相似性和長(zhǎng)程依賴性[5-8].

隨著布朗運(yùn)動(dòng)的推廣,2004年Bojdecki等[9]提出了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng),它在保持分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的一些性質(zhì)的同時(shí)還具有增量非平穩(wěn)性,用其描述現(xiàn)實(shí)中的股價(jià)市場(chǎng)變化更為合理,對(duì)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的詳細(xì)定義見(jiàn)文獻(xiàn)[10-11].2014年,肖煒麟等[12]研究了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下帶交易費(fèi)用的備兌權(quán)證的定價(jià),更加說(shuō)明了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)可以更好地描述一般的金融市場(chǎng).但由于實(shí)際金融市場(chǎng)中的股票價(jià)格會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)或跳躍的情形,故2019年,王佳寧等[13]在次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下建立了金融市場(chǎng)定價(jià)模型,對(duì)最值收益期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究.

投資者在選購(gòu)股票時(shí),并不能確定其價(jià)格在將來(lái)會(huì)上升還是下降,因此投資者在投資過(guò)程中存在的風(fēng)險(xiǎn)比較大,而后定選擇權(quán)[14]能很好地解決這一問(wèn)題,持有人可以在該期權(quán)合約到期前某一確定時(shí)間點(diǎn)選擇其為看漲或看跌期權(quán)的奇異期權(quán).近幾年,畢學(xué)慧等[15]和詹穎心等[16]分別推導(dǎo)了幾何布朗運(yùn)動(dòng)下簡(jiǎn)單后定選擇權(quán)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下復(fù)雜后定選擇權(quán)的定價(jià)公式.2012年,黃開(kāi)元[17]在股票價(jià)格服從于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的基本假設(shè)下,得到了利率滿足Hull-White模型的后定選擇權(quán)保險(xiǎn)精算定價(jià)公式.本文對(duì)次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下后定選擇權(quán)定價(jià)問(wèn)題和方法進(jìn)行了研究.首先通過(guò)推導(dǎo)得出歐式看漲、看跌期權(quán)的定價(jià)公式,從而得出其平價(jià)關(guān)系,然后運(yùn)用保險(xiǎn)精算方法給出后定選擇權(quán)的定價(jià)公式,最后通過(guò)Matlab軟件給出數(shù)值算例并進(jìn)行分析.

1 次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)股票價(jià)格St滿足隨機(jī)微分方程

引理1隨機(jī)微分方程（1）的解為

2 歐式期權(quán)定價(jià)

定義3歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義[19]為

歐式看跌期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

式（4）中：參數(shù)K、T、r分別表示該期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格、到期日與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率,I為示性函數(shù), A是A的補(bǔ)集,且

定理1歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格

證明：由定義3有

式（6）中

且 X(n)～N（0,1）,同時(shí)

定理得證.

定理2歐式看跌期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格

證明：類似定理1可證.

推論2歐式看漲、看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系式為

3 后定選擇權(quán)定價(jià)

定義4到期日為T,執(zhí)行價(jià)格為K,在到期前某一擇選點(diǎn)t*（t*＜T）選擇看漲、看跌的后定選擇權(quán),其在t*時(shí)刻的現(xiàn)金流量[14]為

式（9）中：C（St*,t*）和P（St*,t*）分別表示標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲和看跌期權(quán)在時(shí)刻t*的保險(xiǎn)精算價(jià)格.

由看漲、看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系可得后定選擇權(quán)在時(shí)刻t*的現(xiàn)金流量為

定理3到期日為T,執(zhí)行價(jià)格為K,在到期前某一擇選點(diǎn)t*（t*＜T）選擇看漲、看跌的后定選擇權(quán),其在t*前任意時(shí)刻t（0＜t＜t*）的保險(xiǎn)精算價(jià)格

證明：令

式（12）中

從而定理得證.

4 數(shù)值算例及分析

在到期日前某一擇選點(diǎn)t*時(shí)刻選擇看漲或看跌期權(quán)的后定選擇權(quán)價(jià)格公式已由定理3給出,根據(jù)該定價(jià)公式,運(yùn)用Matlab軟件給出數(shù)值算例并進(jìn)行分析.現(xiàn)假設(shè)該后定選擇權(quán)以股票為標(biāo)的資產(chǎn),并且該股票價(jià)格滿足次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程式（1）.假設(shè)模型中各參數(shù)取值如下：

K=90,T=0.5,t=0.3,t*=0.45,r=0.05,n=30,m=30,λ=4,σ=0.2.

在其他定價(jià)參數(shù)不變的情況下,分別改變Hurst指數(shù)H和跳躍強(qiáng)度λ的取值,觀察并分析在不同的股票價(jià)格S下后定選擇權(quán)價(jià)格W的變化情況,見(jiàn)表1、表2.

表1 股票價(jià)格和參數(shù)H取不同值的后定選擇權(quán)價(jià)格Tab.1 Chooser option price when stock price and parameter H take different values

表2 股票價(jià)格和參數(shù)λ取不同值的后定選擇權(quán)價(jià)格Tab.2 Chooser option price when stock price and parameterλtake different values

根據(jù)統(tǒng)計(jì)表1與統(tǒng)計(jì)表2中的數(shù)據(jù)分別繪制出相應(yīng)的折線統(tǒng)計(jì)圖.圖1表示股票價(jià)格和參數(shù)H取不同值時(shí),后定選擇權(quán)價(jià)格的變化.

圖1 對(duì)應(yīng)不同參數(shù)H的后定選擇權(quán)價(jià)格Fig.1 Chooser option price corresponding to different parameter H

由圖1可知,后定選擇權(quán)價(jià)格隨著Hurst指數(shù)H的改變而改變,即金融市場(chǎng)不同的分形結(jié)構(gòu),對(duì)期權(quán)價(jià)格有顯著性影響.當(dāng)0.1≤H＜0.3時(shí),后定選擇權(quán)價(jià)格與參數(shù)H呈同方向變化,而當(dāng)0.3≤H＜0.9時(shí),后定選擇權(quán)價(jià)格與參數(shù)H呈反方向變化,并且當(dāng)參數(shù)H取值0.3與0.5時(shí),后定選擇權(quán)的價(jià)格極其接近.而在參數(shù)H一定的情況下,后定選擇權(quán)價(jià)格隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格的接近而降低.

圖2表示股票價(jià)格和參數(shù)λ取不同值時(shí),后定選擇權(quán)價(jià)格的變化.

圖2 對(duì)應(yīng)不同參數(shù)λ的后定選擇權(quán)價(jià)格Fig.2 Chooser option price corresponding to different parameterλ

由圖2可知,跳躍強(qiáng)度與后定選擇權(quán)價(jià)格成正比例關(guān)系,即后定選擇權(quán)的價(jià)格隨著實(shí)際金融市場(chǎng)中跳躍情形的嚴(yán)重而增高.當(dāng)固定跳躍強(qiáng)度時(shí),標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格越接近執(zhí)行價(jià)格,對(duì)應(yīng)的后定選擇權(quán)的價(jià)格也越低.

5 小結(jié)

本文綜合考慮了實(shí)際金融市場(chǎng)中股價(jià)收益率變化非平穩(wěn)與股票價(jià)格會(huì)發(fā)生波動(dòng)或跳躍的這兩種情形,將次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)與帶有跳的Poisson過(guò)程引入到奇異期權(quán)定價(jià)問(wèn)題中,對(duì)次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下后定選擇權(quán)的定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了探討,通過(guò)保險(xiǎn)精算方法推導(dǎo)出其定價(jià)公式,并且給出相應(yīng)的數(shù)值算例,通過(guò)分析可知,在固定其他參數(shù)取值的情況下,后定選擇權(quán)的價(jià)格隨著Hurst參數(shù)與波動(dòng)強(qiáng)度的改變而改變.