淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的悖論教學(xué)法

賀萍 劉君

【摘要】悖論教學(xué)法應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)課堂有利于培養(yǎng)中學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的了解，還可以提高學(xué)生的邏輯思維能力.本文基于中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，通過(guò)實(shí)例說(shuō)明分析悖論教學(xué)法對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用.

【關(guān)鍵詞】悖論，初等數(shù)學(xué)，悖論教學(xué)法

悖論是由Paradox翻譯過(guò)來(lái)的，采用徐利治教授主張的說(shuō)法，“如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但在這個(gè)理論中卻推出了兩個(gè)互相矛盾的命題，或是證明了這樣一個(gè)個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式，那么，我們就說(shuō)這個(gè)理論包含了一個(gè)悖論.”悖論教學(xué)法就是將悖論的思維方式適當(dāng)?shù)匾虢虒W(xué)課堂的一種教學(xué)方法.其過(guò)程是首先在課堂上提出一個(gè)悖論A，然后組織學(xué)生討論與質(zhì)疑悖論A，再引導(dǎo)學(xué)生由已有的知識(shí)B否定悖論A，最后得出新結(jié)論C.

一、悖論教學(xué)法的應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的謬誤很多是因?yàn)閷W(xué)生的思維定式或?qū)镜亩x和定理的認(rèn)識(shí)不足，又或者是忽視了定理的適用條件等原因造成的.所以，中學(xué)數(shù)學(xué)中的“悖論”很多都有一定的偽裝，這種偽裝對(duì)學(xué)生的解題有一定的阻礙作用，教師就可以利用這些偽裝實(shí)施悖論教學(xué)法.

（一）利用學(xué)生的思維定式實(shí)施悖論教學(xué)法

1.提出悖論A——任意三角形都是等腰三角形

如圖所示，作∠A的角平分線和底邊BC的垂直平分線交于點(diǎn)O，從O點(diǎn)分別向AB，AC引垂線，垂足分別為D和E.因?yàn)椤螦DO=∠AEO=90°，AO=AO，所以△ADO≌△AEO，AD=AE.因?yàn)镺F垂直平分BC，所以O(shè)B=OC，又因?yàn)椤螧DO=∠CEO=90°推出△BDO≌△CEO，BD=CE.根據(jù)圖示和分析可以得出AB=AD+BD，AC=AE+EC，即AB=AC，所以結(jié)論為△ABC是等腰三角形.

2.激發(fā)學(xué)生的興趣，質(zhì)疑悖論A

因?yàn)槿切伟催叿诸惪梢苑譃榈妊切巍⒌冗吶切魏筒坏冗吶切?，所以任意三角形都是等腰三角形這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的.

3.根據(jù)知識(shí)否定悖論A

通過(guò)準(zhǔn)確的作圖，明確出現(xiàn)這一錯(cuò)誤的原因是因?yàn)樽鲌D不準(zhǔn)確.分別作頂角A的角平分線和底邊BC的垂直平分線，發(fā)現(xiàn)兩條線的交點(diǎn)是在三角形外的，而題目中給出的圖形是錯(cuò)誤的，導(dǎo)致在解題過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤.

交點(diǎn)O在三角形外，AD=AE，BD=CE，但是AB=AD+BD，AC=AE-CE，所以AB≠AC.

4.得出結(jié)論

不是任意一個(gè)三角形都是等腰三角形.在做題的過(guò)程中要準(zhǔn)確作圖，根據(jù)題目要求自己動(dòng)手作圖，不要被不準(zhǔn)確的圖形所“迷惑”.（提醒學(xué)生要正確作圖，準(zhǔn)確作圖）

（二）利用學(xué)生對(duì)定義的模糊認(rèn)識(shí)導(dǎo)致悖論

所以任意兩個(gè)數(shù)都相等.

2.激發(fā)學(xué)生的興趣，質(zhì)疑悖論A

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，每個(gè)實(shí)數(shù)大小不相等，所以不可能任取數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)都是大小不同的.

3.根據(jù)平方根知識(shí)否認(rèn)悖論A

如果兩個(gè)數(shù)的平方相等，那兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是相等的，但是兩個(gè)數(shù)的大小可能相等也可能不相等.若x2=y2，則只能推出x=±y，而不能說(shuō)明x=y.

4.鞏固概念的理解，加強(qiáng)定義教學(xué)

二、悖論教學(xué)法對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的影響

悖論教學(xué)法培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.在幾何教學(xué)時(shí)可以講幾個(gè)有趣的數(shù)學(xué)幾何悖論引起學(xué)生的好奇心，比如，在講解案例1時(shí)，可以給學(xué)生展示彭羅斯階梯、莫比烏斯環(huán)等，形象的圖像可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)的趣味性，使得中學(xué)數(shù)學(xué)課堂不再枯燥乏味.

悖論教學(xué)法增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的了解在講一個(gè)新知識(shí)前可以把涉及的數(shù)學(xué)家給學(xué)生介紹一下，例如，芝諾（芝諾悖論）、孔多塞（投票悖論）、歐布里德（說(shuō)謊者悖論）等，這些數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)和對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度也會(huì)給學(xué)生樹立榜樣.

悖論教學(xué)法培養(yǎng)學(xué)生的反向思維和嚴(yán)謹(jǐn)性.學(xué)生平時(shí)做題都有正確的前提條件，所以學(xué)生的思維大都是正向的，逆向思維較為欠缺，所以在布置習(xí)題時(shí)可以故意將題目出錯(cuò)，學(xué)生在解題時(shí)就會(huì)對(duì)前提和結(jié)論反復(fù)思考，逆推和正推同時(shí)進(jìn)行，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生的逆向思維和對(duì)解題的嚴(yán)謹(jǐn)性就會(huì)加強(qiáng).

三、小 結(jié)

綜上所述，悖論教學(xué)法可以在教學(xué)的每個(gè)環(huán)節(jié)中都利用到，比如，新課的導(dǎo)入、知識(shí)點(diǎn)的鞏固和習(xí)題的布置等.教師要利用好中學(xué)生所處階段的發(fā)展特征，比如，思維定式、知覺(jué)的恒常性和對(duì)定義定理的模糊概念等，調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心和求知欲，讓學(xué)生參與到課堂學(xué)習(xí)中.

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