基于牛頓迭代法的LPRE損失函數(shù)的最小化問題

明浩 劉惠籃 張凡

【摘要】乘積模型在經(jīng)濟(jì)增長等正的測(cè)量數(shù)據(jù)中應(yīng)用十分廣泛.本文采用LPRE（最小乘積相對(duì)誤差）準(zhǔn)則，在五種不同隨機(jī)誤差下，基于牛頓迭代法給出了乘積模型的參數(shù)估計(jì)，并對(duì)比LS（最小二乘法）準(zhǔn)則得到的參數(shù)估計(jì).通過數(shù)值模擬仿真，說明在某些隨機(jī)誤差的分布下，LPRE估計(jì)優(yōu)于LS估計(jì).

【關(guān)鍵詞】LPRE估計(jì)，LS估計(jì)，牛頓迭代法，R軟件

【基金項(xiàng)目】國家自然科學(xué)基金（11761020），貴州大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（2018520106），貴州省科技計(jì)劃項(xiàng)目（黔科合LH字[2017]7222），貴州省教育廳青年科技人才成長項(xiàng)目（黔教合KY字[2017]104）資助課題.

一、引 言

實(shí)際生活中，許多數(shù)據(jù)為正的，乘積模型保證了預(yù)測(cè)值為正，能更有效地處理這類數(shù)據(jù)，因此，也得到了廣泛的應(yīng)用.但相比于普通線性回歸，乘積模型的參數(shù)估計(jì)卻更受挑戰(zhàn)，一方面，采用不同的最小化準(zhǔn)則所得到的參數(shù)估計(jì)也不同，另一方面，不同的最小化準(zhǔn)則的計(jì)算難易程度也是不相同的.

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)的最小化問題，常采用最小二乘法（LS）、最小絕對(duì)偏差（MAD）、最小絕對(duì)相對(duì)誤差（LARE）和最小乘積相對(duì)誤差（LPRE），但由于LS和LPRE估計(jì)是可微的，這就將目標(biāo)函數(shù)最小化轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)根的問題，相對(duì)MAD和LARE求解更具有優(yōu)勢(shì).對(duì)此，國內(nèi)外也有了許多理論研究成果，如Chen等人[1]研究了LPRE準(zhǔn)則在乘積模型中的估計(jì)問題，Liu等人[2]研究了LPRE準(zhǔn)則在單指標(biāo)乘積模型中的估計(jì)問題.

二、研究方法

（一）模型簡介

四、結(jié) 語

本文通過數(shù)值模擬分別給出了五種隨機(jī)誤差下乘積模型的LPRE估計(jì)和LS估計(jì)，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明，LS估計(jì)并非在所有誤差分布下都優(yōu)于其他估計(jì).因此，在實(shí)際應(yīng)用中，針對(duì)非負(fù)數(shù)據(jù)建模，適當(dāng)選取最小化準(zhǔn)則，可以得到更好的模型參數(shù)估計(jì).同時(shí)，LPRE損失函數(shù)的無窮可微性也給求解乘積模型的參數(shù)估計(jì)帶來了便捷，基于R軟件采用牛頓迭代法求解LPRE估計(jì)，一方面，提高了對(duì)牛頓迭代法的認(rèn)識(shí)，另一方面，也提高軟件編程的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Chen K，Lin Y，Wang Z，et al.Least Product Relative Error Estimation[J].Journal of Multivariate Analysis，2016（144）：91-98.

[2]Liu H，Xia X.Estimation and empirical likelihood for single-index multiplicative models[J].Journal of Statistical Planning & Inference，2017（193）：S0378375817301404.

[3]胡大海.基于乘積相對(duì)誤差準(zhǔn)則的模型研究[D].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2017.

[4]薛毅，陳麗萍.統(tǒng)計(jì)建模與R軟件[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

[5]張丹.乘積模型的變量選擇[D].開封：河南大學(xué)，2014.