基于八面體理論的巖石循環(huán)加-卸載本構(gòu)模型及修正

羅吉安，劉豐茂，劉之喜，馬雷鳴，陳燁開，李欣慰

（1.安徽理工大學(xué)力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學(xué)土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001）

巖石地下工程與人們的生命安全息息相關(guān)，如隧道、地下井巷等，主要原因是當(dāng)巖石開挖后，周圍巖石失去原有的平衡狀態(tài)，內(nèi)部的應(yīng)力場也會發(fā)生變化。另外，巖石地下工程難免受到周期加-卸載作用，如地面交通周期荷載、地震等。眾多學(xué)者對周期荷載作用下的巖石性質(zhì)展開了研究，但卻較少涉及循環(huán)加-卸載作用下巖石的本構(gòu)模型。因此，將循環(huán)加-卸載作用引入巖石本構(gòu)模型的研究中，為巖石損傷本構(gòu)模型研究提供新的思路。

巖石本構(gòu)模型研究一直是巖石力學(xué)研究的重中之重，雖然現(xiàn)有的巖石本構(gòu)模型比較多，但是往往存在許多問題，難以反映實(shí)際情況。因此，基于徐志英[1]、劉佑榮[2]等的巖石、巖體破壞理論，研究人員從不同方向?qū)r石損傷本構(gòu)模型進(jìn)行了探討。曹文貴等[3-5]將巖石損傷本構(gòu)理論與統(tǒng)計學(xué)理論有機(jī)地結(jié)合起來，利用巖石微元強(qiáng)度服從Weibull隨機(jī)分布的特點(diǎn)，建立了巖石破裂全過程的損傷本構(gòu)模型。在此基礎(chǔ)上，袁小平等[6]將Drucker-Prager準(zhǔn)則很好地運(yùn)用到巖石彈塑性損傷本構(gòu)模型的研究中，建立了Drucker-Prager準(zhǔn)則下的巖石損傷本構(gòu)模型。李西蒙等[7]分析了分級循環(huán)加-卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征和分級循環(huán)加-卸載下巖石疲勞損傷演化過程，建立了循環(huán)加-卸載條件下軸向應(yīng)變與循環(huán)數(shù)目之間的理論模型。王者超等[8]通過花崗巖三軸循環(huán)試驗(yàn)，系統(tǒng)地研究了花崗巖疲勞力學(xué)特性，并提出了其疲勞力學(xué)模型。此外，何明明等[9]研究了循環(huán)加載過程變形 3 階段的變形特性、循環(huán)軟化與循環(huán)硬化、能耗特征，并且建立了耗散能隨循環(huán)次數(shù)變化的演化方程。張平陽等[10-11]通過預(yù)測壓氣儲能洞室的長期穩(wěn)定性，提出了一種能夠描述巖石循環(huán)加-卸載的本構(gòu)關(guān)系，使巖石損傷本構(gòu)模型研究取得了重大進(jìn)展。

基于以上研究背景，本工作將基于Weibull隨機(jī)分布特點(diǎn)的巖石損傷本構(gòu)模型進(jìn)行拓展，引入八面體剪應(yīng)力理論，并假設(shè)巖石微元強(qiáng)度服從八面體剪應(yīng)力理論并且微元破壞服從Weibull 概率公式，通過加-卸載循環(huán)試驗(yàn)，描述每個循環(huán)內(nèi)巖石強(qiáng)度及加-卸載模量的變化，進(jìn)而提出循環(huán)加-卸載巖石損傷本構(gòu)模型；進(jìn)一步通過巖石損傷本構(gòu)公式變換，得到關(guān)于應(yīng)力、應(yīng)變、泊松比、彈性模量以及其他能夠表現(xiàn)加-卸載下巖石損傷本構(gòu)模型的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，將所采用的八面體剪應(yīng)力理論以及各實(shí)驗(yàn)參數(shù)代入本構(gòu)模型中，從而得到巖石的本構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并對單軸循環(huán)加-卸載作用下的巖石材料試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，進(jìn)一步分析所提出的巖石損傷本構(gòu)模型以及各試驗(yàn)參數(shù)的物理意義。

1 巖石本構(gòu)模型

1.1 本構(gòu)模型的建立

根據(jù)巖石在變形前后應(yīng)變等價的原則，即利用J.Lemaitre應(yīng)變等價假說，建立巖石損傷本構(gòu)關(guān)系

式中：σ*為有效應(yīng)力矩陣，σ為名義應(yīng)力矩陣，E為巖石材料彈性矩陣， εe為巖石彈性應(yīng)變矩陣，D為巖石損傷變量。對于以上建立的巖石損傷本構(gòu)模型，損傷變量的確定是其關(guān)鍵，但是由于損傷變量的影響因素極為復(fù)雜，并且無法直接從試驗(yàn)中準(zhǔn)確地獲得，所以本研究結(jié)合巖石的破壞模型與判斷依據(jù)，引入巖石微元強(qiáng)度和巖石破壞服從Weibull概率公式的特點(diǎn)，提出了基于八面體剪應(yīng)力理論表示巖石損傷變量的方法。基于徐衛(wèi)亞等[12]采用的方法，即假定巖石的破壞準(zhǔn)則通式為

式中：k0是表示與材料黏聚力和內(nèi)摩擦角有關(guān)的常數(shù)。式（2）雖然能夠非常直觀地表現(xiàn)出巖石微元強(qiáng)度的破壞情況，但卻不能清楚地表現(xiàn)宏觀狀態(tài)下巖石破壞的程度，因此如何用巖石的微元強(qiáng)度表示宏觀巖石強(qiáng)度將成為解決問題的關(guān)鍵。巖石內(nèi)部由無數(shù)微元組成，兩者是整體與個體的關(guān)系，故可引入概率統(tǒng)計學(xué)說，設(shè)巖石微元破壞的概率為依據(jù)概率統(tǒng)計理論，損傷變量的破壞概率為

1.2 巖石微元強(qiáng)度確定

巖石微元強(qiáng)度實(shí)際上決定了宏觀條件下巖石破壞的危險程度，因此，選擇何種強(qiáng)度準(zhǔn)則或者理論來近似定義巖石微元強(qiáng)度將是巖石損傷本構(gòu)模型建立的關(guān)鍵。目前，用Drucker-Prager破壞準(zhǔn)則、Coulomb-Mohr準(zhǔn)則、莫爾庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則等定義巖石的微元強(qiáng)度，都取得了不錯的研究進(jìn)展。然而，有些巖石在兩向或三向受力情況下，破壞之前的變形較大，沒有明顯的破壞荷載，表現(xiàn)出顯著的塑性變形、流動或擠出，這種破壞即為塑性破壞。對于這類巖石，八面體剪應(yīng)力理論認(rèn)為，當(dāng)八面體剪應(yīng)力達(dá)到材料危險狀態(tài)時的八面體剪應(yīng)力值時，材料將處于危險狀態(tài)，該理論更適用于復(fù)雜狀態(tài)下的塑性材料，故八面體剪應(yīng)力理論適用于定義某些復(fù)雜狀態(tài)下巖石的微元強(qiáng)度。任何應(yīng)力狀態(tài)下的八面體剪應(yīng)力理論可表示為

式中：σ1、σ2、σ3分別為3個主應(yīng)力。故基于八面體剪應(yīng)力理論下巖石的微元強(qiáng)度為

1.3 三軸作用下巖石本構(gòu)關(guān)系的建立

假設(shè)巖石為各向同性體，并且其破壞時巖石的微元強(qiáng)度服從Weibull概率分布，則巖石的概率密度分布函數(shù)為

式中：F為微元破壞Weibull分布的分布變量，m和F0為Weibull的分布參數(shù)?；诮y(tǒng)計學(xué)理論，將式（6）代入式（3），變換整理后可得損傷變量為

上述巖石損傷變量求解的關(guān)鍵在于巖石微元強(qiáng)度的確定，本研究將八面體剪應(yīng)力理論近似表示巖石的微元強(qiáng)度，故將式（5）代入式（7）得出巖石損傷變量的最終表達(dá)式

損傷力學(xué)中J.Lemaitre應(yīng)變等價假說以及材料力學(xué)中廣義胡克定律可表示為

式中：E為彈性模量，μ為泊松比。聯(lián)立式（8）、式（9）、式（10），可得巖石在三軸作用下的損傷關(guān)系

所以，巖石在三軸作用下的損傷本構(gòu)模型可表示為

1.4 單軸作用下巖石本構(gòu)關(guān)系的建立

當(dāng)巖石材料處于單軸狀態(tài)下時，僅受到單方向的力，故將三軸作用下巖石本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行公式變換，即可得到單軸作用下巖石本構(gòu)模型

2 試驗(yàn)過程及數(shù)據(jù)分析

基于章清敘等[13]周期荷載作用下紅砂巖變形特性的試驗(yàn)方法，本研究通過對砂巖的循環(huán)加-卸載試驗(yàn)（見圖1）來驗(yàn)證提出的巖石本構(gòu)關(guān)系。選取直徑為50 mm、高為100 mm的標(biāo)準(zhǔn)巖石試件（見圖2），并且要求砂巖試件兩端不平行度誤差不大于0.05 mm。對每個試件都進(jìn)行6個等級的加-卸載，加載卸載過程不間斷，每次加載的峰值大約為30、40、50、60、70、80 MPa，當(dāng)加載到第6等級時，巖石自動急劇卸載，巖石破壞。砂巖的循環(huán)加-卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3 所示。

從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中可以看出，巖石在循環(huán)加-卸載試驗(yàn)過程中存在殘余變形，并且第一次卸載時最大，達(dá)到0.12，這是由于自然界巖石材料中存在諸多縫隙、空隙等，在加載過程中，這些空隙不斷被壓密，形成了無法逆轉(zhuǎn)的塑性變形，這也符合葛修潤等[14-15]提出的巖石疲勞破壞和不可逆變形問題的結(jié)論。經(jīng)過多次反復(fù)加載與卸載，且每次施加的峰值荷載都比前一次施加的峰值荷載大，塑性滯回環(huán)的面積也將有所擴(kuò)充，巖石的彈性模量也有所增加，因此，結(jié)合巖石力學(xué)中砂巖彈性模量的經(jīng)驗(yàn)取值，可將砂巖的彈性模量取值為12 GPa。另外，由應(yīng)力-應(yīng)變曲線也可以看出，經(jīng)過最后一個等級加載后，巖石急劇卸載，這是由于巖石在承受大約82 MPa后發(fā)生破壞，破壞后巖石無法再承受應(yīng)力，所以，應(yīng)力將急劇下降，直至為零。

圖1 循環(huán)加-卸載試驗(yàn)機(jī)Fig.1 Cyclic loading and unloading test machine

圖2 標(biāo)準(zhǔn)巖石試件Fig.2 Standard rock specimens

圖3 試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 Stress-strain curve of the tests

3 參數(shù)擬合及本構(gòu)修正

3.1 擬合公式的變換

目前，對于 Weibull 分布下的巖石損傷本構(gòu)模型數(shù)據(jù)擬合過程，大部分采取在本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上引進(jìn)經(jīng)驗(yàn)公式，進(jìn)而推導(dǎo)出關(guān)于m和F0的函數(shù)表達(dá)式。此種方法雖然可以擬合出m和F0，但形式過于復(fù)雜。本研究通過系列等式變換，將所提出的本構(gòu)模型變換為較簡單的關(guān)于m和F0的數(shù)學(xué)表達(dá)式，再進(jìn)行擬合，即可得到所需要的參數(shù)。首先，將式（14）進(jìn)行變換，可得

再進(jìn)一步變換，得

3.2 擬合數(shù)據(jù)的處理及分析

本研究采用單軸循環(huán)加-卸載試驗(yàn)對所提出的巖石本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。首先，對所選試件進(jìn)行分等級加-卸載試驗(yàn)，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對所有循環(huán)下的實(shí)驗(yàn)曲線進(jìn)行擬合，然后選取試驗(yàn)曲線擬合程度較好的典型試驗(yàn)結(jié)果曲線（見圖4、圖5），再進(jìn)行整理分析。

對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理后，便可分別得到加載階段曲線和卸載階段曲線，由加-卸載曲線可知：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合曲線的擬合校正系數(shù)均在0.98以上（第1等級加載除外），說明擬合效果非常好。另外，第1等級加載的擬合校正系數(shù)只有0.93，擬合程度較低。這是由于第1次加載時，加載峰值應(yīng)力只有30 MPa，并且?guī)r石在自然狀態(tài)下，內(nèi)部有許多空隙和縫隙，當(dāng)初次加載時，大多數(shù)情況只是將巖石內(nèi)部的空隙和縫隙壓密，損傷積累得也不明顯，因此并不十分符合所提出的巖石本構(gòu)模型。

圖4 加載階段B-A曲線擬合Fig.4 B-A fitting curve during loading stage

圖5 卸載階段B-A曲線擬合Fig.5 B-A fitting curve during unloading stage

隨著加-卸載等級的提高，擬合程度愈加完美，尤其在加載過程中表現(xiàn)得十分明顯，巖石在不同等級加載下，開始時所承受的應(yīng)力較小，隨著等級增加，應(yīng)力逐漸地增加，巖石內(nèi)部損傷不斷積累，故損傷本構(gòu)模型的擬合效果趨于良好。另外，通過表1可以觀察到，卸載過程時擬合效果提高得并不非常明顯，但總體擬合效果良好。

表1 加-卸載等級參數(shù)Table 1 Parameters of each loading and unloading level

根據(jù)表1中各加-卸載等級的參數(shù)可知，參數(shù)m與加-卸載等級的大小呈反比，而參數(shù)F0與加-卸載等級的大小呈正比，也就是說隨著加-卸載等級的提高，參數(shù)m減小，參數(shù)F0增大。在循環(huán)加-卸載過程中，巖石所受到的峰值應(yīng)力逐漸增加，巖石強(qiáng)度逐漸增大，可認(rèn)為巖石的強(qiáng)度隨F0的增大而增大，故F0反映出巖石的宏觀平均強(qiáng)度。另外，在不斷的循環(huán)荷載作用下，巖石的微元強(qiáng)度有所減小，因此，m有可能與巖石微元強(qiáng)度有關(guān)，反映了巖石微元強(qiáng)度分布的集中程度，m越小，巖石塑性程度將越高，對于兩個參數(shù)的性質(zhì)及物理意義則需要更加具體的分析。

3.3 損傷本構(gòu)模型的修正

通過以上對參數(shù)m、F0的分析可以看出，參數(shù)m、F0的變化規(guī)律受所施加應(yīng)力的影響，如果能夠分析參數(shù)m、F0與所施加應(yīng)力的關(guān)系并進(jìn)行擬合，就能比較有效地對巖石損傷模型進(jìn)行修正。如圖6、圖7所示，將參數(shù)m、F0分別作為縱坐標(biāo)，巖石所受到的應(yīng)力為橫坐標(biāo)，取每次循環(huán)加載的峰值應(yīng)力30、40、50、60、70、80 MPa為橫坐標(biāo)參考點(diǎn)，可得到F0-σ1與m-σ1散點(diǎn)分布圖，采用雙曲線進(jìn)行擬合，可得到

圖6 Weibull分布參數(shù)F0與正應(yīng)力σ1的關(guān)系Fig.6 Relation between Weibull distribution parameter F0 and the normal stress σ1

圖7 Weibull分布參數(shù)m與正應(yīng)力σ1的關(guān)系Fig.7 Relation between Weibull distribution parameter m and the normal stress σ1

式（19）和式（20）的擬合系數(shù)分別高達(dá)0.997 02和0.998 23，也就是說在不同應(yīng)力情況下參數(shù)m、F0的變化規(guī)律較符合擬合公式。將式（19）、式（20）代入式（14），即可得到修正后的損傷本構(gòu)模型。

4 敏感性分析

通過對加-卸載過程中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合發(fā)現(xiàn)，本構(gòu)模型中的參數(shù)m、F0具有一定的變化規(guī)律，并且這些變化與劉樹新等[16]提出的Weibull參數(shù)變化規(guī)律相似。因此，本研究進(jìn)行了本構(gòu)損傷模型參數(shù)的敏感性分析，進(jìn)一步確定參數(shù)的具體物理意義。

以擬合效果較好的第6次循環(huán)加載階段為例，首先將m固定為擬合值-0.938 517 71，分別對F0取 20、25、30、35、40、45，將其參數(shù)分別代入損傷本構(gòu)模型，即可得到F0取值不同情況下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，如圖8所示。

圖8 參數(shù)F0的敏感性分析情況Fig.8 Sensitivity analysis of parameter F0

從圖8可以看出，隨著F0的增大，應(yīng)力-應(yīng)變曲線趨于平緩，巖石的峰值強(qiáng)度也逐漸減小，進(jìn)一步表明參數(shù)F0與巖石的宏觀平均強(qiáng)度有關(guān)。另外，從表1可以觀察出，隨著加-卸載等級的增加，參數(shù)F0逐漸增加，巖石的平均宏觀強(qiáng)度逐漸降低。這是由于在不斷加-卸載過程中，巖石的內(nèi)部損傷逐漸積累，使得巖石宏觀強(qiáng)度隨之降低，即對試樣第1次加載達(dá)到某個值后卸載，且試樣不破壞，對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理后，對試樣第2次加載達(dá)到某個值后卸載，且試樣不破壞，再對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理后，對試樣進(jìn)行第3次加載達(dá)到某個值后卸載，且試樣不破壞，依次類推，當(dāng)進(jìn)行第6次加載時試件破壞。進(jìn)行多組試驗(yàn)，取典型曲線進(jìn)行敏感性分析，最終得出參數(shù)F0可能與巖石的平均宏觀強(qiáng)度有關(guān)，與參數(shù)F0的敏感性情況一致。

同樣以擬合效果較好的第6次循環(huán)加載階段為例，將參數(shù)F0固定為擬合值40.468 44，分別對m取 0、-0.5、-1.0、-1.5、-2.0、-2.5。將其參數(shù)分別代入損傷本構(gòu)模型，即可得到m不同情況下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，如圖9所示。

圖9 參數(shù)m敏感性分析情況Fig.9 Sensitivity analysis of parameter m

從圖9可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)理論應(yīng)力值小于32 MPa時，隨著參數(shù)m的減小，理論應(yīng)力值逐漸減小；反之，當(dāng)理論應(yīng)力值大于32 MPa時，隨著參數(shù)m的減小，理論應(yīng)力值逐漸增大。除此之外，隨著參數(shù)m的減小，理論應(yīng)力值的增長速率是逐漸增加的，其中參數(shù)m與巖石微元強(qiáng)度分布的集中程度有關(guān)，即m越小，巖石微元強(qiáng)度分布的集中程度越高，理論應(yīng)力值的增長速率越高，故巖石脆性增加。巖石在初始加載時內(nèi)部變形一般較小，但隨著循環(huán)加-卸載等級的增加，巖石內(nèi)部產(chǎn)生損傷逐漸積累，其變形量將急劇增加，m逐漸減小，巖石微元強(qiáng)度分布的集中程度也越高，巖石逐漸向脆性發(fā)展。

5 結(jié) 論

（1）從巖石損傷的理念出發(fā)，假設(shè)巖石的微元強(qiáng)度服從八面體剪應(yīng)力理論并且微元破壞服從Weibull概率公式，建立了基于八面體剪應(yīng)力理論的循環(huán)加-卸載下巖石的損傷本構(gòu)模型，該模型具有靈活性好、參數(shù)少、便于擬合等優(yōu)點(diǎn)。

（2）在數(shù)據(jù)處理擬合過程中，采取先將本構(gòu)損傷模型進(jìn)行等式變換后再進(jìn)行擬合的方法，將復(fù)雜的損傷本構(gòu)擬合過程轉(zhuǎn)變?yōu)檩^為簡單的冪函數(shù)擬合，省去了非線性擬合數(shù)值選取的復(fù)雜過程，為損傷本構(gòu)模型的擬合提供了一種新的參考方法。

（3）將數(shù)據(jù)擬合后得到的參數(shù)進(jìn)行整理分析，并對所得到的參數(shù)值進(jìn)行重新擬合分析，最終得到修正后的損傷本構(gòu)模型，修正后的本構(gòu)關(guān)系將更好地描述循環(huán)加-卸載曲線，比之前更具有實(shí)際意義。

（4）在循環(huán)加-卸載情況下，參數(shù)F0與巖石的宏觀平均強(qiáng)度有關(guān)，參數(shù)m與巖石微元強(qiáng)度分布的集中程度有關(guān)。隨著加-卸載等級的提高，參數(shù)m減小，巖石微元強(qiáng)度分布的集中程度提高，巖石逐漸向脆性發(fā)展，而參數(shù)F0增大，巖石的平均宏觀強(qiáng)度則逐漸降低。