深諳極限思想，活用微元方

◇ 內(nèi)蒙古 劉漢明 劉鎖霞

所謂極限思想,就是指在某個方向上或者某個范圍,一個指標不斷逼近某個預(yù)設(shè)特定值的過程,是一個動態(tài)過程．這個預(yù)設(shè)的特定值可以是極小值,也可以是極大值．某個指標可能能夠達到這個極值,抑或只能無限趨近它．極限思想是用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想．微元法是先將整體無限分割為眾多微小的“元過程”,從而將非物理模型變成理想化模型,然后累加求和．

高中物理中某些概念的提出、某些實驗設(shè)計的原理和一些物理定理定律的拓展研究等,都需要借助極限思想和微元法．

首先，我們了解一下與極限思想有關(guān)的物理概念和物理名詞．

在物理學(xué)中,很多概念的提出都必須借助極限思想來完成．一般涉及“瞬時”的概念,就意味著要將時間等物理量無限細分,例如一段時間可以被無限分割后成無窮多個時刻;一段時間內(nèi)或一段位移內(nèi)的平均速度、加速度或者功率、平均感應(yīng)電動勢等被無限分割后會出現(xiàn)某一時刻或某一位置的瞬時速度、瞬時加速度、瞬時功率、瞬時感應(yīng)電動勢等.當(dāng)然,有些概念也涉及對空間的分割,如將一段位移無限分割會出現(xiàn)不同空間的位置，將一段電流無限分割后會出現(xiàn)電流元等．

其次，體會極限思想在實驗原理設(shè)計上的妙用．

在物理實驗中,人們雖然無法取到極限,但是卻可以想辦法去接近極限．光電門就是一個很好的例子：采用極窄的遮光條通過傳感器來測量其遮光時間,以求獲得更便捷、更準確的瞬時速度,它要優(yōu)于測速度的其他實驗方法，如頻閃照片法測速度、打點計時器測速度等．

最后，非特殊運動情形下的物理規(guī)律的定量表達和物理公式的表述,有時也需要用到極限思想及微元方法來助推思維的發(fā)展．

無論是運動學(xué)還是電磁學(xué),很多定律都是可以由極限思想及微元方法論證的,這也更加驗證極限思想以及微元方法的重要性,下面我們按照方法分類論證．

1 圖象面積法(微元法)

圖1

用圖象面積來求某些物理量的大小(如圖1),是有關(guān)極限思想的重要考點,一般要滿足橫縱坐標物理量的乘積能表示一個新的物理量,如s=vt，W=Fs,U=Ed等．

物體做初速度為v0,加速度為a的勻加速直線運動,求物體經(jīng)過t時間的位移.

圖2

圖3

同理不難論證:彈簧彈力做功和彈性勢能公式(以彈簧恢復(fù)原長的過程為例).

彈簧伸長量變小的過程,W彈>0,由動能定理得W彈=Fx=ΔEk,由微元法求解面積得

特別提醒: 1)以上分析告訴我們,無論物體做怎樣的直線運動,畫出它v-t的圖象,位移就是與x軸圍成的面積,但是要注意速度是矢量,所以這里的面積是有正負之分的．同理,由W=Fs、v=at可知，W和v也可以通過F-s、a-t圖象的面積進行求解,不過同樣要注意物理量的標矢性．

2)有時所要求解面積的圖形并不規(guī)則,可以考慮先求出函數(shù)解析式,再用定積分法進行求解．

圖4

圖5

2 圓和球的無限分割

在求解與曲線、曲面、球體相關(guān)的物理問題時,往往要用到“化曲為直”的極限思想．

1) 向心加速度公式是在幾百年前由惠更斯提出的,下面我們來感受一下向心加速度公式的論證過程．

圖6

2) 力學(xué)和電磁學(xué)“化曲為直”的典型案例.

圖7

對圓的分割自古有之,而大多數(shù)都是分解圓弧,把圓看作一個正n邊形,其中n趨于正無窮,對于此時的圓，弦長與弧長相等．無獨有偶,除了惠更斯外,我國偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之也運用這種方法算出了圓周率．

力學(xué)中“化曲為直”的典型應(yīng)用就是滑動摩擦力做功的求解,經(jīng)過“化曲為直”的極限思想結(jié)合微元法,容易得出:水平粗糙地面上運動的物體,滑動摩擦力做功Wf=Ffs，其中s是對地路程.

而電磁學(xué)部分“化曲為直”思想的典型應(yīng)用是彎曲金屬導(dǎo)線(化曲為直)切割磁感線發(fā)電.

求證:半圓形導(dǎo)線在垂直紙面的磁場中以速度v水平切割時,感應(yīng)電動勢大小E=2Brv．

圖8

證明:將圓弧無限分割,每一小段近乎為線段．如圖8,取出一小段進行分析有E=BΔlvcosθ,而Δlcosθ為該“線段”在AB上投影的有效長度,如此將每一段有效投影匯總,就得出E=2Brv．

3) 球類問題無限分割法.

求證:在勻質(zhì)球?qū)拥目涨粌?nèi)任意位置處,質(zhì)點受到球殼層引力的合力為零,即∑F=0．

圖9

證明:如圖9所示,一個勻質(zhì)球?qū)涌梢缘刃闊o限多厚度可以不計的勻質(zhì)球殼．任取一個球殼,設(shè)球殼內(nèi)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點,在P(任意位置)處,以質(zhì)點所在位置為頂點,做兩個底面積足夠小的對頂圓錐．這時,兩圓錐底面可以視為平面．

設(shè)空腔內(nèi)質(zhì)點到兩圓錐底面中心的距離分別為r1、r2,兩圓錐底面的半徑為R1、R2,底面單位面積質(zhì)量為ρ．根據(jù)萬有引力定律,兩圓錐底面對質(zhì)點的引力可以表示為

根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例,有R1∶r1=R2∶r2,則兩個萬有引力之比為

因為兩引力方向相反,所以引力的合力為零．

以此類推,球殼上其他任意兩對應(yīng)部分對質(zhì)點的合引力為零,將整個球殼對質(zhì)點的合引力積分后為零,故由球殼組成的球?qū)訉η驓?nèi)任意質(zhì)點的合引力也為零,即∑F=0．

上述證明拓展了規(guī)律適用的范圍,它遵從了由特殊到一般的普適性拓展思路．

最后，我們呈現(xiàn)一組用微元法解題的典型例子.

3 典例分析

分析動能定理是力對空間的積累效應(yīng),是功與能之間關(guān)系構(gòu)建的橋梁,它能靈活地解決變力做功的問題．

圖10

如圖10所示，當(dāng)一個物體受到的合力為恒力,以最簡單的情況為例,分析物體運動過程.

當(dāng)一個物體受到合力為變力時,將“位移”無限分割,在趨近于無限小的位移Δs中,物體所受合力可認為不變,則此時

以此類推

疊加求和得

拓展后的結(jié)論:變力做功動能定理仍然適用．

圖11

分析動量定理是力對時間的積累效應(yīng),是沖量和動量變化關(guān)系的紐帶,它可以解決變力對時間的積累問題．

圖12

當(dāng)一個物體受到的合力為恒力(如圖12),仍然以最簡單的情況為例,對物體運動過程進行分析.由牛頓第二定律得F=ma,由運動學(xué)公式得vt=v0+at,聯(lián)立得Ft=mvt-mv0,即在恒力問題中動量定理成立.

當(dāng)一個物體受到合力為變力時,將“時間”無限分割,在趨近于無限小的時間Δt中,物體所受合力近乎不變,則此時F1Δt=mv1-mv0,F2Δt=mv2-mv1,以此類推FnΔt=mvn-mvn-1.

疊加求和得

I合=F1Δt+F2Δt+…+FnΔt=mvn-mv0.

拓展后的結(jié)論:動量定理對于變力作用問題仍然適用．

圖13

特別提醒: 微元法最大的難點在于先找到要無限分割的對象,是位移、時間,還是其他的物理量,這取決于最終我們要求解的物理量是什么,這是我們要格外注意的地方．

圖14

將線框下落時間t無限分割,每小段近乎勻速,由動量守恒定律得

…

匯總求和得

其中每一段近乎勻速的位移累加有

v1Δt+v2Δt+…+vnΔt=s,

解得

總之,運用極限思想和微元法解題時,其步驟可概括為:對于被考查的未知狀態(tài)量,先設(shè)法構(gòu)思一個與它有關(guān)的變量,確認無限個此變量的和就是所求的未知量，最后用極限計算得到結(jié)果．對于被考查的未知過程量,則用微元法求和來解決．熟悉極限思想,善于運用微元法,對于理解和掌握物理概念、定律、定理，解答物理問題很有幫助．