一個和型不等式的定積分證明與思考

◇ 廣東 孫傳平

1 題目

(1)若函數(shù)f(x)在x=0處有極值,求函數(shù)f(x)的最大值;

(2)是否存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的不等式g(x)<0在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出b的取值范圍;若不存在,說明理由;

本題前兩問比較容易,第(3)問有一定的難度.本文先給出第(3)問的定積分證法(此問證法不唯一,筆者認(rèn)為定積分證法較為簡捷)，再進(jìn)行反思與拓展.

2 解法探究

證明(3)先證右邊，當(dāng)n=1時,右邊不等式中等號成立;

①

即

②

圖1

由①②,得

圖2

由區(qū)間[1,n+1]上的n個矩形的面積之和大于曲邊梯形的面積,得

即

③

綜上所述,原不等式成立.

3 解后反思

2)右邊不等式的證明過程中有一個步驟

所以

④

4 拓展

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題中出現(xiàn)和型不等式的證明,并以此壓軸的現(xiàn)象在高考數(shù)學(xué)試題和各地模擬試題中正悄然升溫.

(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍;

由S1>S2,問題易得證.

運(yùn)用定積分證明和型不等式是高中數(shù)學(xué)課程中定積分應(yīng)用的一大模塊,它思維起點低、思路清晰、操作簡便直觀,更難得的是它解決問題的普遍性.有關(guān)此類和型不等式的證明,一般都可以采用這一方法,因而成為我們破題的好幫手.此法甚好,不過要想做到駕輕就熟,還須注意:① 合理構(gòu)建“理想函數(shù)”h(x)(必要時先放縮后構(gòu)造);② 選準(zhǔn)用于分割區(qū)間的圖形的形狀(矩形或梯形);③ 若有放縮法參與,還要注意控制放縮的“步伐”.