高斯波對阻抗邊界下離軸球形粒子的聲輻射力

臧雨宸， 冀瑾皓

（1.中國科學(xué)院 聲學(xué)研究所，北京 100049；2.中國科學(xué)院大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，北京 100049）

與電磁場一樣，聲場攜帶有一定的動量。 當(dāng)聲波與物體發(fā)生相互作用時會產(chǎn)生反射、吸收等現(xiàn)象，往往會伴隨著動量的轉(zhuǎn)移。因此，物體受到了聲場的力的作用，稱為聲輻射力。聲輻射力的概念自提出以來，便迅速引起了聲學(xué)界的重視，并在醫(yī)學(xué)超聲、材料科學(xué)和航天工業(yè)等領(lǐng)域得到了越來越廣泛的應(yīng)用。 1969 年，彈性粒子的聲輻射力計(jì)算被Hasegawa 等人順利完成[1]。 1990 年，J Wu 等人計(jì)算得到了聚焦波束下粒子的聲輻射力[2]。 進(jìn)入21 世紀(jì)以來，關(guān)于粒子所受聲輻射力的研究方法又有了重大突破。 2005 年，F(xiàn) G Mitri 等人嘗試計(jì)算得到了平面駐波聲場和類駐波聲場下柱形粒子的聲輻射力特性[3]。 2006 年，J Lee 等人利用聲線理論，研究了流體介質(zhì)中任意位置的聲輻射力特性，并驗(yàn)證了所謂“聲捕獲力”的可能[4]。 2009 年，F(xiàn) G Mitri 等人計(jì)算了貝塞爾聲束對剛性球的聲輻射力[5]。 2011 年，Silva 等人將其擴(kuò)展到任意波束，大大拓寬了粒子所受聲輻射力的應(yīng)用范圍[6]。2013 年，陳東梅等計(jì)算了高斯波束對水中球形粒子的聲輻射力[7]，宋智廣等計(jì)算了高斯波束對水中柱形粒子的聲輻射力[8]。 2017 年，喬玉配等在自由空間的基礎(chǔ)上增加了阻抗邊界，得到了此時柱形粒子的聲輻射力，并嘗試討論了粒子與邊界距離大小等因素對聲輻射力的影響[9-10]。 然而，縱觀已有的研究結(jié)果，大多數(shù)結(jié)論基于粒子位于聲軸的情形，這大大限制了有關(guān)理論的實(shí)際應(yīng)用。 筆者基于聲波的散射理論，通過有限級數(shù)法將高斯波束展開為球函數(shù)的形式，推導(dǎo)得到了阻抗邊界下高斯波束對于離軸球形粒子的聲輻射力公式，繪制剛性球和液體球的聲輻射力函數(shù)曲線，并討論了頻率、粒子與邊界距離、束腰半徑和離軸角度與距離等各因素對聲輻射力函數(shù)的影響。

1 理論

考慮半徑為a 的球形粒子位于理想流體中的阻抗邊界附近，粒子中心到邊界的距離為d。 根據(jù)鏡像原理可知，邊界的存在可以等效為在其另一側(cè)存在鏡像波和鏡像粒子，鏡像粒子與邊界的距離也為d。 一束高斯波沿z 軸正方向傳播。以小球球心為原點(diǎn)O，高斯波束束腰中心的坐標(biāo)為（0，y0，z0）。同時，以鏡像小球的球心為另一坐標(biāo)原點(diǎn)建立鏡像坐標(biāo)系圖1 為此時的物理模型。

圖1 阻抗邊界下離軸球形粒子的聲散射示意圖

1.1 波束因子的計(jì)算

嚴(yán)格來講，高斯波束的波陣面并不是一個平面，但是在束腰附近，可以近似作為平面來處理。入射高斯波束的速度勢函數(shù)表示為

式中：φ0為速度勢的幅值，k 為波數(shù)，w0為高斯波束的束腰半徑，此處略去時間因子。 設(shè)

在yoz 平面內(nèi)，φ=0，上式可以簡化為

將高斯波束在球形粒子的中心處按照球函數(shù)進(jìn)行級數(shù)展開

式中： jn(·)為n 階第一類球貝塞爾函數(shù)，Pn(·)為n 階勒讓德函數(shù)，r 為球坐標(biāo)系下的徑向坐標(biāo)，gn為入射高斯波束的波束因子。 參照在軸高斯波束中波束因子的計(jì)算方法[11]，可以得到，當(dāng)n 為偶數(shù)時，波束因子為

當(dāng)n 為奇數(shù)時，波束因子為

式中：s=1/kw0。

1.2 散射系數(shù)的計(jì)算

得到了波束因子，可以用它來表示空間中存在的所有聲場。 阻抗邊界的反射波在坐標(biāo)系（r，θ，φ）中可以表示為

式中：Rs為邊界的聲壓反射系數(shù)。

球形粒子的散射波在坐標(biāo)系（r，θ，φ）中可以表示為

如果粒子材料的聲阻抗足夠大，表面可以看成剛性邊界，則粒子內(nèi)部不存在聲波，表面徑向速度為零，即

為了利用邊界條件求得散射系數(shù)，首先利用球函數(shù)的加性定理將鏡像粒子的散射波改寫為

式中：Qmn的表達(dá)式可以在參考文獻(xiàn)[12]中找到。

綜合上述各式，可以得到聲場中的總速度勢為

引入如下定義

則式（12）可以整理為

再根據(jù)速度勢與質(zhì)點(diǎn)速度的關(guān)系，得到徑向速度表達(dá)式為

由式（15）和邊界條件（10）可以得到散射系數(shù)an。

如果粒子材料的聲阻抗不滿足表面剛性的邊界條件，則必須考慮粒子內(nèi)部折射波的存在，其速度勢可以寫成

式中：Bn為折射波速度勢的幅值，依賴于粒子表面的邊界條件。 此時式（8）顯然不再成立，應(yīng)以表面處聲壓和徑向速度連續(xù)取代之，即

式中：pl和νl分別表示折射波的聲壓和速度勢。 式（17）中各量皆可以很容易地通過速度勢函數(shù)求得，這里不再贅述。 根據(jù)此組邊界條件，可以計(jì)算出an和Bn。

1.3 聲輻射力的計(jì)算

理想流體中粒子所受的聲輻射力可以表示為[1-10]

式中：vn和vt分別為法向和切向速度分量，ρ0為流體介質(zhì)的密度，c0為流體介質(zhì)中的聲速。

根據(jù)式（18），可以得到在聲波傳播方向的聲輻射力為

式中：ψ=Re（φtotal）。

將式（12）代入，計(jì)算可得軸向聲輻射力可以表示為

式中：E 為聲波的空間能量密度，S 為球形粒子的橫截面積，Yp為聲輻射力函數(shù)，表示單位能量密度和單位橫截面積所受到的聲輻射力大小，其表達(dá)式為

2 數(shù)值模擬

根據(jù)式（23）可以進(jìn)行入射高斯波束對阻抗邊界下離軸球形粒子的聲輻射力的數(shù)值仿真。 假設(shè)粒子周圍的流體介質(zhì)是水，且將水看成理想流體。在液體球形粒子的情況下，假定粒子內(nèi)部充滿油酸。水和油酸的相關(guān)聲學(xué)參數(shù)見表1。

表1 水和油酸的相關(guān)聲學(xué)參數(shù)

2.1 不同邊界反射系數(shù)下的聲輻射力函數(shù)曲線

假定束腰寬度w0=3λ，粒子中心與束腰中心的距離d0=λ，d0與z 軸的夾角θ=π/6。在粒子與阻抗邊界距離d0=2a 的情況下，對不同反射系數(shù)下粒子在聲場中受到的聲輻射力函數(shù)進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖2 所示。 圖2（a）和2（b）分別顯示了剛性球和油酸球的聲輻射力函數(shù)隨ka 的變化曲線。 可以看出，不論是剛性球還是油酸球，聲輻射力在ka 比較小時變化較劇烈。 值得一提的是，在某些頻率處可以出現(xiàn)負(fù)向的聲輻射力，此時粒子會被聲波向聲源的方向吸引。在ka 比較大時，聲輻射力在一個穩(wěn)定值附近出現(xiàn)小幅振蕩，這是由于粒子的散射波和邊界的反射波之間復(fù)雜的干涉現(xiàn)象所引起的必然結(jié)果。 隨著反射系數(shù)的增大，聲輻射力的峰值減小，但振蕩峰值的位置并不因此而改變。對比圖2（a）和2（b）可以發(fā)現(xiàn)，油酸球的聲輻射力峰值遠(yuǎn)小于剛性球，且其峰值位置也有所不同。

圖2 不同反射系數(shù)下聲輻射力函數(shù)Yp 隨ka 的變化

2.2 粒子與邊界的距離對聲輻射力的影響

假定束腰寬度、粒子中心離軸的距離和角度均保持不變，ka=0.5，對不同反射系數(shù)下剛性球和油酸球所受的聲輻射力隨kd 的變化進(jìn)行仿真，結(jié)果分別如圖3（a）（剛性球）和3（b）（油酸球）所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在ka 固定時，聲輻射力函數(shù)隨kd 的變化類似于正弦曲線，呈現(xiàn)出明顯的周期性，并且聲輻射力函數(shù)的峰值隨著反射系數(shù)的增大而增大，但反射系數(shù)的改變并不影響曲線的周期。對比圖3（a）和3（b），油酸球的聲輻射力函數(shù)周期與峰值都小于剛性球。 這些和2.1 中得到的結(jié)論是一致的。

2.3 束腰半徑對聲輻射力的影響

為研究高斯波束的束腰半徑對于聲輻射力的影響，固定邊界的聲壓反射系數(shù)Rs=0.5，粒子與邊界的距離d=2a，粒子中心離軸的距離和角度不變，對不同束腰半徑下的聲輻射力進(jìn)行仿真，剛性球和油酸球的結(jié)果分別如圖4（a）（剛性球）和4（b）（油酸球）所示。 仿真的結(jié)果表明，束腰半徑對于聲輻射力的影響主要體現(xiàn)在ka>2 時，即中高頻附近。 隨著束腰半徑的增加，中高頻處的聲輻射力函數(shù)在不斷增大，并且最終趨近于平面波入射的情況。

圖3 不同反射系數(shù)下聲輻射力函數(shù)Yp 隨kd 的變化

圖4 不同束腰半徑下聲輻射力函數(shù)Yp 隨ka 的變化

2.4 離軸距離與角度對聲輻射力的影響

在粒子中心偏離傳播軸時，離軸的距離與角度對于聲輻射力顯然是有影響的。 固定ka=0.5，邊界的聲壓反射系數(shù)Rs=0.5，粒子與邊界的距離d=2a，束腰寬度w0=3λ。 為了討論方便，采用無量綱量kd0作為橫坐標(biāo)。當(dāng)d0與z 軸的夾角變化時，分別繪出其聲輻射力函數(shù)隨kd0的變化曲線，剛性球和油酸球的結(jié)果分別如圖5（a）和5（b）所示。 從中可以看出，無論d0與z 軸成何種角度，聲輻射力函數(shù)的幅值都隨kd0的增大而減小。 另一方面，當(dāng)kd0固定時，聲輻射力函數(shù)隨θ 的增加而減小，并且當(dāng)θ 較大時，聲輻射力函數(shù)將以更快的速度衰減到零。 這些結(jié)論都是與直觀相符的。

圖5 不同角度下聲輻射力函數(shù)Yp 隨kd0 的變化

3 結(jié)語

計(jì)算了阻抗邊界下高斯波束對球形粒子的聲輻射力。 該文從聲波的散射理論出發(fā)，根據(jù)鏡像原理以及高斯波束的級數(shù)展開理論，結(jié)合球函數(shù)的加性定理，推導(dǎo)出了阻抗邊界下高斯波束對于球形粒子的聲輻射力解析表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，對不同參數(shù)下剛性球和油酸球的聲輻射力進(jìn)行了數(shù)值仿真。仿真的結(jié)果表明，聲輻射力函數(shù)在中低頻處變化較快，在適當(dāng)?shù)念l率處存在負(fù)向聲輻射力的現(xiàn)象。 邊界聲壓反射系數(shù)的改變會影響聲輻射力函數(shù)的峰值，但不影響取峰值時的ka 大小。當(dāng)其他因素保持不變時，聲輻射力函數(shù)隨粒子與邊界的距離呈現(xiàn)周期性，且反射系數(shù)的變化并不改變曲線的周期。 束腰半徑是描述高斯波束的重要特征，其對聲輻射力函數(shù)的影響主要體現(xiàn)在中高頻，當(dāng)束腰半徑不斷增大，曲線越來越趨近于平面波的情形。 最后，粒子中心偏離傳播軸的距離和角度對聲輻射力函數(shù)曲線有著顯著影響，距離越大，角度越大，聲輻射力微弱。 此外，在相同的條件下，剛性球的聲輻射力遠(yuǎn)大于油酸球。 文中的結(jié)果預(yù)期可以為實(shí)際的聲操控和聲學(xué)鑷子的制備提供理論指導(dǎo)。