弱s-可補子群與有限群的UΦ-超中心

宋 菊， 董淑琴， 鮑宏偉， 繆 龍*

（1.揚州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚州 225002；2.蚌埠學(xué)院 數(shù)學(xué)與物理系，安徽 蚌埠 233030）

文中考慮的群都是有限群，所用術(shù)語符號均是標(biāo)準(zhǔn)的。 U 表示超可解群系；Op（G）、Op（G）和 Op′（G）分別表示群G 的p-模子群、最大正規(guī)p-子群和最大正規(guī)p′-子群。

設(shè)G 是一個群，G 的所有冪零正規(guī)子群之積叫做G 的Fitting 子群，記作F（G）；群G 的所有極小正規(guī)子群的積稱為群G 的基柱，記作Soc（G）；群G 的所有擬冪零正規(guī)子群之積叫做G 的廣義Fitting 子群，記作F*（G）；G 的所有極大子群的交叫做 G 的 Frattini 子群，記作 Φ（G）。

若群 G 的主因子 H/K≤Φ（G/K），其中 Φ（G/K）表示商群 G/K 的 Frattini 子群，則稱 H/K 是 G 的 Frattini主因子。又若[H/K]（G/CG（H/K））∈F，其中 F為飽和群系，則稱主因子 H/K 在 G 中是 F-中心的。若 H≤ZF（G），則稱子群H 在G 中是F-超中心的。G 的所有非Frattini 主因子是F-中心的正規(guī)子群的乘積，稱為G 的FΦ-超中心，記作 ZFΦ（G）。 特殊地，F(xiàn) 為超可解群系時，稱為 G 的 UΦ-超中心，記作 ZUΦ（G）。

設(shè) G 是一個群，H、K 是 G 的子群，則 HG表示 G 中含于 H 的最大正規(guī)子群；對于 g∈G，規(guī)定 Hg=g-1Hg，也叫作H 在g 之下的共軛變形。 若Hg=H，則稱元素g 正規(guī)化H，而稱G 中所有正規(guī)化H 的元素的集合NG（H）={g∈G|Hg=H}為 H 在 G 中的正規(guī)化子。又若元素 g 滿足對所有 h∈H 恒有 hg=h，則稱元素 g 中心化 H，而稱 G 中所有中心化 H 的元素的集合 CG（H）={g∈G|hg=h，?h∈H}為 H 在 G 中的中心化子。 規(guī)定 Z（G）=CG（G），并稱之為群 G 的中心。 設(shè) G 是群，M?G，則稱 G 的所有包含 M 的子群的交為由 M 生成的子群，記作〈M〉。 設(shè) N 和 A 為群 G 的子群，且 N 為 G 的正規(guī)子群，若 N∩A=1，G=NA，則稱 G 為子群 N 與 A 的半直積，記為G=[N]A，這些概念和符號參見文獻(xiàn)[1-2]。

2009 年，L.A.Shemetkov 和A.N.Skiba[3]提出了G 的FΦ-超中心概念，他們利用弱s-置換準(zhǔn)素子群研究了FΦ-超中心的結(jié)構(gòu)。 2014 年，湯菊萍和繆龍[4]利用子群的M-可補性質(zhì)探究了有限群的FΦ-超中心的構(gòu)造。 隨后高百俊和湯菊萍[5]以及鮑宏偉和張佳[6]分別利用子群的F-可補性質(zhì)、Mp-嵌入性質(zhì)進(jìn)一步描述了有限群的FΦ-超中心的結(jié)構(gòu)。 眾所周知，對于飽和群系F，如果群 G 有正規(guī)子群 E，使得 G/E∈F 且E≤ZFΦ（G），則 G∈F。 這也是 FΦ-超中心對群的結(jié)構(gòu)影響。另一方面，在 2007 年，A.N.Skiba[7]引入弱 s-可補子群的概念，它是c-可補子群的推廣。之后，許多學(xué)者對這一概念進(jìn)行了研究[8-10]。 作為上述工作的繼續(xù)，筆者利用弱s-可補準(zhǔn)素子群對超可解群系的超中心結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，并推廣了文獻(xiàn)[11]的定理結(jié)果。

1 預(yù)備知識

定義1[7]設(shè)G 是群，H≤G。

（1）對于 G 的任意子群 X，如果 HX＝XH≤G，則稱H 是 G 的擬正規(guī)子群。 此外，若對于 G 的任意 Sylow子群 S，有 HS＝SH≤G，則稱 H 是 G 的 s-擬正規(guī)子群；

（2）HsG表示群 G 中含于 H 的最大 s-擬正規(guī)子群；

（3）如果存在 G 的子群 K，使得 G＝HK 且 H∩K≤HsG，則稱子群 H 為 G 群的弱 s-可補子群。這里 K 稱為群G 的弱s-補充。

為了方便起見，下面列出一些后續(xù)使用的引理。

引理1[7]設(shè)H 是群G 的子群。

（1）如果 H 在 G 中是弱 s-可補的，且 H≤M≤G，則 H 在 M 中是弱 s-可補的；

（3）設(shè) π 是素數(shù)集，N 是 G 的 π′-正規(guī)子群，H 是 G 的 π-子群。 如果 H 在 G 中是弱 s-可補的，則 HN/N在G/N 中是弱s-可補的；

（4）如果 K 是子群H 在 G 中的弱s-補充，則 K1:=HGK 是子群H 在 G 中的弱s-補充，且有 HG≤H∩K1=HG（H∩K）≤HsG。

引理2[12]對于群G

（1）如果 X1和 X2是 G 的 s-擬正規(guī)子群，則〈X1，X2〉在 G 中也是 s-擬正規(guī)的；

（2）如果 X 是 G 的 s-擬正規(guī)子群，則對于 g∈G，Xg也是 s-擬正規(guī)的；

（3）如果 H≤G，則 HsG是包含在 H 中的 G 的唯一極大 s-擬正規(guī)子群。 特別地，NG（H）≤NG（HsG）；

（4）如果 X 是 G 的 s-擬正規(guī) p-子群，p 是素數(shù)，則 X≤Op（G）且 Op（G）≤NG（X）。

引理 3[1]設(shè) N 是群 G 的非平凡可解正規(guī)子群。如果 N∩Φ（G）=1，則 N 的 Fitting 子群 F（N）是 G 的包含在N 中的極小正規(guī)子群的直積。

引理 4[13]設(shè) G 是群，且 P∈Sylp（G），其中 p 是|G|的最小素因子。 如果 P 的任意極大子群在 G 中有 p-冪零補充，或者有弱s-補充，則G 是p-冪零的。

引理5[14]設(shè)N 是群G 的子群，G 的廣義Fitting 子群F*（G）是G 的唯一極大正規(guī)擬冪零子群。

（1）如果 N 正規(guī)于 G，則 F（N）＝N∩F（G）且 F*（N）＝N∩F*（G）；

（2）如果 G≠1，則 F*（G）≠1；事實上，F(xiàn)*（G）/F（G）=Soc（F（G）CG（F（G）））/F（G）；

（3）F*（F*（G））＝F*（G）≥F（G）；如果 F*（G）是可解的，則 F*（G）=F（G）；

（4）CG（F*（G））≤F（G）；

（6）如果 K 是 G 的包含于 Z（G）的子群，則 F*（G/K）=F*（G）/K。

引理 6[11]設(shè) P=R1×…×Rt是 G 的正規(guī) p-子群，R1，…，Rt是 G 的極小正規(guī)子群。 若 P 的每個極大子群在G 中是弱 s-可補充的，則任意 Rj（j=1,2，…，t）均為素數(shù)階。

引理7[11]設(shè)G 是群，如果F*（G）的任意Sylow 子群的極大子群在G 中是弱s-可補充的，那么G 是超可解的。

引理8[15]設(shè)F 是群系，群G 有可解正規(guī)子群E。 若 F（E）在G 中是FΦ-超中心的，則E 在G 中是 FΦ-超中心的。

2 主要結(jié)果

定理 1設(shè) E 是群 G 的正規(guī)子群，p 是|E|的極小素因子，P 是 E 的 Sylow p-子群。 若 P 的每一個在 G 中沒有 p-冪零補充的極大子群在 G 中是弱 s-可補充的，則 E/Op′（E）≤ZUΦ（G/Op′（E）），即 E/Op′（E）在 G/Op′（E）中是UΦ-超中心的。

證明假設(shè)定理不真，（G，E）為｜G｜｜E｜極小的反例。

（1）Op′（E）＝1。

若 Op′（E）≠1，由引理 1 的（3），假設(shè)適用于（G/Op′（E），E/Op′（E）），同樣也適用于（G，E），矛盾。

（2）E＝P。

由引理 4，E 是 p-冪零的，由（1）可知，Op′（E）＝1，因此，E＝P。

（3）存在G 的一個階為p 的極小正規(guī)子群。

如果 P∩Φ（G）≠1，則可選擇 G 的一個極小正規(guī)子群 L，L≤P∩Φ（G）。 由引理 1 的（2），（G/L，E/L）滿足定理條件。 又由 L 的性質(zhì)和 Op′（E）＝1，知 Op′（E/L）＝1。 所以，E/L≤ZUΦ（G/L），由 L≤Φ（G），可得 E≤ZUΦ（G），矛盾。 故可以假設(shè) P∩Φ（G）＝1。 由引理 3，P=R1×…×Rt，R1，…，Rt是 G 的包含在 P 中的極小正規(guī)子群。 從而存在 G 的極大子群 M 使得 G＝RiM 且對任意 Ri∈{R1，…，Rt}，Ri∩M=1。

設(shè) Mp是 M 的 Sylow p-子群；Gp:=PMp∈Sylp（G）且 P∩Mp=P∩M=R。 此外，令 P1是 Gp的包含 Mp的極大子群，P2:=P1∩P。 顯然，P2是 P 的極大子群，P2∩M=P1∩P∩Mp=P∩Mp=R，因此，P2=R×（P2∩Ri），（P2）G＝R。 再由 Gp正規(guī)化 P1和 P，可得由引理 2 的（3）和（4），知（P2）sG被 Op（G）Gp=G 正規(guī)化。 因此，可得（P2）sG=（P2）G＝R。

假設(shè)P2在G 中有 p-冪零補充子群 N，則 G=P2N=P2K=PK，其中 K=RN。假設(shè) K=G時，R≠1，若否，由于 G=RiM，Ri∩M=1。 則|Ri|=|G:M|為 p-群，又因為 G=K=N，則 G 為 p-冪零群，因此|G:M|=p，從而|Ri|=p。 G/R=K/R?N/（N∩R），再由 M/R 是 G/R 的極大子群，可得|Ri|=|G:M|=|G/R:M/R|=p。

設(shè) K＜G，K1是 G 中包含 K 的極大子群，則由和G 在P/R?Ri上的不可約作用，可得P∩K1=R，這意味著|P2|=|P|，矛盾。 因此，P2在G 中沒有p-冪零補充，由定理的假設(shè)，P2在G 中是弱s-可補的，據(jù)引理6 知|Ri|=p。

（4）最終的矛盾。

由（2）和（3）可知，E 為 p′-群且 G 中存在的極小正規(guī)子群 L，使得|L|=p。由于假設(shè)對（G/L，E/L）仍然成立，所以 E/L≤ZUΦ（G/L）且|L|=p，從而 E≤ZUΦ（G）。

最終的矛盾完成文中的證明。

推論 1設(shè) E 是群 G 的正規(guī)子群，p 是｜E｜的極小素因子，P 是 E 的 Sylow p-子群。 若 P 的每一個極大子群在 G 中是弱 s-可補的，則 E/Op′（E）≤ZUΦ（G/Op′（E）），即，E/Op′（E）在 G/Op′（E）中是 UΦ-超中心的。

推論 2設(shè) E 是 G 群的正規(guī)子群，p 是｜E｜的極小素因子，P 是 E 的 Sylow p-子群。 若 P 的每一個極大子群在 G 中是 c-可補的，則 E/Op′（E）≤ZUΦ（G/Op′（E）），即，E/Op′（E）在 G/Op′（E）中是 UΦ-超中心的。

定理2設(shè)X≤E 是群G 的正規(guī)子群， 若X 的每一個非循環(huán)Sylow 子群P 的任意極大子群在G 中是弱s-可補的。 如果 X 等于 E 或者等于 F*（E），則 E≤ZUΦ（G），即 E 在 G 中是 UΦ-超中心的。

證明情形1X＝E。

如果 V 是 E 的非平凡正規(guī) Hall 子群，則 V 在 G 中是正規(guī)的。 這個假設(shè)也適用于（G，V）和（G/V，E/V），有V≤ZUΦ（G），E/V≤ZUΦ（G），因此，E≤ZUΦ（G）。接下來考慮的 E 只有平凡正規(guī) Hall 子群，由定理 1，對于｜E｜的極小素因子 p，有 E/Op′（E）≤ZUΦ（G/Op′（E））。 由于所有的 p－冪零（超可解）群類是飽和群系，即 E/Op′（E）是 p－冪零的，進(jìn)而 E 是 p－冪零的，所以 E 是 p－群，由定理 1 知，E≤ZUΦ（G），矛盾。

情形 2X＝F*（E）。

顯然 F*（E）≠E，對 F*（E）利用情形 1 做歸納，易知 F*（E）≤ZUΦ（G），即 F*（E）可解，由引理 5，有 F*（E）＝F（E）≤ZUΦ（G）。 此時，若 E＝G，據(jù)引理 7，知 E 為超可解群，從而 E≤ZUΦ（G）。 若 E＜G，再次利用引理 7，得到 E為超可解，則 E 為可解，又據(jù)歸納知 F（E）≤ZUΦ（G），據(jù)引理 8 得，E≤ZUΦ（G）。

推論3設(shè)X≤E 是群G 的正規(guī)子群，若X 的每一個非循環(huán)Sylow 子群P 的任意極大子群在G 中是c-可補的。 如果 X 等于 E 或者等于 F*（E），則 E≤ZUΦ（G），即 E 在 G 中是 UΦ-超中心的。

論文主要推廣了文獻(xiàn)[11]的定理2.2，得到了E 層面下的超中心構(gòu)造，下一步計劃將相應(yīng)的結(jié)果推廣到其他一般群系中。