時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理

張 毅

（蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州215011）

時(shí)間尺度是實(shí)數(shù)集的任意非空閉子集。 時(shí)間尺度上微積分將微分方程和差分方程的研究統(tǒng)一并推廣到時(shí)間尺度動(dòng)力學(xué)方程的框架下進(jìn)行，不僅避免了對(duì)微分方程和差分方程的重復(fù)研究，而且可以更深刻地揭示連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)以及其他復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的本質(zhì)差異。 自1988 年德國學(xué)者Hilger 在其博士論文基礎(chǔ)上建立時(shí)間尺度分析理論以來，已經(jīng)在科學(xué)和工程的諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3]。 2004 年，Bohner[4]、Hilscher和Zeidan[5]研究了時(shí)間尺度上變分問題。2008 年，Bartosiewicz 和Torres[6]首先建立了時(shí)間尺度上Noether 定理并利用時(shí)間重新參數(shù)化方法給出了定理的證明。 此后，Bartosiewicz 和Torres 等[7]導(dǎo)出了時(shí)間尺度上變分問題的第二Euler-Lagrange 方程，并基于該方程給出了Noether 定理的另一證明。時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)及其Noether定理是對(duì)經(jīng)典連續(xù)版本和離散版本動(dòng)力學(xué)及其Noether 定理的統(tǒng)一和推廣，近年來引起人們的廣泛關(guān)注[8-17]。文章將進(jìn)一步研究時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性與守恒量， 建立系統(tǒng)的Noether 定理，并給出定理的一個(gè)直接證明。

1 時(shí)間尺度預(yù)備知識(shí)

時(shí)間尺度是實(shí)數(shù)集R 的任意非空閉子集，通常用T 表示。例如，實(shí)數(shù)集R、整數(shù)集Z、自然數(shù)集N，或[1，2]{3，4，5}等都是時(shí)間尺度，而有理數(shù)集Q、復(fù)數(shù)集C，或者開區(qū)間（0，1）等都不是時(shí)間尺度。

研究時(shí)間尺度時(shí)，向后跳躍算子 ρ：T→T 和向前跳躍算子 σ：T→T 起著核心作用，其定義為 ρ（t）=sup{s∈T:s＜t}和 σ（t）=inf{s∈T:s＞t}。 如果 ρ（t）=t，ρ（t）＜t，σ（t）=t，以及 σ（t）＞t，則點(diǎn) t∈T 分別稱為左稠密、左發(fā)散、右稠密和右發(fā)散的。 由 μ（t）=σ（t）-t 定義的函數(shù) μ:T→R+稱為向前步差函數(shù)。

設(shè)函數(shù) f:T→R，t∈Tk，其中 Tk=T（ρ（supT），supT]，則 f 在 t 的 Δ-導(dǎo)數(shù) fΔ（t）定義為：給定任意 ε＞0，存在δ＞0，使得 t 在的鄰域 U=（t-δ，t+δ）∩T 上對(duì)所有 s∈U 成立|f（σ（t））-f（s）-fΔ（t）（σ（t）-s）|≤ε|σ（t）-s|。 如果對(duì)所有的 t∈Tk，fΔ（t）存在，則稱 f在 Tk上是 Δ-可微的。 fΔ（t）也可表示為（Δ/Δt）f（t）。

如果函數(shù)f:T→R 在時(shí)間尺度T 中的每個(gè)右稠密點(diǎn)連續(xù)，且在每個(gè)左稠密點(diǎn)具有左極限，則稱函數(shù)f 是rd 連續(xù)的。 用記號(hào)分別表示在T 上所有rd 連續(xù)的函數(shù)的集合以及在Tk上具有rd 連續(xù)的Δ-導(dǎo)數(shù)的Δ-可微函數(shù)的集合。

如果對(duì)所有的 t∈Tk，有 FΔ（t）=f（t），則函數(shù) F:T→R 稱為函數(shù) f:T→R 的一個(gè)原函數(shù)。 函數(shù) f 的不定積分定義為定積分定義為其中 a，b∈T，C 是任意常數(shù)。

對(duì)于 Δ-可微函數(shù) f（t）和 g（t），以下公式成立[1]

其中 fσ（t）=f（σ（t）），即 fσ=f ?σ。

時(shí)間尺度上 Dubois-Reymond 引理[1]：令則當(dāng)且僅當(dāng) g（t）≡C 時(shí)，其中 t∈[a，b]k，常數(shù)C∈Rn，對(duì)所有且

關(guān)于時(shí)間尺度上微積分更詳細(xì)的介紹可參閱Bohner 和Peterson 的著作[1]。

2 時(shí)間尺度上非保守系統(tǒng)的Hamilton原理和Lagrange方程

時(shí)間尺度上Hamilton 作用量為

其中 qsσ（t）=（qs?σ）（t），qsΔ（t）是廣義坐標(biāo) qs對(duì) t 的 Δ-導(dǎo)數(shù)；L:R×Rn×Rn→R 是 Lagrange 函數(shù)。 假設(shè)這些函數(shù)都是函數(shù)，s=1，2，…，n。

時(shí)間尺度上Hamilton 原理為

且滿足互易關(guān)系

以及端點(diǎn)條件

原理（6）可稱為時(shí)間尺度上非保守系統(tǒng)的Hamilton 原理。

由于

將式（9）代入式（6），得到

由式（10），利用分部積分計(jì)算，并考慮到端點(diǎn)條件（8）和互易關(guān)系（7），得到

由式（11），根據(jù)時(shí)間尺度上 Dubois-Reymond 引理，得到

將式（12）兩邊對(duì) t 求 Δ-導(dǎo)數(shù)，有

方程（13）稱為時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange 方程。

如果非保守力Qs≡0，則方程（13）成為時(shí)間尺度上Lagrange 方程

3 時(shí)間尺度上非保守系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性

引進(jìn)時(shí)間尺度上時(shí)間t 和廣義坐標(biāo)qs的群的無限小變換

或其展開式

其中ε 是無限小參數(shù)，ξ0和ξs是無限小變換的生成元，表示非等時(shí)變分。

時(shí)間尺度上的Noether 對(duì)稱性是指Hamilton 作用量（4）在群的無限小變換（15）下的不變性。 類似于文獻(xiàn)[11]，如果存在規(guī)范函數(shù)使得無限小變換的生成元 ξ0和 ξs滿足廣義 Noether 等式

其中

則相應(yīng)不變性為時(shí)間尺度上完整非保守系統(tǒng)（13）的Noether 對(duì)稱性。

4 時(shí)間尺度上完整非保守系統(tǒng)的Noether定理

由Noether 對(duì)稱性可找到Noether 守恒量，對(duì)于時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)，有如下定理。

定理1對(duì)于時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)（13），如果無限小變換（15）的生成元ξ0和ξs滿足廣義Noether 等式（17），則

是該系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性直接導(dǎo)致的Noether 守恒量。

證明將式（19）兩邊對(duì) t 求 Δ-導(dǎo)數(shù)，并利用方程（13）和廣義 Noether 等式（17），得到

因此，沿著時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange 方程（13）的解曲線，式（19）是一個(gè)守恒量。 證畢。

定理1 可稱為時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)（13）的Noether 定理。

如果非保守力Qs≡0，則定理1 給出時(shí)間尺度上Lagrange 系統(tǒng)的Noether 定理。 有如下定理。

定理 2對(duì)于時(shí)間尺度上 Lagrange 系統(tǒng)（14），如果無限小變換（15）的生成元 ξ0和 ξs滿足如下的Noether 等式

則系統(tǒng)存在Noether 守恒量，形如

定理2 可稱為時(shí)間尺度上Lagrange 系統(tǒng)（14）的Noether 定理。

如取時(shí)間尺度 T=R，則 σ（t）=t，μ（t）=0，此時(shí)方程（13）給出

這是經(jīng)典情形下一般完整系統(tǒng)的Lagrange 方程。 容易驗(yàn)證成立如下關(guān)系式

因此，定理1 退化為

定理3對(duì)于完整非保守力學(xué)系統(tǒng)（22），如果無限小變換的生成元ξ0和ξs滿足如下廣義Noether 等式

則系統(tǒng)存在Noether 守恒量，形如

定理 3 是經(jīng)典的一般完整系統(tǒng)（22）的 Noether 定理[18]。

5 算例

例1研究時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)，其Lagrange 函數(shù)為

非保守力為

設(shè)時(shí)間尺度為

試研究該時(shí)間尺度上完整非保守系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性與守恒量。

由時(shí)間尺度（28），設(shè) t=2m+1∈T，則向前跳躍算子為

因此，步差函數(shù)為

由式（26）和（27），根據(jù)方程（13），得到時(shí)間尺度上系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

廣義 Noether 等式（17）給出

方程（32）有解

生成元（33）和（34）都相應(yīng)于系統(tǒng)的 Noether 對(duì)稱性。 由定理 1，得

式（35）和（36）是與生成元（33）、（34）相應(yīng)的 Noether 守恒量。

對(duì)于時(shí)間尺度上完整非保守系統(tǒng)，第二Euler-Lagrange 方程[7]可表為

將式（26）、（27）和（30）代入方程（37），顯然方程（37）并不成立。 而如果取時(shí)間尺度 T=R，則容易驗(yàn)證方程（37）成立。

6 結(jié)語

時(shí)間尺度微積分為處理連續(xù)的、離散的或量子的以及混合的問題提供了一種統(tǒng)一的方法，為復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究提供了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具。 文章提出并研究了時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性與守恒量。 文章主要貢獻(xiàn)在于：一是建立了時(shí)間尺度上非保守力學(xué)系統(tǒng)的Hamilton 原理，導(dǎo)出了時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange 方程。 二是給出了時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性的判據(jù)和廣義Noether 等式。 三是建立了時(shí)間尺度上完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether 定理，并給出了定理的一個(gè)直接證明。 當(dāng)不存在非保守力時(shí)，定理退化為時(shí)間尺度上Lagrange 系統(tǒng)的Noether 定理；當(dāng)時(shí)間尺度取為實(shí)數(shù)集時(shí)，定理退化為經(jīng)典完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Noether 定理。