彈載單基測(cè)角被動(dòng)定位濾波算法研究

張記華，韋亞利，李 智，周小川

（上海機(jī)電工程研究所，上海 201109）

0 引 言

在現(xiàn)代高技術(shù)作戰(zhàn)中，無(wú)源探測(cè)定位具有隱蔽性好、作用距離遠(yuǎn)、防區(qū)外實(shí)施等優(yōu)點(diǎn)，為先敵發(fā)現(xiàn)、先敵攻擊創(chuàng)造了有利條件。

無(wú)源探測(cè)定位技術(shù)是利用目標(biāo)輻射源的輻射信息探測(cè)目標(biāo)，并確定目標(biāo)位置的一種技術(shù)。在導(dǎo)彈攻防對(duì)抗中，利用無(wú)源探測(cè)定位技術(shù)，能在敵方防區(qū)外探測(cè)并定位目標(biāo)，出其不意地對(duì)目標(biāo)發(fā)起攻擊，實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程、主動(dòng)、精確打擊目標(biāo)。在短兵相接的伏擊戰(zhàn)中，利用無(wú)源探測(cè)定位技術(shù)能快速定位目標(biāo)，即使敵方雷達(dá)關(guān)機(jī)，仍具備有效打擊目標(biāo)的能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的防守反擊。目前，美國(guó)最新的AGM－88E先進(jìn)反輻射導(dǎo)彈是在“哈姆”基礎(chǔ)上改進(jìn)而來(lái)的，只要敵方雷達(dá)短暫開(kāi)機(jī)，就能夠快速捕捉并定位目標(biāo)，具備很強(qiáng)的抗目標(biāo)雷達(dá)關(guān)機(jī)能力。

快速無(wú)源探測(cè)定位的技術(shù)需求是當(dāng)目標(biāo)對(duì)外輻射信息（雷達(dá)、導(dǎo)航、通信）時(shí)，在有限的時(shí)間內(nèi)快速完成目標(biāo)定位；其局限性是當(dāng)目標(biāo)不對(duì)外輻射信息時(shí)，無(wú)法實(shí)施無(wú)源探測(cè)定位。

根據(jù)定位站點(diǎn)分類，無(wú)源定位可分為單站定位和多站定位，站點(diǎn)可以是靜止的也可以是運(yùn)動(dòng)的；根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)情況分類，無(wú)源定位可分為對(duì)靜止目標(biāo)的定位和對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的定位。

本文研究運(yùn)動(dòng)單站對(duì)靜止目標(biāo)的無(wú)源定位方法，利用單個(gè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)（被動(dòng)導(dǎo)引頭）對(duì)輻射源角度的連續(xù)測(cè)量，通過(guò)彈載信息處理手段，實(shí)現(xiàn)對(duì)輻射源目標(biāo)的高精度定位，簡(jiǎn)稱彈載單基測(cè)角被動(dòng)定位技術(shù)。

1 系統(tǒng)建模

在發(fā)射點(diǎn)當(dāng)?shù)氐乩碜鴺?biāo)系內(nèi)，假設(shè)目標(biāo)靜止不動(dòng)，彈目相對(duì)位置關(guān)系如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈和目標(biāo)相對(duì)位置Fig．1 Relative position of missile and target

選取彈目相對(duì)位置為狀態(tài)變量，導(dǎo)引頭測(cè)角信息為觀測(cè)量，彈目相對(duì)位置增量為控制量，則系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為

已知被動(dòng)測(cè)角信息 （qε，qβ）和導(dǎo)彈位置信息 （xM，yM，zM），由約束方程h（X）求解出狀態(tài)變量X，即可獲得目標(biāo)位置信息 （xT，yT，zT），因此目標(biāo)定位的實(shí)質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為非線性方程最優(yōu)求解或者狀態(tài)最優(yōu)濾波估計(jì)問(wèn)題。

2 濾波算法

狀態(tài)濾波估計(jì)算法通常分為批處理法和序列濾波法。批處理法是指將按時(shí)間順序排列的測(cè)量數(shù)據(jù)集合在一起進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)。典型的批處理方法有最大似然估計(jì)法（maximum likelihood estimation，MLF）、非線性 最 小 二 乘 法 （nonlinear least square method，NLS）和 偽 線 性 估 計(jì) 法 （pseudo linear estimation，PLE）?？紤]數(shù)據(jù)處理實(shí)時(shí)性、計(jì)算量和存儲(chǔ)空間等因素，批處理法通常轉(zhuǎn)化為遞推方式，例如遞推最小二乘法（recursive least square method，RLS）。序列濾波方法是指將每次獲得的測(cè)量數(shù)據(jù)作為濾波器的輸入進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算處理。相對(duì)于批處理方法，序列濾波方法具有計(jì)算量小、存儲(chǔ)空間少等優(yōu)點(diǎn)，例如擴(kuò)展卡爾曼濾波法（extended Kalman filter method，EKF）、無(wú)跡卡 爾 曼 濾 波 法 （unscented Kalman filter method，UKF）、自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波法（adaptive extended Kalman filter method，AEKF）、有限差分?jǐn)U展卡爾曼濾波法（finite difference extended Kalman filter method，F(xiàn)DEKF）等。

卡爾曼濾波在導(dǎo)航和制導(dǎo)信息處理方面應(yīng)用廣泛［1］。文獻(xiàn)［2］基于單基測(cè)角制導(dǎo)體制，針對(duì)機(jī)載單站無(wú)源定位的精度和實(shí)時(shí)性問(wèn)題，提出了一種基于角度信息的遞推最小二乘（RLS）無(wú)源定位算法；文獻(xiàn)［3］針對(duì)單站無(wú)源定位，提出了一種基于CV模型的卡爾曼濾波算法（EKF）；文獻(xiàn)［4］采用無(wú)跡卡爾曼算法（UKF）對(duì)抗雷達(dá)關(guān)機(jī)技術(shù)進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［5］在導(dǎo)引頭測(cè)量信號(hào)包含有色噪聲條件下，提出了采用觀測(cè)方程重構(gòu)思想的被動(dòng)濾波算法；文獻(xiàn)［6］研究了有限差分卡爾曼濾波（FDEKF）方法在目標(biāo)雷達(dá)被動(dòng)定位中的應(yīng)用；文獻(xiàn)［7］針對(duì)純方位目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分析中擴(kuò)展卡爾曼濾波算法易發(fā)散的不足，提出了一種自適應(yīng)卡爾曼濾波算法，利用極大后驗(yàn)噪聲估計(jì)器Sage＿Husa對(duì)虛擬觀測(cè)噪聲進(jìn)行實(shí)時(shí)在線估計(jì)，動(dòng)態(tài)補(bǔ)償線性化帶來(lái)的誤差。

濾波處理的核心是非線性問(wèn)題的次優(yōu)近似，通常采用非線性環(huán)節(jié)線性化的方法或者采樣近似非線性分布的方法。實(shí)現(xiàn)非線性環(huán)節(jié)線性化，可以采用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，取有限項(xiàng)截?cái)?，也可以采用偽線性化方法，通過(guò)恒等變換，將非線性函數(shù)映射為線性函數(shù)。實(shí)現(xiàn)采樣近似非線性分布，通常采用近似非線性函數(shù)的概率密度法。

下面分別選取遞推最小二乘法（RLS）、擴(kuò)展卡爾曼濾波法（EKF）、無(wú)跡卡爾曼濾波法（UKF）、有限差分?jǐn)U展卡爾曼濾波法（FDEKF）、自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波法（AEKF）進(jìn)行算法分析。

2．1 遞推最小二乘法（RLS）算法

遞推最小二乘法的實(shí)質(zhì)是將系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)方程重寫為目標(biāo)位置估計(jì)的狀態(tài)方程，如式（3）所示。每獲得一次數(shù)據(jù)，就更新一次狀態(tài)方程參數(shù)估計(jì)值。隨著觀測(cè)數(shù)據(jù)的增多，就能獲得滿意的狀態(tài)估計(jì)值。相對(duì)于批數(shù)據(jù)處理最小二乘法，遞推最小二乘法大大減少了計(jì)算量和存儲(chǔ)量，能夠?qū)崿F(xiàn)在線實(shí)時(shí)估計(jì)。

根據(jù)三角函數(shù)變換關(guān)系，系統(tǒng)觀測(cè)方程可重寫為

當(dāng)觀測(cè)矩陣M可逆時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)，且具有唯一解，遞推最小二乘算法實(shí)現(xiàn)如下。

式中：I2和I3為單位矩陣；k為迭代遞推次數(shù)。

b）更新估計(jì)狀態(tài)信息

2．2 擴(kuò)展卡爾曼濾波法（EKF）算法

卡爾曼提出的濾波理論只適用于線性系統(tǒng)，BUCY等提出并研究了擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）［8］，將卡爾曼濾波理論進(jìn)一步應(yīng)用到非線性領(lǐng)域。EKF的基本思想是將非線性系統(tǒng)線性化，然后進(jìn)行卡爾曼濾波，因此EKF是一種次優(yōu)濾波。

將非線性函數(shù)Taylor展開(kāi)，保留一次項(xiàng)，令H（k＋1）＝｜＾（／），EKF遞推算法如式（6）所示。Xk＋1k

2．3 無(wú)跡卡爾曼濾波法（UKF）算法

EKF方法通過(guò)對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行Taylor展開(kāi)，取其一次項(xiàng)近似原函數(shù)。由于忽略了高階項(xiàng)，當(dāng)系統(tǒng)非線性強(qiáng)時(shí)，線性化會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生較大的誤差，甚至濾波發(fā)散。JULIER等提出了一種無(wú)跡卡爾曼濾波算法［9］，此方法摒棄了對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行線性化的傳統(tǒng)做法，采用卡爾曼線性濾波框架，對(duì)于一步預(yù)測(cè)方程，使用無(wú)跡變換（unscented transform，UT）來(lái)處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞問(wèn)題。

UT變換原理為在原狀態(tài)分布中按某一規(guī)則選取一些采樣點(diǎn)，使這些采樣點(diǎn)的均值和協(xié)方差等于原狀態(tài)分布的均值和協(xié)方差；將這些點(diǎn)代入非線性函數(shù)中，得到相應(yīng)非線性函數(shù)值的點(diǎn)集，通過(guò)這些點(diǎn)集求取變換后的均值和協(xié)方差。這樣得到的非線性變換后的均值和協(xié)方差精度最少具有2階精度（Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)），對(duì)于高斯分布，可達(dá)到3階精度。其采樣點(diǎn)的選擇是基于先驗(yàn)均值和先驗(yàn)協(xié)方差矩陣的相關(guān)列實(shí)現(xiàn)的。

式中：λ＝α1（N＋j）－N為比例縮放參數(shù)，j的選擇一般使之滿足N＋j＝3，α1用于控制采樣點(diǎn)分布的距離，0≤α1≤1，一般取較小的數(shù)值；對(duì)于正態(tài)分布，一般取α2＝2；（）i是 （N＋λ的平方根矩陣的第i行（列），可以利用Cholesky分解進(jìn)行計(jì)算；Wi是第i個(gè)采樣點(diǎn)Xi的權(quán)值，并有＝1。

確定了采樣點(diǎn)就可以求取狀態(tài)和觀測(cè)量的均值估計(jì)值和協(xié)方差估計(jì)值，該精度可以達(dá)到Taylor展開(kāi)的二次項(xiàng)，UKF的遞推算法與EKF類似，這里不再贅述。

2．4 有限差分?jǐn)U展卡爾曼濾波法（FDEKF）算法

有限差分?jǐn)U展卡爾曼濾波（FDEKF）是擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）的一種改進(jìn)算法，其實(shí)質(zhì)就是應(yīng)用有限差分代替非線性函數(shù)的偏導(dǎo)計(jì)算，其精度高于Taylor級(jí)數(shù)的一階展開(kāi)，對(duì)模型參數(shù)變動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性，并且適用于各種非線性函數(shù)。

對(duì)EKF中的矩陣P進(jìn)行Cholesky分解，如式（8）所示。

利用一階中心差分計(jì)算非線性觀測(cè)方程的偏導(dǎo)數(shù)，如式（9）所示。

FDEKF的遞推算法詳見(jiàn)文獻(xiàn)［6］，這里不再贅述。

2．5 自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波法（AEKF）算法

擴(kuò)展卡爾曼濾波算法要求知道先驗(yàn)的噪聲統(tǒng)計(jì)，然而有時(shí)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性是未知的或不準(zhǔn)確的，甚至可能是時(shí)變的。錯(cuò)誤的噪聲統(tǒng)計(jì)會(huì)產(chǎn)生濾波誤差，甚至使濾波發(fā)散，這也正是EKF的局限性。利用虛擬噪聲技術(shù)，非線性系統(tǒng)的線性化誤差在一定程度上可以歸為線性系統(tǒng)模型中的一種噪聲。因此，用自適應(yīng)濾波在線估計(jì)虛擬噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，可以降低線性化誤差，提高非線性濾波的精度。

非線性函數(shù)線性化過(guò)程與擴(kuò)展卡爾曼的線性化過(guò)程相同，這里不再贅述。對(duì)于時(shí)變?cè)肼曁匦?，?yīng)強(qiáng)調(diào)新近數(shù)據(jù)的作用，逐漸遺忘過(guò)去的數(shù)據(jù)［7］。引入遺忘因子d，采用漸消記憶方法實(shí)現(xiàn)改進(jìn)的時(shí)變?cè)肼暯y(tǒng)計(jì)估值器。

AEKF與EKF的遞推算法區(qū)別在于預(yù)測(cè)觀測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣不同，AEKF的預(yù)測(cè)觀測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣如式（10）所示。

式中，dk＝，b取值范圍0～1，通常取值0．95。

3 仿真分析

3．1 被動(dòng)測(cè)角誤差模型

被動(dòng)測(cè)量誤差包括兩類：系統(tǒng)噪聲誤差和測(cè)角零位誤差，比相測(cè)角體制的理論誤差模型描述如式（11）所示。

式中：（θε，θβ）為理論計(jì)算值；（Δθε，Δθβ）為由測(cè)角零位和系統(tǒng)噪聲引起的測(cè)量誤差值。

依據(jù)上述理論模型，給出了典型頻點(diǎn)被動(dòng)測(cè)角的理論計(jì)算值和含測(cè)角誤差的理論測(cè)量值，如圖2所示。

圖2 被動(dòng)測(cè)角理論計(jì)算值和理論測(cè)量值Fig．2 Theoretical true value and theoretical measurement value of passive angle measurement

3．2 仿真結(jié)果

假設(shè)目標(biāo)位置為（59 161．0，5．0，0．0），導(dǎo)彈縱向平面彈道曲線如圖3所示。

圖3 縱向平面彈道曲線Fig．3 Longitudinal plane ballistic curve

基于理論被動(dòng)測(cè)角誤差模型和上述運(yùn)動(dòng)軌跡，分別采用遞推最小二乘法（RLS）、擴(kuò)展卡爾曼濾波法（EKF）、無(wú)跡卡爾曼濾波法（UKF）、有限差分?jǐn)U展卡爾曼濾波法（FDEKF）、自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波法（AEKF）等進(jìn)行仿真分析。

以AEKF為例，仿真分析情況如下。

1）初值估計(jì)的影響

圖4給出了不同估計(jì)初值誤差下AEKF的仿真結(jié)果。估計(jì)初值誤差越大，收斂時(shí)間越短；估計(jì)初值誤差越小，收斂時(shí)間越長(zhǎng)。這說(shuō)明估計(jì)初值誤差對(duì)定位收斂時(shí)間影響較大。

估計(jì)初值誤差對(duì)收斂精度也有不同程度的影響，大體趨勢(shì)表現(xiàn)為初值估計(jì)誤差越大。收斂精度越差。圖4中紫色線條表示定位誤差為5%，這是指標(biāo)要求。

圖4 不同初值誤差仿真結(jié)果（AEKF）Fig．4 Simulation results of different initial value errors（AEKF）

2）測(cè)量誤差大小的影響

圖5給出了不同測(cè)量誤差的仿真結(jié)果。不同測(cè)量誤差對(duì)AEKF收斂時(shí)間影響不大，主要影響收斂精度。測(cè)量誤差越小，收斂精度越高；測(cè)量誤差越大，收斂精度越低。圖中紫色線條表示定位誤差為5%，這是指標(biāo)要求。

圖5 不同測(cè)量誤差仿真結(jié)果（AEKF）Fig．5 Simulation results of different measurement errors（AEKF）

3）采樣周期的影響

圖6給出了不同采樣周期下的仿真結(jié)果。采樣周期越短，AEKF的收斂時(shí)間越短，收斂精度也高；采樣周期越長(zhǎng)，AEKF的收斂時(shí)間越長(zhǎng)，收斂精度也越差。圖中紫色線條表示定位誤差為5%，這是指標(biāo)要求。

圖6 不同采樣周期仿真結(jié)果（AEKF）Fig．6 Simulation results of different sampling periods（AEKF）

4）觀測(cè)量噪聲的影響

若觀測(cè)量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性未知或不準(zhǔn)確，自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波仍然收斂，魯棒性強(qiáng)，如圖7所示。圖中紫色線條表示定位誤差為5%，這是指標(biāo)要求。

圖7 不同測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣的仿真結(jié)果（AEKF）Fig．7 Simulation results of covariance matrix of different measurement（AEKF）

3．3 綜合評(píng)價(jià)

結(jié)合工程應(yīng)用實(shí)際，從線性化精度（4分）、初值估計(jì)誤差的影響（1．5分）、測(cè)量誤差大小的影響（1．0分）、采樣周期的影響（0．5分）、測(cè)量噪聲的影響（2．0分）以及算法復(fù)雜度（1．0分）等方面進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，綜合分析不同濾波算法的仿真結(jié)果，評(píng)價(jià)結(jié)果如表1所示。

表1 非線性濾波算法綜合評(píng)價(jià)結(jié)果Table．1 Comprehensive evaluation results of nonlinear filtering algorithm

由表1可知：

1）得分較高的是RLS和AEKF，分別為7．3和7．0，得分高的原因是其魯棒性強(qiáng)；

2）得分次之的是UKF和FDEKF，得分均為6．3，UKF線性化精度高但算法復(fù)雜，而FDEKF算法簡(jiǎn)單且線性化精度不差；

3）得分最低的是EKF，原因是線性化精度和魯棒性均不突出。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以彈載單基測(cè)角被動(dòng)定位為例，構(gòu)建了系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，將被動(dòng)定位問(wèn)題轉(zhuǎn)換為狀態(tài)濾波最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題，理論分析了不同非線性濾波算法的原理，并給出遞推算法模型。結(jié)合工程實(shí)例，開(kāi)展了仿真分析工作，從線性化精度、初值誤差估計(jì)、測(cè)量誤差、采用周期、觀測(cè)噪聲以及算法復(fù)雜度等方面進(jìn)行了綜合評(píng)分，得出了遞推最小二乘法和自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波算法得分較高的結(jié)論。