非等價轉(zhuǎn)化導(dǎo)致的錯解例析

王桂芳

【摘 要】轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化，等價轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化的過程中前因和后果是充分且必要的;非等價轉(zhuǎn)化前后的兩個問題是有區(qū)別的，因此要注意對結(jié)論的檢驗、調(diào)整和補充。轉(zhuǎn)化的原則是將不熟悉、難解的及尚未解決的問題轉(zhuǎn)為熟知的、易解的及已經(jīng)解決的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)為具體的、直觀的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將一般的問題轉(zhuǎn)化為特殊的問題，將生活實際中的問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問題，從而使問題易于解決。但是只有等價轉(zhuǎn)化才能保證轉(zhuǎn)化前后的兩個問題本質(zhì)上的一致性。而在數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生常常用非等價轉(zhuǎn)化代替等價轉(zhuǎn)化從而出現(xiàn)錯誤。

【關(guān)鍵詞】等價;非等價;轉(zhuǎn)化

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）28-0040-02

美國著名教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就是要善于解題[1]。解決數(shù)學(xué)問題，不能只是簡單地套公式，更應(yīng)該是綜合運用數(shù)學(xué)思想方法，找到問題本質(zhì)，做到有的

放矢。

轉(zhuǎn)化與化歸思想作為一種基本的數(shù)學(xué)思維方式，已在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到了普遍應(yīng)用，其精髓在于利用化繁為簡、化難為易、化未知為已知等方法，通過轉(zhuǎn)化將尚未解決的問題變?yōu)橐粋€已為人們所熟知的、具有既定方法或程序的問題，最終使問題得到解決2]。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化都可以得到應(yīng)用，但是用非等價轉(zhuǎn)化一定要注意檢查環(huán)節(jié)，否則很容易出錯，下面就結(jié)合具體例題來分析以下這種現(xiàn)象。

1? ?向量夾角與數(shù)量積的對應(yīng)關(guān)系不恰當(dāng)

例1 已知，，且與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍。

錯解：由與夾角為銳角得，即。

正解：當(dāng)時，，即，

所以，實數(shù)的取值范圍是且。

分析：當(dāng)與的夾角為銳角時，，但當(dāng)時，與的夾角可能為銳角也可能為，故與的夾角為銳角的充要條件應(yīng)為且與不共線。

2? ?函數(shù)取極值的等價條件不準(zhǔn)確

例2 已知函數(shù)在處取得極值10，求、的值。

錯解：

依據(jù)題意得，即，解得或。

正解：當(dāng)，時，，故在上單調(diào)遞增，不可能在處取得極值，所以，不符合題意，應(yīng)舍去。

當(dāng)，時，，在附近的左側(cè)，右側(cè)，故在處取得極小值10，符合題意。

綜上，，。

分析：由于函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在該點取得極值的必要條件，而非充分條件，因此，學(xué)生在解答本題時很容易漏掉對得出的兩組解進(jìn)行檢驗的過程，而導(dǎo)致錯誤。

3? ?不等式求最值問題中，忽略等號成立條件

例3 已知，，且，求的最小值。

錯解：因為，即，

又，

所以的最小值為16。

正解：，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立。

所以的最小值為18。

分析：與的最小值為16并不等價，不等式只是給出了一個下界，并不能說明其是最小值。錯解中兩次使用基本不等式，但是等號成立的條件不同，從而中的等號是取不到的，故16不是它的最小值。

4? ?特殊符號處理不當(dāng)

例4 對于定義域為的函數(shù)，存在區(qū)間，使在上的值域為，求實數(shù)的取值范圍。

錯解：由于為定義域上的增函數(shù)，故，即，故、為關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根。

移項，得;兩邊平方，得，即關(guān)于的方程有兩個不等實根。

令，

有，解得。

正解：移項平方，得，即關(guān)于的方程有兩個不等實數(shù)根。

令，則當(dāng)時，有，解得;當(dāng)時，有，無解。綜上，。

分析：錯解的主要原因是原等式中的根式需要有意義，這就限制了自變量的范圍，而進(jìn)行平方運算之后，沒有根式了，由此需要準(zhǔn)確寫出自變量的范圍，由可知，和都要成立，單寫就可能導(dǎo)致范圍變大，出現(xiàn)錯誤。

5? ?消參過程中，忽略參數(shù)對變量的限制

例5 將參數(shù)方程（是參數(shù)）化為普通方程。

錯解：（1）式平方得，（2）式平方得，從而，，所以，普通方程為。

正解：由得。

所以，普通方程為。

正如日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏所說，成功的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)使數(shù)學(xué)的精神、思想方法深深刻在學(xué)生的腦海中，長久地活躍于他們?nèi)粘５臉I(yè)務(wù)中，雖然那時，數(shù)學(xué)知識可能被淡忘了[3]。在教學(xué)中，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，并讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時盡可能地用等價轉(zhuǎn)化，如果非等價轉(zhuǎn)化不可避免，也要注意對結(jié)果進(jìn)行檢查，以防錯誤答案產(chǎn)生。

【參考文獻(xiàn)】

[1]甘志國.不可忽視的非等價轉(zhuǎn)化解題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（5）.

[2]陳建啟，李曉艷.轉(zhuǎn)化與化歸思想的妙用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（9）.

[3]項寶琴，蔡文龍.剖析錯誤解答 用好轉(zhuǎn)化思想[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2003（11）.