變截面鋼板彈簧剛度計算的傳遞矩陣法

許 昕，邢慶果，剛憲約

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，淄博 255049)

1 引言

鋼板彈簧懸架是汽車的一個重要組成部分，對整車的安全性、平順性和操縱穩(wěn)定性有著重要影響。傳統(tǒng)多片鋼板彈簧由于體積和質(zhì)量較大，不利于汽車駕乘性能以及能源和材料利用率的提高。隨著社會對汽車安全、節(jié)能和環(huán)保的要求越來越高，輕量化成為各大汽車公司競相研究的關(guān)鍵技術(shù)，鋼板彈簧懸架的輕量化是整車輕量化的重要內(nèi)容，使得鋼板彈簧的設(shè)計從傳統(tǒng)多片鋼板彈簧逐漸向少片變截面鋼板彈簧的方向發(fā)展。相比傳統(tǒng)的多片簧，少片簧質(zhì)量約減少30%[1]，大幅度降低了汽車油耗。為使少片鋼板彈簧各截面處應(yīng)力相等，拋物線板簧成為設(shè)計的首選，但由于制造工藝的限制，目前板簧廠家生產(chǎn)的少片簧多為分段軋制形成的近似拋物線的分段梯形板簧。

剛度是鋼板彈簧設(shè)計的重要參數(shù)，鋼板彈簧剛度的獲取方法主要分為公式法、有限元仿真法以及實驗法。相較于公式法和有限元仿真法，實驗法需要更多的人力和時間。文獻[2,3]通過對建立的鋼板彈簧有限元模型進行分析，得到了接近實際工況的應(yīng)力分布和板簧剛度。然而，使用有限元法需要對鋼板彈簧專門建立模型，相比之下工程師可以輕松掌握公式法來計算板簧的剛度。周昊等[4]考慮板簧厚度沿長度方向按一次或二次函數(shù)變化情形建立了鋼板彈簧的曲梁模型，利用虛功原理求解板簧端部位移，從而得到鋼板彈簧的整體剛度。Shi等[5]建立了鋼板彈簧的拋物線模型，利用位移疊加和材料變形連續(xù)性導(dǎo)出了變剛度雙葉彈簧的復(fù)合剛度計算方法。同時文獻[6]也給出了拋物線和梯形少片簧的剛度計算公式。這些剛度計算公式對于具有固定曲線形式的板簧結(jié)構(gòu)具有較高的精度，但由于制造工藝限制，實際的板簧結(jié)構(gòu)只能近似于理想曲線，且對于特殊曲線形式的板簧，其剛度無法按照上述公式求解。變截面鋼板彈簧可按變截面梁進行計算，王曉臣等[7]根據(jù)有限單元法的基本原理，利用Hermite插值方法得到形函數(shù)，推導(dǎo)了變截面梁單元的剛度矩陣。傳光紅等[8]利用勢能駐值原理，考慮軸力引起的幾何非線性和剪切變形的影響，得到變截面梁單元的單元剛度矩陣。Li等[9]考慮軸力和剪切變形效應(yīng)，運用Chebyshev多項式逼近得到Timoshenko-Euler楔形梁的單元剛度方程。將板簧簡化為變截面梁，利用剛度矩陣雖能夠較準(zhǔn)確地得到板簧端部撓度，但計算過程較為復(fù)雜，無法做到簡潔高效。

單片鋼板彈簧簧片的設(shè)計是鋼板彈簧設(shè)計的基礎(chǔ)，簧片一般滿足材料力學(xué)中的細(xì)長梁假設(shè)，本文也主要參考細(xì)長梁理論研究變截面鋼板彈簧的變形計算方法。大多數(shù)鋼板彈簧左右對稱，可以取其一半進行分析，即可以簡化為懸臂梁模型，懸臂梁固定端對應(yīng)于騎馬螺栓固定的板簧中心位置。

本文以鋼板彈簧1/2模型為研究對象，將半片變截面板簧簡化為分段梯形懸臂梁。利用梯形梁單元模型，推導(dǎo)了梯形梁單元的轉(zhuǎn)角和撓度公式，提出了變截面少片鋼板彈簧剛度計算的傳遞矩陣法[10]，最后通過對標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧、標(biāo)準(zhǔn)拋物線鋼板彈簧以及實際分段梯形鋼板彈簧的剛度計算對比，驗證了本方法的效率和精確性。

2 梯形梁單元的變形計算方法

2.1 梯形梁單元內(nèi)力分析

變截面少片鋼板彈簧結(jié)構(gòu)如圖1所示,其中部固定在車橋上，兩端卷耳與車架連接，在實際的工作過程中，板簧主要承受來自車架的豎直載荷。為簡化分析，以騎馬螺栓右側(cè)部分的半片簧片簡化成的懸臂梁為研究對象，其長度為L，不考慮縱向載荷以及延長度的分布載荷，其端部所受向下的集中載荷為F。

圖1 變截面少片鋼板彈簧結(jié)構(gòu)

Fig.1 Structure of taper leaf springs

如果將簧片沿長度方向進行足夠細(xì)密的離散，則每一段都可近似看做一個梯形梁單元，即橫截面寬度保持不變，高度按線性規(guī)律變化。取任意一段矩形橫截面的梯形梁單元為研究對象，其受力簡圖如圖2所示，梁單元左端截面高度為h1，右端截面高度為h2，長度為l，橫截面寬度為b。

圖2中Q為梁單元左右兩端截面所受剪力，左端截面剪力規(guī)定向上為正方向，右端截面剪力規(guī)定向下為正方向，M1和M2分別為梁單元左右兩端所受彎矩，左端截面彎矩規(guī)定順時針旋轉(zhuǎn)為正方向，右端截面彎矩規(guī)定逆時針旋轉(zhuǎn)為正方向，且M2=M1+Ql。

2.2 梯形梁單元的變形計算

2.2.1 梯形梁單元轉(zhuǎn)角計算

單片鋼板彈簧一般滿足材料力學(xué)中的細(xì)長梁假設(shè)，因此在以懸臂梁固定端為原點，沿長度方向為x軸正方向的坐標(biāo)系中，上述梯形梁單元任意橫截面的變形滿足撓曲線的近似微分方程[11]：

(1)

圖2 梯形變截面梁單元受力簡圖

Fig.2 Force diagram of trapezoidal beam element

式中v為梯形梁單元任意截面的撓度，x為橫截面的坐標(biāo)，M(x)為該截面的彎矩，E為板簧材料的彈性模量，I為該截面慣性矩。

根據(jù)式(1)可得梯形梁單元任意截面轉(zhuǎn)角的近似微分方程[11]為

(2)

式中θ為梯形梁單元任意截面的轉(zhuǎn)角。

對式(2)積分可得梯形梁單元任意截面的轉(zhuǎn)角為

(3)

式中k=(h2-h1)/l，y=h1+k(x-x1)，x1為梯形梁單元左端截面的坐標(biāo)，θ1為梁單元左端截面相對于平衡位置的轉(zhuǎn)角。

將梁單元右端截面坐標(biāo)x2代入式(3)的x，整理可得梯形梁單元右端截面轉(zhuǎn)角為

(4)

(5)

2.2.2 梯形梁單元撓度計算

根據(jù)式(1)可得梯形梁單元任意截面撓度的近似微分方程為

dv/dx=θ(x)

(6)

當(dāng)h1≠h2時，對式(3)積分可得

(7)

式中v1為梁單元左側(cè)截面相對于平衡位置的撓度。

對式(7)整理可得梯形梁單元右端截面的撓度為

(8a)

當(dāng)h1=h2時，對式(8a)取極限，通過洛必達法則可得矩形梁單元右端截面撓度公式為

(8b)

2.3 梯形梁單元撓度近似計算

在撓度公式的推導(dǎo)中，梯形梁單元和矩形梁單元分別得到式(8a，8b)的計算結(jié)果，但實際運用過程中，特別是在Excel等環(huán)境中編輯公式，分截面形狀選取撓度公式無法做到簡潔方便，因此將式(8a)中l(wèi)nλ按泰勒公式展開，將式(8a)和式(8b)合并，得到梯形梁單元撓度的近似計算公式為

(8c)

式中μ=1-1/λ。

式(8c)為梁單元撓度的近似計算公式，為驗證其計算精度，將式中μ取各次方數(shù)時所得的近似結(jié)果與式(8a，8b)所得結(jié)果進行對比，得到梯形梁單元撓度近似計算公式與式(8a，8b)的相對偏差。當(dāng)梯形梁單元取自固定端處時，相對計算偏差達到最大，其結(jié)果如圖3所示。圖3中曲線分別為式(8c)中μ的次數(shù)取1～4階時，計算偏差隨F的變化。

由撓度近似計算公式相對偏差圖可知，當(dāng)左端與右端的厚度比值為1.5，展開公式μ取3次方時，梯形梁單元撓度計算相對偏差小于0.6%；展開公式μ取4次方時，梯形梁單元撓度計算相對偏差小于0.2%。在板簧的實際生產(chǎn)中，軋制段兩端厚度比值一般取1.0～1.2，因此梯形變截面梁單元撓度近似計算公式中μ取3次或4次方時，撓度計算精度能夠完全滿足實際生產(chǎn)需要。

圖3 撓度近似計算公式相對偏差

Fig.3 Relative deviation of deflection calculating

3變截面鋼板彈簧剛度計算的傳遞矩陣法

3.1 變截面鋼板彈簧的剛度計算簡化模型

變截面鋼板彈簧的簧片一般由中間厚度不變的平直段、厚度分段梯形變化的延伸段以及兩側(cè)卷耳或平直段構(gòu)成。根據(jù)鋼板彈簧的實際受力過程，取板簧中心螺栓右側(cè)的半片簧片為研究對象，將簧片簡化為懸臂梁，其受力計算簡圖如圖4所示，其中簧片中部平直段對應(yīng)簡圖中固定端處平直段，梯形過渡段對應(yīng)圖中三段梯形段，右端卷耳或平直段對應(yīng)懸臂端處平直段。板簧橫截面簡化為矩形截面，其寬度為b。懸臂端所受向下的集中載荷為F，不考慮縱向載荷以及延長度的分布載荷作用。

3.2 變截面鋼板彈簧剛度計算的傳遞矩陣

簧片整體變形的計算，可通過傳遞矩陣法從懸臂梁固定端處截面開始依次計算各段梁單元左側(cè)截面的變形參量，從而獲得半片梯形變截面簧片端部的撓度和轉(zhuǎn)角。

梯形梁單元之間的傳遞矩陣為

(9)

式中v,θ,Q和M分別為梯形變截面梁單元左端截面的狀態(tài)參量，i為梯形梁單元的編號。fv Q和fv M分別為撓度關(guān)于剪力和彎矩之間的傳遞系數(shù)，fθ Q和fθ M分別為轉(zhuǎn)角關(guān)于剪力和彎矩之間的傳遞系數(shù)，其值分別為

由于半片簧片的簡化模型左端采用固定約束，因此式(9)中

(10)

式中F為板簧計算模型右端端部施加的外載荷，其大小可根據(jù)左右兩側(cè)長度之比以及板簧實際承受的載荷確定，L為半片簧計算模型的總長度。最后一段梯形梁單元右端截面的變形量即為半片簧的整體變形量，利用載荷和簧片變形可得到簧片的剛度，根據(jù)右側(cè)簧片長度占簧片總體長度的比例，即可換算得到變截面單片板簧的剛度。

圖4 變截面鋼板彈簧受力簡圖

Fig.4 Force diagram of taper leaf springs

4 工程設(shè)計實例

4.1 標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧

左右完全對稱的標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧的右半部分由三段組成，各段厚度列入表1，板簧橫截面為等寬矩形截面，寬度為90 mm，板簧材料為51CrV4，彈性模量為206 GPa。

表1 標(biāo)準(zhǔn)梯型鋼板彈簧厚度參數(shù)

Tab.1 Thickness parameters of trapezoidal leaf spring

與中心距離/mm板厚/mm04090407201090010

取簧片右半部分為研究對象，將簧片簡化為懸臂梁，左端固定約束，右端施加向下的集中力10000 N。對比采用本文傳遞矩陣法、有限元分析法及彈簧手冊公式法計算得到的變形與剛度。

(1) 傳遞矩陣法

上述半片標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧通過傳遞矩陣法求解，可得其右端位移為90.1 mm，整片標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧的剛度為222.0 N/mm。

(2)有限元分析法

通過Abaqus對簧片進行有限元分析，采用20節(jié)點的實體單元進行建模，對該模型網(wǎng)格劃分，共886611個節(jié)點，202500個單元。其位移如 圖5 所示，半片簧片右端向下位移為89.9 mm，整片標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧的剛度為222.4 N/mm。

(3)公式法

文獻[6]中梯形變截面鋼板彈簧剛度公式為

(11)

圖5 標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧應(yīng)變

Fig.5 Strain of trapezoidal leaf spring

(12)

式中ζ1=l1/L，ζ2=l2/L和ζ3=h1/h2，其中l(wèi)1為中間平直部分長度的1/2，l2為中間平直段1/2長度與右端變截面梯形長度之和，h1為中央截面厚度，h2為端部厚度。結(jié)合表1參數(shù)，計算可得標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧剛度為216.4 N/mm。

綜上所述，傳遞矩陣法剛度計算結(jié)果與CAE分析所得結(jié)果計算偏差為0.18%，與文獻[6]剛度計算公式所得結(jié)果計算偏差為2.59%，文獻[6]剛度計算公式所得結(jié)果與CAE分析所得結(jié)果計算偏差為2.70%。

4.2 標(biāo)準(zhǔn)拋物線鋼板彈簧

左右完全對稱的標(biāo)準(zhǔn)拋物線鋼板彈簧簧片右半部分由三段組成，各段厚度列入表2，板簧橫截面為等寬矩形截面，寬度為90 mm，板簧材料為51CrV4。

取簧片右半部分為研究對象，將簧片簡化為懸臂梁，左端固定約束，右端施加向下的集中載荷14325 N。利用傳遞矩陣法、有限元分析法及文獻[6]公式法計算得到的變形與剛度列入表3。

綜上所述，傳遞矩陣法剛度計算結(jié)果與CAE分析結(jié)果計算偏差為0.42%，與文獻[6]公式所得結(jié)果計算偏差為4.13%，文獻[6]剛度公式所得結(jié)果與CAE分析結(jié)果計算偏差為4.37%。

表2 標(biāo)準(zhǔn)拋物線鋼板彈簧厚度參數(shù)

Tab.2 Thickness parameters of parabolic leaf spring

與中心距離/mm板厚/mm029902974013.893013.8

表3 標(biāo)準(zhǔn)拋物線鋼板彈簧位移和剛度計算值

Tab.3 Displacement and stiffness of parabolic leaf spring

計算方法位移/mm剛度/N·mm-1傳遞矩陣法169.1169.5有限元分析法168.3170.2《彈簧手冊》公式法176.0162.8

4.3 分段梯形鋼板彈簧

某企業(yè)生產(chǎn)的分段變截面鋼板彈簧的主片右半部分由三部分組成，分別為中間平直段、分段梯形段以及端部的平直段和卷耳部分，板簧左右兩側(cè)完全對稱，軋制厚度列入表4，分段梯形段厚度變化近似于拋物線，端部為避免折彎產(chǎn)生的應(yīng)力集中影響，其厚度不同于標(biāo)準(zhǔn)的拋物線板簧。板簧橫截面為非矩形截面，截面中心處寬度為89 mm，根據(jù)企業(yè)提供的數(shù)據(jù)，板簧截面變形修正系數(shù)為 0.8957，板簧材料為51CrV4。

表4 分段梯形鋼板彈簧厚度參數(shù)

Tab.4 Thickness parameters of segmented trapezoid leaf spring

與中心距離/mm厚度/mm與中心距離/mm厚度/mm02949020.9902954019.714028.159018.419027.264016.924026.369015.429025.372015.434024.37502039023.29302044022.1

取簧片右半部分為研究對象，將簧片簡化為懸臂梁，左端固定約束，右端施加向下的集中載荷14325 N。利用傳遞矩陣法、有限元分析法及廠家所采用的公式法所得到的變形與剛度分別列入 表5。

表5 分段梯形鋼板彈簧位移和剛度計算值

Tab.5 Displacement and stiffness of segmented trapezoid leaf spring

計算方法位移/mm剛度/N·mm-1傳遞矩陣法161.6158.8有限元分析法163.5157.0廠家計算公式170.1150.9

根據(jù)上述計算可知，傳遞矩陣法剛度計算結(jié)果與CAE分析所得結(jié)果計算偏差為1.15%，與廠家按拋物線公式所得結(jié)果計算偏差為5.24%，廠家按拋物線公式所得結(jié)果與CAE分析所得結(jié)果計算偏差為3.89%。

由于有限元分析網(wǎng)格劃分足夠細(xì)密，約束加載符合實際工況，因此可將其計算結(jié)果作為高精度參照基準(zhǔn)。綜合三種板簧的分析計算可知，傳遞矩陣法所求剛度與CAE分析結(jié)果計算偏差均小于2%，相較于文獻[6]計算結(jié)果及企業(yè)計算剛度結(jié)果更加精確。

5 結(jié) 論

(1) 利用梯形梁單元模型，推導(dǎo)了梯形梁單元的轉(zhuǎn)角公式以及梯形梁單元和等截面梁單元的撓度公式。通過對梯形梁單元以及等截面梁單元撓度公式的合并，得到了梯形梁單元撓度計算的近似公式，并利用Matlab驗證了近似公式的精確度。

(2) 利用變截面少片鋼板彈簧的1/2模型，在梯形梁單元轉(zhuǎn)角和撓度計算公式的基礎(chǔ)上，提出了計算變截面少片鋼板彈簧剛度的傳遞矩陣法。

(3) 對標(biāo)準(zhǔn)梯形板簧、標(biāo)準(zhǔn)拋物線板簧以及實際生產(chǎn)的分段梯形鋼板彈簧進行了剛度計算。通過對傳遞矩陣法、有限元分析法、文獻[6]公式法以及企業(yè)所用公式的剛度計算結(jié)果的對比，發(fā)現(xiàn)傳遞矩陣法相較于其他方法的計算結(jié)果更接近于有限元分析值；同時，該方法計算過程中只采用少量的梯形梁單元，計算更加簡單，適用于一般工程中計算變截面鋼板彈簧的剛度。