拱暨索拱面內(nèi)穩(wěn)定性研究的傳遞矩陣法

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(1. 湖南大學 土木工程學院，長沙 410082； 2.湖南大學 工程結(jié)構(gòu)損傷診斷湖南省重點實驗室，長沙 410082)

1 引言

拱結(jié)構(gòu)因其造型優(yōu)美、受力合理以及施工方便等特點廣泛應用在橋梁、建筑和航天工程中。現(xiàn)代工程中拱跨結(jié)構(gòu)越來越大，從幾十米到上百米，位于中國上海的盧浦大橋主拱跨已達到550 m，拱的穩(wěn)定問題尤顯突出。在結(jié)構(gòu)分析理論中，穩(wěn)定問題可分為動力穩(wěn)定[1,2]和靜力穩(wěn)定，靜力穩(wěn)定從失穩(wěn)形式上又分為第一類穩(wěn)定和第二類穩(wěn)定。第一類穩(wěn)定即分支點失穩(wěn)也可稱為特征值屈曲分析；第二類穩(wěn)定則是考慮材料和幾何非線性的極限承載力分析[3]。其中，拱的彈性穩(wěn)定是經(jīng)典的穩(wěn)定問題，主要用于確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時的臨界荷載或一些特定荷載下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全系數(shù)及相應的屈曲模態(tài)[4]。拱面內(nèi)屈曲的研究成果眾多，李國豪[5]對拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題作了大量研究和總結(jié)，全面系統(tǒng)地論述了其基本理論和實用算法。Pi等[6-8]用解析法和有限元法對集中力及均布力作用下的圓拱面內(nèi)彈性穩(wěn)定作了研究，分析了前屈曲非線性行為，并求得失穩(wěn)荷載的解析解。易壯鵬等[9,10]用能量變分原理分析了集中荷載作用下彈性約束圓弧拱的面內(nèi)屈曲特性，劉昌永等[11]用試驗結(jié)合有限元法研究了拋物線鋼管混凝土拱橋的穩(wěn)定性，韋建剛等[12]用等效柱法計算了純拱失穩(wěn)臨界荷載。圓拱在均布荷載和集中力作用下的穩(wěn)定性得到了廣泛的研究，并且得到了相應的屈曲荷載計算公式。

索拱結(jié)構(gòu)充分利用了索的柔性和拱的剛性[13]，廣泛應用于大跨結(jié)構(gòu)中，如體育館和拱橋施工過程中的支撐結(jié)構(gòu)等，因此索拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究具有十分重要的工程意義。丁建國[14]應用解析法研究了純拱和索拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題，劇錦三等[15]應用非線性有限元法研究了索拱結(jié)構(gòu)平面內(nèi)的穩(wěn)定問題，康厚軍等[16-18]應用能量法和有限元研究了索拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)穩(wěn)定問題。綜上所述，目前基本是采用經(jīng)典法、有限元和實驗法對純拱和索拱結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題進行研究，對一些特殊問題的求解具有一定的局限性。

傳遞矩陣法是用于計算工程結(jié)構(gòu)靜動力和穩(wěn)定性問題的一種簡便方法，目前應用傳遞矩陣法解決穩(wěn)定問題的研究大多限于壓桿的穩(wěn)定分析。文獻[19,20]應用傳遞矩陣法求解了細長桿及變截面桿的臨界力，而在拱結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析中傳遞矩陣法的應用則少有研究。如果可以將傳遞矩陣法應用到拱相關(guān)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定分析中，將能為拱橋的穩(wěn)定分析提供另一種途徑，不僅方便了結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題的研究，同時也將解決一些常規(guī)方法難以求解的問題。

實際工程中，拱結(jié)構(gòu)一般是承受鉛垂荷載，在矢跨比不大的情況下，可以利用承受徑向荷載的圓拱近似計算。然而，對于矢跨比較大，集中荷載作用下的變截面拱和索拱等問題的求解，經(jīng)典的求解方法難以實現(xiàn)。本文應用傳遞矩陣法求解徑向均布荷載作用下的圓拱面內(nèi)屈曲微分方程，導出其特征方程并求得臨界荷載。同時將該理論方法推廣到承受集中荷載的變截面拱以及索拱組合結(jié)構(gòu)等的穩(wěn)定分析中，并和有限元ANSYS計算結(jié)果進行對比，驗證本文的理論和方法。研究不同荷載作用形式下邊界條件、圓心角和截面慣性矩等關(guān)鍵參數(shù)對拱面內(nèi)穩(wěn)定性的影響，進而得到一些有意義的結(jié)論。

2 基本原理

2.1 等截面圓弧拱

2.1.1 全跨徑向均布荷載作用

用徑向位移v表示的面內(nèi)屈曲微分方程為[5]

(1)

并且，令

(2)

考慮到拱軸不可壓縮條件，再依據(jù)力的平衡條件、內(nèi)力和變形的物理關(guān)系，得到

(3)

則可知相應的徑向位移v、切向位移u、轉(zhuǎn)角θ、彎矩M、剪力Q以及軸力N的表達式為[16]

(4)

(5)

(6)

圖1 圓拱及其微段平衡

Fig.1 Circular arch and its balance

(7)

(8)

(9)

式(2～9)是圓拱徑向均布荷載作用下面內(nèi)屈曲的精確解，將其寫成矩陣形式為

t=TC

(10)

式中t=[uvθMQN]T；T為6×6的方陣，其中Ti j(i,j=1,2,…,6)與式(2～9)的系數(shù)相對應，具體詳見附錄A；C=[C1C2C3C4C5C6]T。

對于徑向均布荷載作用下的等截面圓拱，其每段具有相同的屈曲微分方程，根據(jù)式(10)可得任一段最左端的狀態(tài)向量為

(11)

式中初始狀態(tài)向量T0=T|φ = 0,上標L代表左端，則積分常系數(shù)向量為

(12)

將等截面圓拱整體視為一個單元，各狀態(tài)向量傳遞一次，則純拱結(jié)構(gòu)中最右端的狀態(tài)向量為

(13)

兩端固支有t=[0 0 0MQN]T。

兩端鉸支有t=[0 0θ0QN]T。

左端固支右端鉸支，則有

t0=[0 0 0M0Q0N0]Ttn=[0 0θn0QnNn]T

根據(jù)三種不同邊界條件，即兩端固支、兩端鉸支和一端固支一端鉸支而推導的特征方程，有

(14)

2.1.2 跨中作用集中力

如圖2所示的圓拱，拱的圓心為O點，半徑為R,圓心角為2θ,拱的跨度為l,在跨中C處作用集中力為P,應用力法可求出水平推力X和豎向支反力Y。拱是曲桿，在計算時應考慮曲率對變形的影響，但是因其影響一般很小，故仍可用直桿的位移計算公式來求解系數(shù)和自由項。另外，對于一般的拱橋，拱頂截面高度h

(1)AB兩端鉸支

(15)

(16)

Y=P/2，N=Xcosθ+Ysinθ

(17，18)

因拱失穩(wěn)的本質(zhì)是軸壓力達到臨界值，而圓拱全跨均布荷載作用時N0=qR,則有

(19，20)

將式(20)代入圓拱屈曲微分方程(1)，應用傳遞矩陣法進行求解，代入兩端的邊界條件，得到關(guān)于外荷載P的特征方程，求解該方程得臨界荷載Pc r。

(2)AB兩端固支

依據(jù)彈性中心理論和力法可以求得水平推力為

(21)

此后的計算方法和過程與兩端鉸支的情形類似，不再詳述。

2.2 變截面圓拱

圖2 集中力作用下的圓拱

Fig.2 Circular arch under the concentrated force

(22)

2.3 索-圓拱

圖4給出了索-圓拱結(jié)構(gòu)及其簡化模型，不計索和拱的質(zhì)量，并將索考慮為一彈簧作用于拱上，初始索力視為一集中力，拱上作用均布徑向荷載q。其中Si表示拉索的作用位置，Pi為拉索的初始張拉力，ki為拉索的拉壓強度(ki=EiAi/li)，li表示拉索長度，v和u分別為Si點的徑向和切向位移，αi為Si處拉索與拱切線小于90°的夾角。文獻[16]給出了徑向均布荷載作用下索拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)的控制微分方程：

(23)

應用傳遞矩陣法求解索拱面內(nèi)屈曲微分方程(23)，可以避免直接求解面臨的復雜計算，提高計算效率。令等式(23)右邊為0，其齊次解等同式(1)的結(jié)果，而式(23)未作考慮的荷載部分可通過節(jié)點矩陣進行引入。索拱結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣，只需要在純拱結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上加上節(jié)點傳遞矩陣即可。

圖3 變截面圓拱

Fig.3 Variable -section circular arch

圖4 索-拱結(jié)構(gòu)及其簡化模型

Fig.4 Cable -arch and its simplified model

拉索作用下，拱區(qū)段間節(jié)點左右截面關(guān)系為

表示為矩陣形式為

(24)

3 算例分析

為了研究圓拱及索拱結(jié)構(gòu)在外荷載作用下的面內(nèi)彈性穩(wěn)定問題，即屈曲荷載和失穩(wěn)模態(tài)，本文對等截面圓拱、變截面圓拱以及索拱結(jié)構(gòu)分別建立模型進行計算和分析。同時，為了驗證本文理論的有效性，應用通用有限元軟件ANSYS建立同樣參數(shù)的有限元模型，采用beam3單元模擬拱肋，link1單元模擬索，其中變截面圓拱采用beam189單元建模，進行特征值屈曲分析后，對比本文理論和有限元法得到的結(jié)果。

等截面圓拱選取模型的計算參數(shù)為，半徑R=10 m，拱肋采用矩形截面，截面尺寸為b×h=1.0×0.5 m2，彈性模量E=210 GPa，拱上分別作用全跨徑向均布荷載和跨中集中荷載。利用本文的傳遞矩陣法求解，用軟件MATHEMATICA計算前2階面內(nèi)屈曲荷載，其計算方法和流程如圖5所示。表1 給出了兩端固支和兩端鉸支圓拱在不同荷載作用形式以及不同圓心角下的計算結(jié)果對比。

從表1可知，本文傳遞矩陣法TMM的計算結(jié)果與有限元FEM得到的結(jié)果吻合較好，驗證了本文理論的正確性，并且當拱的圓心角較大時，本算例模型的計算結(jié)果精度較高。對均布徑向荷載作用下的圓拱是以荷載集度來代表臨界荷載，則總臨界荷載為Pc r=qc rS,S為圓拱的弧長。對比兩種荷載作用下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性可知,全跨徑向均布荷載作用下純拱的穩(wěn)定性優(yōu)于跨中集中荷載作用情形。

圖6給出了全跨均布荷載作用時不同邊界條件下圓拱的面內(nèi)反對稱屈曲和對稱屈曲荷載系數(shù)隨圓心角的變化情況?？梢钥闯觯吔鐥l件對面內(nèi)穩(wěn)定性的影響較大，圓拱的屈曲荷載隨著鉸數(shù)量的增加而降低，并可推斷三鉸拱的穩(wěn)定性將更低。這主要是因為彈性穩(wěn)定承載力取決于結(jié)構(gòu)的剛度，并不是材料的強度，而固定支座相比鉸支座增加了約束，剛度更大，更有利于結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定。

圖5 MATHEMATICA程序計算流程

Fig.5 Flow of MATHEMATICA program

表1 圓拱在不同荷載作用和不同圓心角下的屈曲荷載(×107)Tab.1 Buckling loads of circular arches under different loads and central angles (×107)

另外，對比圖6可以發(fā)現(xiàn)，邊界條件對一階面內(nèi)反對稱屈曲荷載的影響比二階面內(nèi)對稱屈曲荷載大，并且在圓心角較小時，支座剛度越大對拱的穩(wěn)定性提高越大，但隨著圓心角的增大，對穩(wěn)定性的影響卻越小。由此可知，對于大跨度深拱結(jié)構(gòu)，若提高拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，支座剛度的增加并不一定能得到滿意的結(jié)果，應該從結(jié)構(gòu)的截面剛度等方面考慮。

圖7為拱肋截面慣性矩對兩鉸拱和無鉸拱的影響情況。可以看出，圓拱面內(nèi)屈曲荷載隨著截面慣性矩呈線性增大，并且無鉸拱的屈曲荷載比兩鉸拱的提高率更大，這主要是由于兩端鉸支的邊界條件限制了拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)整體剛度的提升；另外，截面慣性矩對面內(nèi)對稱屈曲的影響比對反對稱的更明顯，但工程實踐上拱結(jié)構(gòu)往往以第一階反對稱形式失穩(wěn)，因而關(guān)注反對稱失穩(wěn)更具有實際意義。因此，圖8以面內(nèi)反對稱屈曲為對象，給出了不同圓心角下截面慣性矩對純拱結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響?？芍?，在不同圓心角下，截面慣性矩的影響不同，圓心角越大，屈曲荷載的增加越緩慢，綜合經(jīng)濟性考慮，對于實際工程來說，并不能無限提高拱的面內(nèi)剛度。若大幅提高平面內(nèi)剛度將使面外剛度相對降低，可能導致平面外的失穩(wěn)。

圖6 不同邊界和不同圓心角下的圓拱面內(nèi)屈曲荷載系數(shù)

Fig.6 Buckling load coefficients of circular arches under different boundary conditions and central angles

算例2變截面圓拱

選取的模型參數(shù)如下,半徑R=10 m，拱肋采用矩形截面，等截面拱尺寸為b×h=1.0×0.6 m2，彈性模量E=210 GPa，拱上分別單獨作用全跨徑向均布荷載q和跨中集中力F,采用提籃拱和月牙拱兩種階梯變截面形式，如圖9所示。從拱腳到拱頂，拱截面高度逐漸減小即為提籃拱，而月牙拱則與提籃拱正好相反。提籃拱的截面高度為h1=0.7 m，h2=0.6 m，h3=0.5 m；月牙拱截面高度為h1=0.5 m，h2=0.6 m，h3=0.7 m。表2給出了均布荷載和集中力作用時，兩端固支的多種不同截面拱在不同圓心角下的面內(nèi)前兩階屈曲荷載。

圖7 截面慣性矩對不同邊界圓拱面內(nèi)屈曲荷載系數(shù)的影響

Fig.7 Effects of section moment of inertia on the buckling load coefficients of circular arches with diffirent boundary conditions

圖8 截面慣性矩對不同圓心角下圓拱面內(nèi)屈曲荷載系數(shù)的影響

Fig.8 Effects of section moment of inertia on the buckling load coefficients of circular arches with diffirent central angles

從表2的結(jié)果對比可以發(fā)現(xiàn)，本文理論的計算結(jié)果具有良好的精度，最大的誤差為10.16%，大部分誤差都在5%以內(nèi)。對比表1的結(jié)果可知，用3節(jié)點的beam189單元模擬拱結(jié)構(gòu)時誤差更小，因為beam189能夠適應曲線邊界。在實際工程中，拱大部分是變截面的，用傳統(tǒng)的能量法和靜力平衡法難以求得拱的臨界荷載，有限元法的計算精度則和單元網(wǎng)格的劃分有較大關(guān)系，而本文采用的傳遞矩陣法適用面較廣，計算簡單，通過單元矩陣的相乘，求解特征方程便可求得臨界荷載，更容易操作。

圖10給出了均布荷載和集中力作用時不同邊界條件下多種截面拱的反對稱屈曲荷載系數(shù)與圓心角的關(guān)系?？梢钥闯?，均布荷載和集中力作用下，拱面內(nèi)屈曲系數(shù)的變化趨勢相似，所以荷載作用方式的不同并不干涉截面變化對拱結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響。相同條件下，等截面圓拱、提籃拱和月牙拱的屈曲系數(shù)相差并不大，等截面拱穩(wěn)定性稍優(yōu)于月牙拱，月牙拱稍優(yōu)于提籃拱。但是綜合考慮結(jié)構(gòu)的構(gòu)造和整體受力，提籃拱跨中截面尺寸更小，相對自重更輕，因而在實際建造中提籃拱更優(yōu)。

圖9 多種截面拱

Fig.9 Multi-section arches

算例3索-拱結(jié)構(gòu)

計算模型選取如圖4所示的雙索-圓拱，不計索和拱的自重，將模型分為3段。拱上分別單獨作用全跨徑向均布荷載q和跨中集中力F,拱半徑R=10 m，彈性模量E=210 GPa，索長L=10 m，初始索力P=500 kN，拱肋橫截面積A=b×h=1.0×0.5 m2，索截面積為Ac=0.005 m2，索彈性模量Ec=210 GPa。

表3列出了傳遞矩陣法和有限單元法求解的不同荷載以及不同圓心角下，兩端固支索拱結(jié)構(gòu)面內(nèi)臨界荷載的計算結(jié)果，兩者較為吻合，最大誤差為12.73%，這可能是因為在ANSYS建模時采用直梁單元beam3近似模擬，也可能由于在理論建模時將索的初始索力視為集中力并等效為徑向均布荷載作用于拱上從而產(chǎn)生誤差。但是，綜合來看，大部分的計算結(jié)果均具有良好的精度，僅極個別解存在較大誤差，驗證了本文建模理論的正確性。

圖11給出了均布荷載和集中力各自作用下，兩端鉸支和兩端固支邊界條件時，索拱結(jié)構(gòu)和純拱的臨界荷載系數(shù)與圓心角的關(guān)系?？梢钥闯?，索拱結(jié)構(gòu)的臨界荷載值比純拱結(jié)構(gòu)的高，說明索對拱結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性有所提高。一方面是由于索的加入減小了拱的跨度；另一方面，索對拱具有彈性支撐作用，進一步提高了面內(nèi)剛度。在一定范圍內(nèi)，拱的開角越大，穩(wěn)定性提高幅度越大。主要是因為拱的開角越大，拱的長細比就越大，結(jié)構(gòu)剛度相對較小，而索對結(jié)構(gòu)面內(nèi)剛度的提高相對變化較大，故而對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響越敏感。這一規(guī)律在拱跨中集中力作用時體現(xiàn)得更為明顯，是由于在和均布荷載同等大小的集中力作用下，拱跨中的結(jié)構(gòu)變形相對更大，而索的設(shè)置更好地控制了結(jié)構(gòu)的變形。在不同的荷載作用方式下，索拱結(jié)構(gòu)對兩鉸拱穩(wěn)定性的增強比對無鉸拱更為明顯，換言之索很大程度上增加了兩鉸拱的約束，提高了結(jié)構(gòu)剛度。

表2 不同荷載作用時不同圓心角下多種截面圓拱的屈曲荷載(×107)Tab.2 Buckling loads of multi-section circular arches with different loads and central angles (×107)

圖10 不同荷載作用下多種截面圓拱的屈曲荷載系數(shù)

Fig.10 Buckling coefficients of multi-section circular arches underdifferent loads

圖11 不同荷載作用下索拱與純拱面內(nèi)屈曲荷載系數(shù)的關(guān)系

Fig.11 Relationship between the buckling load coefficients of cable -arches and arches under different loads

表3 不同荷載作用時不同圓心角下索拱面內(nèi)屈曲荷載(×107)Tab.3 In-plane buckling loads of cable -arches with different loads and central angles(×107)

4 結(jié) 論

本文利用傳遞矩陣法推導出徑向均布荷載下圓拱面內(nèi)穩(wěn)定問題的特征方程，并求得其臨界荷載。同時，將該理論方法推廣到承受集中荷載的變截面拱以及索拱組合結(jié)構(gòu)等的穩(wěn)定分析中，并與有限元ANSYS計算結(jié)果進行對比，驗證了本文理論和方法的正確性。研究了不同荷載作用形式下，邊界條件、圓心角和截面慣性矩對拱面內(nèi)穩(wěn)定性的影響，得到以下結(jié)論。

(1) 傳遞矩陣法在求解非連續(xù)變截面圓拱穩(wěn)定問題方面具有非常大的靈活性。提籃拱、月牙拱和等截面圓拱的穩(wěn)定性相差不大，但提籃拱構(gòu)造優(yōu)勢明顯，工程實踐中更青睞于選取提籃拱形式。

(2) 對于集中荷載作用下的純拱及索拱結(jié)構(gòu)，可以通過力法求得支反力，進而求得軸力，再根據(jù)拱上荷載集度與軸力的關(guān)系以徑向均布荷載方式進行等效，從而能以傳遞矩陣法推得面內(nèi)穩(wěn)定的特征方程，最后求得臨界荷載。

(3) 荷載作用形式、邊界條件、圓心角以及截面慣性矩對圓拱的面內(nèi)穩(wěn)定性具有較大的影響。全跨徑向均布荷載作用下，純拱的穩(wěn)定性優(yōu)于跨中集中荷載作用；隨著約束的減少、圓心角的增大以及截面慣性矩的減小，純拱的穩(wěn)定性會降低，因而實際工程中應綜合考慮經(jīng)濟、環(huán)境和承載力等條件采取提升結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的措施。

(4) 索拱結(jié)構(gòu)比純拱的面內(nèi)穩(wěn)定性高，說明索增加了拱的面內(nèi)剛度，并且對圓心角較大、承受跨中集中荷載的兩鉸拱的穩(wěn)定性貢獻更大。

附錄A：

T65=q,其余元素均為0。