基于L1正則化的隨機(jī)梁式結(jié)構(gòu)靜力損傷識別方法

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070)

1 引言

結(jié)構(gòu)損傷識別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)的核心，同時也是健康監(jiān)測的難點。在工程損傷識別方法中，根據(jù)測量結(jié)構(gòu)響應(yīng)的不同，主要分為靜力損傷識別、動力損傷識別以及靜動力相結(jié)合的損傷識別等[1]?；趧恿y量數(shù)據(jù)的損傷識別一直比較活躍，并在一些工程中得到了應(yīng)用，目前為止，該方法仍在不斷發(fā)展中。靜力損傷識別主要測量結(jié)構(gòu)在靜載作用下發(fā)生的位移和應(yīng)變，由于測量結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)變較為簡單，而且測量數(shù)據(jù)具有較高的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，因而該方法具有廣泛應(yīng)用前景。

在靜力損傷方面，國內(nèi)外學(xué)者做了深入的研究。在早期研究工作中，學(xué)者們從確定性結(jié)構(gòu)入手，利用不同損傷指標(biāo)開展了損傷識別研究,如Sanayei等[2]提出了基于有限元的結(jié)構(gòu)靜力參數(shù)識別方法，通過使用靜態(tài)測試數(shù)據(jù)來識別橋墩板的剛度退化情況，并使用蒙特卡洛方法來修正測量數(shù)據(jù)的誤差水平，具有極大的參考價值。孫珂等[3]在擬靜力狀態(tài)下測得彎梁橋的豎向位移影響線，通過二次差分獲得影響線的曲率，構(gòu)造損傷指標(biāo)實現(xiàn)對該類結(jié)構(gòu)的損傷識別。楊驍?shù)萚4]創(chuàng)新性地將梁橫向裂紋等效為內(nèi)部扭轉(zhuǎn)彈簧，在裂紋處裂紋誘導(dǎo)撓度函數(shù)的斜率發(fā)生突變，為梁橫向裂紋位置的確定提供了理論依據(jù)。但是這些方法都沒有考慮測量誤差的影響。許多學(xué)者將測量誤差考慮為不確定性量，用不確定性方法研究測量誤差對損傷識別效果的影響，歐陽煜等[5]基于梁彎曲撓度的三次樣條插值，建立了梁損傷識別的兩階段方法，該方法不僅可有效地識別梁損傷單元，而且對測量噪聲具有較強(qiáng)的魯棒性。蔡晶等[6]基于靜力結(jié)構(gòu)識別方法，提出了結(jié)構(gòu)損傷探測及狀態(tài)評估的概率分析方法；Caddemi等[7]基于局部柔性模型的簡支梁模型，利用由靜態(tài)載荷和一般邊界條件引起的橫向位移的閉合解決方案，提出了逆損傷識別過程，并利用蒙特卡洛模擬研究了測量誤差對損傷識別效果的影響。進(jìn)一步，同時考慮初始模型和測量誤差的不確定性，利用動力測量數(shù)據(jù)，翁夢秀等[8]著重研究考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定下的損傷識別，表明基于位移四階統(tǒng)計矩下的損傷概率識別方法具有很強(qiáng)的抗噪性。Xia等[9]利用攝動法和蒙特卡洛方法推導(dǎo)出修正后的有限元模型的統(tǒng)計變量，然后定義結(jié)構(gòu)構(gòu)件中損傷存在的概率，并應(yīng)用于鋼懸臂梁和框架結(jié)構(gòu)中。Hua等[10]運(yùn)用Tikhonov正則化技術(shù)求解病態(tài)方程，減小了測量誤差對識別效果的影響。Hou等[11]用數(shù)值和實驗證實了基于L1正則化方法的稀疏損傷識別方法可以成功識別單個和多個損傷。該方法和Tikhonov正則化方法相比，能抑制小損傷的誤判，提升了損傷識別的效果。

和上述動力損傷識別方法不同，文獻(xiàn)[12]以梁式結(jié)構(gòu)為研究對象，給出了靜力荷載作用下梁式結(jié)構(gòu)的初始模型誤差和測量誤差的統(tǒng)計定義，建立了關(guān)于隨機(jī)損傷指數(shù)的隨機(jī)控制方程，并采用攝動法和傳統(tǒng)的最小二乘法對其進(jìn)行求解。研究發(fā)現(xiàn)，最小二乘法對欠定方程的求解有時會有較大誤差，導(dǎo)致出現(xiàn)損傷誤判。本文采用L1正則化方法對其進(jìn)行改進(jìn)，并結(jié)合攝動法對隨機(jī)損傷指數(shù)控制方程進(jìn)行求解。簡支梁的數(shù)值算例和混凝土梁的試驗結(jié)果表明，和傳統(tǒng)的最小二乘法相比，采用L1正則化技術(shù)的新方法能夠很好地抑制微小損傷和小概率損傷的誤判，能較準(zhǔn)確地識別多處局部損傷，驗證了本文提出的靜力損傷識別方法的有效性。

2 隨機(jī)損傷指數(shù)的控制方程

假設(shè)損傷僅為N維結(jié)構(gòu)的剛度改變，n為結(jié)構(gòu)單元總數(shù)，αi為結(jié)構(gòu)第i個單元的損傷指數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，利用靜力凝聚法和一階泰勒展開，損傷指數(shù)的控制方程可以寫為

(1)

式中Kp i=?Kd p/?αi|α = 0，ΔUp=Ua p-Ud p，Ka p和Kd p分別為靜力凝聚后的初始和損傷剛度矩陣，Ua p和Ud p分別為靜力凝聚后的初始和損傷狀態(tài)下測量自由度的位移值

當(dāng)初始模型不確定且假定其參數(shù)為隨機(jī)量ξ(ξ1,ξ2,…,ξm)時，方程(1)中待識別的損傷指數(shù)αi(i=1,…,n)將是隨機(jī)量ξ的函數(shù)，故方程(1)為關(guān)于隨機(jī)損傷指數(shù)的控制方程。

(2)

3 隨機(jī)控制方程的攝動求解

(3)

式中αi 0，Ka p 0和Ua p 0分別為損傷指數(shù)、未損傷剛度矩陣和位移向量的零階展開項；αi l，Ka p l和Ua p l分別為損傷指數(shù)、未損傷剛度矩陣和位移向量的一階展開部分。將式(3)展開，用攝動法考慮零階隨機(jī)變量ξ0，有

(4)

同理，對于ξl(l=1,…,m)項，由式(3)得

(5)

(6)

4 基于L1正則化的損傷指數(shù)求解

利用線性代數(shù)方程(4～6)求解損傷指數(shù)一階泰勒展開系數(shù)時，由于測量自由度p往往小于待識別損傷指數(shù)的個數(shù)，導(dǎo)致這些方程屬于欠定方程。文獻(xiàn)[12]采用最小二乘法求解這些欠定方程，但該方法不能保證解存在唯一性。

(7)

式中β>0，為正則化參數(shù)。

由于Tikhonov正則化技術(shù)傾向于提供過擬合的解決方案，而在本文研究結(jié)構(gòu)的損傷識別時，注重檢測出少數(shù)幾個損傷值較大的單元，因此選擇L1正則化方法[13]。 L1正則化即要求極小化如下的泛函值。

(8)

5 基于概率的損傷識別

利用L1正則化方法對方程(4～6)進(jìn)行求解，可以得到損傷指數(shù)αi(i=1，…，n)的待定系數(shù)。在此基礎(chǔ)上，可以定義單元損傷的概率為損傷發(fā)生前的隨機(jī)單元剛度系數(shù)Ka i大于損傷后剛度系數(shù)Kd i的概率[12]，或者隨機(jī)損傷指數(shù)小于0的概率，可表示為

(αi<0)(9)

和文獻(xiàn)[12]不同，由于采用了正則化方法，本文得到的損傷指數(shù)計算精度更高，不需要另外定義損傷判定指標(biāo)，從而可以直接利用高斯假定得到損傷概率。

6 混凝土梁結(jié)構(gòu)的損傷識別試驗

在試驗現(xiàn)場澆筑了一混凝土簡支梁，該簡支梁總長度為2.2 m，梁截面尺寸為b×h=0.15 m× 0.25 m，澆筑混凝土強(qiáng)度等級為C25。靜力加載試驗如圖1所示。試驗測試出混凝土的彈性模量為E=2.8×1010Pa。將該簡支梁均勻劃分為8個等距離的平面梁單元，如圖2所示。試驗結(jié)構(gòu)受損會產(chǎn)生裂縫，引起單元剛度降低，本文以單元彈性模量的減少模擬剛度的下降。豎向集中荷載為P，并只測試各節(jié)點的豎向位移值。根據(jù)實際測量和文獻(xiàn)[14]，確定混凝土彈性模量的變異系數(shù)為0.2，測量數(shù)據(jù)的變異系數(shù)采用實際測量的撓度數(shù)據(jù)的變異系數(shù)。

分兩種工況進(jìn)行損傷識別試驗。工況1的加載荷載P=30 kN，工況2的加載荷載P=45 kN。工況1中，各節(jié)點撓度測量三次，得到其均值和變異系數(shù)，列入表1。然后，采用本文方法及最小二乘法對損傷進(jìn)行識別，識別結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3和圖4是整個荷載加載到30 kN下?lián)p傷指數(shù)均值和損傷概率的識別情況，可以看出，在損傷不太大的情況下，本文方法和最小二乘法識別結(jié)果比較接近。

圖1 混凝土簡支梁的加載試驗

Fig.1 Loading of simply supported concrete beam

圖2 試驗混凝土梁結(jié)構(gòu)模型

Fig.2 FEM model of simply supported concrete beam

對于工況2，在荷載P=4600 kg(45 kN)下，三次測量得到的豎向位移、均值和變異系數(shù)列入 表2。本文方法的識別結(jié)果如圖5和圖6所示。

可以看出，本文方法識別出3，4，5和6單元發(fā)生了較嚴(yán)重的損壞，損傷概率指標(biāo)也較高；而最小二乘法識別結(jié)果表明，2，4，6和8單元完全破壞,和實際情況相比，這個結(jié)論顯然有誤，說明兩種識別方法得到的結(jié)果差別較大。

表1 簡支梁在30 kN豎向加載下的靜力位移測量數(shù)據(jù)(單位：m)

Tab.1 Static displacement measurement data of simply supported beam under 30 kN vertical load(unit:m)

位移測量點實測數(shù)據(jù)均值均方差(10-6)變異系數(shù)Load/kN30.0230.0930.0130.042-0.0313-0.0327-0.0308-0.03169.84890.03123-0.0581-0.0592-0.0606-0.059312.5300.02114-0.0796-0.0792-0.0788-0.07924.00000.00515-0.0857-0.0855-0.0865-0.08595.29150.00606-0.0772-0.0798-0.0797-0.078914.7310.01877-0.0605-0.0602-0.0590-0.05997.93720.01338-0.0315-0.0332-0.0313-0.032010.4400.0326

圖3 荷載30 kN下試驗簡支梁的單元損傷指數(shù)均值

Fig.3 Mean damage index of simply supported beam under load of 30 kN

圖4 荷載30 kN下試驗簡支梁的單元損傷概率

Fig.4 Unit damage probability of simply supported beam under load of 30 kN

為了將識別結(jié)果和實際情況進(jìn)行對比，圖7和圖8分別給出了加載完成(荷載值為70.56 kN(7200 kg))后的裂縫狀態(tài)及荷載45 kN(4600 kg)下混凝土梁3和4單元處的裂縫?？梢钥闯?，當(dāng)荷載從45 kN加載到70.56 kN時，混凝土梁出現(xiàn)較寬較密集的裂縫，裂縫高度基本達(dá)到梁高的50%以上，裂縫最高達(dá)到70%左右，位置集中在3,4,5和6單元。文獻(xiàn)[15]經(jīng)過大量試驗得出結(jié)論，荷載作用下結(jié)構(gòu)接近屈服狀態(tài)時，其裂縫高度極值小于等于7/10 h,裂縫高度均值小于等于1/2 h；文獻(xiàn)[16]中裂縫高度基本達(dá)到梁高50%左右時，單元損傷大小在50%左右;和本文加載試驗觀察到的現(xiàn)象及損傷識別結(jié)果是一致的，驗證了本文方法的有效性。

表2 簡支梁在45 kN下的靜力位移測量數(shù)據(jù)(單位：m)

Tab.2 Static displacement measurement data of simply supported beam at 45 kN(unit:m)

位移測量點實測數(shù)據(jù)均值均方差變異系數(shù)Load/kN45.0245.0144.9945 2-0.0667-0.0806-0.0775-0.07310.00730.09993-0.1320-0.1469-0.1435-0.14080.00780.05544-0.1908-0.2030-0.2000-0.19790.00640.03215-0.1953-0.2036-0.2020-0.20030.00440.02206-0.1779-0.1857-0.1855-0.18310.00450.02467-0.1325-0.1361-0.1366-0.13510.00220.01638-0.0687-0.0712-0.0728-0.07090.00210.0296

圖5 荷載45 kN下試驗梁單元損傷指數(shù)均值

Fig.5 Mean value of damage index of test beam element under load of 45 kN

圖6 荷載45 kN下試驗梁的單元損傷概率

Fig.6 Unit damage probability of test beam under 45 kN load

圖7 簡支梁加載完成后裂縫分布

Fig.7 Distribution of cracks of the simply supported beam

圖8 簡支梁3和4單元裂縫分布

Fig.8 Distribution of cracks in the 3r dand 4t helements

7 結(jié) 論

本文提出了一種利用L1正則化的隨機(jī)梁式結(jié)構(gòu)靜力損傷識別方法,同時考慮了梁式結(jié)構(gòu)的模型誤差和測量誤差的影響，利用L1正則化方法抑制了其他單元的損傷誤判。與最小二乘法相比，本文方法能極大減少小損傷的誤判，使識別結(jié)果更接近于真實損傷?；炷亮簱p傷識別的試驗表明，本文方法在同時考慮結(jié)構(gòu)模型誤差和測量誤差的不利影響下，依然可以準(zhǔn)確地識別損傷。由于采用了概率方法，使得判斷損傷更為貼近實際。本文方法可以對不同損傷程度階段的混凝土梁進(jìn)行有效的損傷識別，而最小二乘法對大損傷存在明顯的誤判。