Winkler地基上各向異性薄板彎曲的精確解-廣義積分變換解

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(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東) 非常規(guī)油氣開(kāi)發(fā)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，青島 266580； 2.中國(guó)石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院 海洋水下設(shè)備試驗(yàn)與檢測(cè)技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室,青島 266580； 3.中國(guó)石油大學(xué)(北京) 安全與海洋工程學(xué)院，北京 102249)

1 引言

復(fù)合材料層合板廣泛應(yīng)用于土木工程、航空航天和海洋工程領(lǐng)域。實(shí)際工程中，常利用層合板的不對(duì)稱(chēng)性和各向異性特征來(lái)滿足特殊的設(shè)計(jì)需求。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)復(fù)合材料板的彎曲問(wèn)題進(jìn)行了大量研究，發(fā)展了多種數(shù)值和解析方法求解不同邊界條件和載荷條件下板的彎曲問(wèn)題。相較于各向同性板，復(fù)合材料薄板彎曲問(wèn)題的數(shù)學(xué)控制方程較為復(fù)雜，對(duì)于各向異性復(fù)合材料薄板的彎曲問(wèn)題以近似求解為主，缺乏精確解。

Timoshenko等[1]采用疊加法獲得了各向同性板彎曲問(wèn)題的經(jīng)典解。Taylor等[2]基于經(jīng)典余弦級(jí)數(shù)展開(kāi)分析了矩形板的彎曲解。除此之外，有限積分變換法、辛算法和新的解析辛疊加等算法廣泛應(yīng)用于求解不同邊界條件和彈性地基上各向同性及正交各向異性矩形板彎曲問(wèn)題的精確解[3-7]。Chen等[8]引入樣條有限條法分析了平行四邊形板的彎曲問(wèn)題。Chun等[9]建立了Winkler地基上平行四邊形厚板變形的解析解。Korobko等[10]通過(guò)形狀因子的插值技術(shù)，確定了均勻載荷下平行四邊形板的最大撓度。由于數(shù)學(xué)處理困難，尚缺乏對(duì)各向異性復(fù)合材料板彎曲問(wèn)題的研究。

近年來(lái)，廣義積分變換法GITT作為一種高效的數(shù)值-解析算法，廣泛用于求解傳熱和流動(dòng)現(xiàn)象[11,12]及結(jié)構(gòu)振動(dòng)與變形[13,14]，且表現(xiàn)出優(yōu)異的精度和穩(wěn)定性。本文利用GITT方法對(duì)彈性地基上各向異性薄板的彎曲問(wèn)題進(jìn)行研究。首先計(jì)算求得對(duì)應(yīng)于薄板彎曲輔助問(wèn)題的特征函數(shù)和特征值；利用積分變換原理，將原四階偏微分控制方程變換為常微分方程組，由IMSL庫(kù)中的子程序 DBVPFD[15]求解該方程組。對(duì)比現(xiàn)有的計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)本文提出的求解各向異性復(fù)合材料板彎曲問(wèn)題的GITT方法具有良好的準(zhǔn)確性和收斂性。

2 復(fù)合材料薄板彎曲控制方程

如圖1所示，基于小變形理論假設(shè)，Winkler地基上橫向載荷作用下的各向異性平行四邊形薄板的橫向位移w滿足以下控制方程，

(1)

式中D11和D22分別為y和x軸的彎曲剛度，D16和D26代表各向異性復(fù)合材料板的的彎扭剛度，H=D12+2D66代表有效扭轉(zhuǎn)剛度，其中，D66表示扭轉(zhuǎn)剛度，D12由ν1和ν2決定，滿足D12=ν2D11=ν1D22，q0為橫向均布載荷，k表示地基模量。

在直角坐標(biāo)系下，彎矩的各個(gè)分量Mx，My和Mx y滿足[1]

(2)

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，本文引入了斜坐標(biāo)系，如圖1所示，其中，β為傾斜角。選用合適的無(wú)量化參數(shù)：

(3a)

ζ=D16/D11，γ=D22/D11，σ=D26/D11

(3b)

方程(1)可表達(dá)為以下無(wú)量綱形式，

(4)

其中

A=1-4ζcotβ+2αcot2β-4σcot3β+γcot4β

B=(ζ-αcotβ+3σcot2β-γcot3β)/sinβ

(5a)

M=(α-6σcotβ+3γcot2β)/sin2β

N=(σ-γcotβ)/sin3β，P=γ/sin4β

(5b)

圖1 不同坐標(biāo)下的平行四邊形板

Fig.1 Illustration of parallelogram plate under

different coordinates

彎矩分量Mx，My和Mx y可表達(dá)為無(wú)量綱形式：

(6)

(7)

(8)

對(duì)于四邊固支的邊界條件CCCC，其無(wú)量綱化的邊界條件可表示為

(9a)

(9b)

對(duì)于兩對(duì)邊固支，另外兩對(duì)邊簡(jiǎn)支的邊界條件SCSC，其無(wú)量綱化的邊界條件可表示為

(10a)

(10b)

最終，在橫向載荷作用下,滿足邊界條件(10)的Winkler地基上各向異性復(fù)合材料薄板的彎曲問(wèn)題(1)可以通過(guò)本文建立的數(shù)值解析算法求解。

3 廣義積分變換解的建立

不同于有限積分變換法[3,7]的求解，根據(jù)廣義積分變換的基本原理，針對(duì)式(4)所描述的問(wèn)題，可選取相應(yīng)的特征方程：

以滿足四邊固支邊界條件CCCC為例

(11b)

(12)

方程(11)的解可通過(guò)解析的方法求得。

(13)

方程(11)的特征值由超越方程(14)確定。

(14)

相應(yīng)的歸一化積分可通過(guò)式(15)計(jì)算。

(15)

(16)

方程(4)的積分變換與逆變換的表達(dá)式為

(17a)

(17b)

將逆變換式(17b)代入無(wú)量綱方程(4)，原四階偏微分方程可轉(zhuǎn)化為四階常微分方程組:

(i=1,2,3,…)(18)

假定無(wú)量綱地基模量系數(shù)K為常數(shù)，方程中相應(yīng)的系數(shù)可以由以下積分形式利用解析方法求得,

(19)

ξ方向的邊界條件通過(guò)積分變換后:

(20)

最終，方程組(18)僅為關(guān)于ξ的常微分方程組，滿足邊界條件(20)。積分變換后的彎矩計(jì)算公式為

(21)

(22)

(23)

4 算例與結(jié)果討論

計(jì)算不同長(zhǎng)寬比情況下,各向同性材料板在橫向均布載荷作用下的位移和彎矩大小。當(dāng)主方程(1)中系數(shù)D16=D26=0，假定D11=D22=D，則該方程將變形為各向同性板彎曲條件下的控制方程，計(jì)算結(jié)果列入表1。通過(guò)對(duì)比不同截?cái)囗?xiàng)數(shù)情況下的結(jié)果，以及與文獻(xiàn)[1]的經(jīng)典結(jié)果對(duì)比，表明該方法具有良好的收斂性和較高的準(zhǔn) 確性。

為驗(yàn)證該方法求解各向異性復(fù)合材料薄板彎曲問(wèn)題的適用性，分別選取玻璃纖維材料和石墨纖維材料對(duì)稱(chēng)疊層 [45°/-45°/-45°/45°]層合板進(jìn)行計(jì)算比較，對(duì)應(yīng)的幾何參數(shù)和彎曲剛度Di j見(jiàn)文獻(xiàn)[17] 。利用廣義積分變換法求得均布載荷作用下該對(duì)稱(chēng)斜交層合板不同位置處的橫向位移，并與文獻(xiàn)[17]的結(jié)果比較，列入表2。結(jié)果表明，該方法可在相對(duì)較少的截?cái)囗?xiàng)數(shù)條件下，得到各向異性復(fù)合材料薄板彎曲問(wèn)題較為準(zhǔn)確的結(jié)果。

當(dāng)主方程(1)中系數(shù)D16=D26=0時(shí)，控制方程可描述橫向載荷作用下正交各向異性板的彎曲行為。表3為四邊固支條件下，正交各向異性板彎曲時(shí)的橫向撓度和彎矩計(jì)算結(jié)果。結(jié)果表明，該方法對(duì)于求解正交各向異性平行四邊板彎曲問(wèn)題同樣具有較高的準(zhǔn)確性。

表1 各向同性矩形板彎曲問(wèn)題計(jì)算結(jié)果的收斂性及其與文獻(xiàn)[1]數(shù)據(jù)結(jié)果對(duì)比(ν =0.3)Tab.1 Convergence behavior of the results for an isotropic rectangular plate under uniform load with different truncation orders N(ν =0.3)

表2 各向異性復(fù)合材料層合板橫向載荷作用下的橫向位移w(q0a4/D)(N=32) 及其與文獻(xiàn)[17]數(shù)據(jù)的對(duì)比Tab.2 Comparison of the transverse deflection between the GITT solution(N=32) and the published results from reference [17],w(q0a4/D)

表3 正交各向異性板彎曲的GITT解(N =32)及其與文獻(xiàn)[7]數(shù)據(jù)結(jié)果對(duì)比 (D22=4D11;D66=0.85D11; ν1=0.075;ν2=0.3)Tab.3 Comparison of the transverse deflection between the GITT solution (N=32) and the published results[7] (D22=4D11;D66=0.85D11; ν1=0.075;ν2=0.3)

5 結(jié) 論

本文通過(guò)廣義積分變換法GITT分析彈性地基上平板彎曲問(wèn)題，求解了相應(yīng)的特征方程，得到了該特征方程的特征值和特征函數(shù)；通過(guò)積分變換，將復(fù)合材料彎曲問(wèn)題的四階偏微分控制方程變換為常微分方程組的形式，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算成本。結(jié)果表明，廣義積分變換法GITT在求解各向同性和異性板的彎曲問(wèn)題時(shí)，具有精度高和數(shù)值穩(wěn)定性好的特點(diǎn)。

現(xiàn)有的GITT方法可以通過(guò)計(jì)算不同的輔助方程的特征值和特征函數(shù)，從而解決其他組合邊界條件下板的彎曲問(wèn)題。同時(shí)，本方法可以用于求解非線性橫向載荷及非線彈性地基條件下的復(fù)合材料薄板彎曲問(wèn)題。