不確定性移動載荷激勵下彈性簡支梁的動態(tài)響應(yīng)邊界分析及應(yīng)用

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(1.湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082； 2.湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長沙 410082； 3.東風(fēng)日產(chǎn)乘用車有限公司 技術(shù)中心，廣州 510800)

1 引言

上述對彈性梁的隨機(jī)振動分析中,都是通過隨機(jī)過程模型描述不確定性移動載荷。而建立移動載荷的隨機(jī)過程模型,通常需要大量測試樣本以獲得其概率分布信息。但在很多實(shí)際工程問題中,獲得充足的樣本非常困難。如在車過橋試驗(yàn)中為獲得充足的樣本數(shù)據(jù),需要對大量不同類型的橋在不同車輛運(yùn)動速度和運(yùn)動模式下進(jìn)行大量的測量,獲得大量數(shù)據(jù)以近似得出接觸力的概率分布信息；在車床實(shí)際工作中,因車刀的劇烈振動,傳感器很難準(zhǔn)確測得車刀在車削工件時切削力的樣本函數(shù)。為便于工程應(yīng)用,文獻(xiàn)[20,21]提出了一種度量動態(tài)不確定性參數(shù)的新模型,即區(qū)間過程模型。區(qū)間過程模型以上下邊界的形式界定動態(tài)參數(shù)的變化范圍,動態(tài)不確定性參數(shù)在任意時刻為一具有上下界的區(qū)間,完全避免概率的計算與求解,可較大程度降低對參數(shù)樣本量的依賴,從而為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)缺乏的時變不確定性建模及分析提供一種高效的方法。

本文針對彈性梁在受到不確定性移動載荷激勵下的振動問題,基于區(qū)間過程模型建立了一種非隨機(jī)振動分析方法,可以獲得彈性梁的動態(tài)響應(yīng)邊界。

2彈性梁受移動載荷作用的振動問題[22]

受到移動載荷作用的彈性梁的振動問題在實(shí)際工程中普遍存在,如車輛駛過長跨橋而引起的橋梁振動[23],機(jī)械制造中高速車床車削細(xì)長工件而引起工件的振動[24],以及二相流或多相流體流經(jīng)懸置管道而引起的管道振動[7]等。上述問題都可以簡化成如圖1所示的彈性梁振動模型。其長度為L的簡支梁兩端受到軸向力N作用,在距梁首端l(t)處有一集中載荷P(t)以速度v(t)沿梁移動。

在移動載荷P(t)和軸向力N的作用下,以彎曲變形為主的Euler-Bernoulli等截面均質(zhì)彈性梁非耦聯(lián)橫向振動的運(yùn)動微分方程可以寫為[22]

(1)

圖1 簡支梁受移動載荷激勵的力學(xué)模型

Fig.1 Mechanical model of a simple beam subjected to a moving load

式中EI為抗彎剛度；w(x,t)為梁的撓度,x表示梁沿長度方向的位置,且原點(diǎn)在梁的左端點(diǎn)，t表示時間；μ為單位長度梁的質(zhì)量；c表示單位長度梁的阻尼系數(shù)；δ(·)表示狄拉克函數(shù)；N為正數(shù)時表示壓力,為負(fù)數(shù)時表示拉力。假設(shè)彈性梁具有比例阻尼形式(如Rayleigh阻尼),運(yùn)用振型分解法,式(1)的解可以表示為[25]

(2)

式中qi(t)表示第i(i=1,2,3,…)階模態(tài)坐標(biāo),φi(x)表示第i(i=1,2,3,…)階振型函數(shù)。假設(shè)梁的初始狀態(tài)為靜止?fàn)顟B(tài),即w(x,0)=0, ?w(x,t)/?t|t =0=0,結(jié)合簡支梁的邊界條件w(0,t)=0，w(L,t)=0， ?2w(x,t)/?x2|x = 0=0， ?2w(x,t)/?x2|x = L=0,可以得到

(3)

將式(2)代入式(1),式子左右兩邊乘以振型函數(shù)φi(x),并從0到L積分,由振型函數(shù)的正交性質(zhì)[25],有

(4)

式中Qi(t)為廣義力,ξi為第i階阻尼系數(shù)比,ωi為第i階振動固有頻率,且有2ξiωi=c/μ。令N0=π2EI/L2，Ψ=N/N0,有

(5)

(6)

基于Duhamel積分[26],式(4)的解可以表示為

(7)

式中hi(t)為第i階模態(tài)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)：

(8)

將式(7)代入式(2),得彈性梁的撓度響應(yīng)為

(9)

式(9)即為受到確定性移動載荷P(t)激勵的彈性梁撓度響應(yīng)的表達(dá)式。

3 彈性梁的非隨機(jī)振動分析

在實(shí)際工程問題中,移動載荷P(t)常具有不確定性,此時彈性梁撓度響應(yīng)也將具有動態(tài)不確定性。本文引入?yún)^(qū)間過程模型[20,21]對上述不確定性進(jìn)行描述。首先介紹區(qū)間過程的概念和主要性質(zhì),然后運(yùn)用區(qū)間過程模型對不確定性移動載荷P(t)建模,進(jìn)而推導(dǎo)出彈性梁動態(tài)撓度響應(yīng)上下邊界的解析表達(dá)式。

3.1 區(qū)間過程簡介[20,21]

如圖2所示,在區(qū)間過程模型中,各時間點(diǎn)使用區(qū)間的上下界來描述不確定參數(shù)的變化范圍,在整個時間歷程上表現(xiàn)為兩條邊界曲線。對于任意兩時刻對應(yīng)的區(qū)間變量之間的相關(guān)性,通過定義的自相關(guān)系數(shù)函數(shù)來描述。

定義1設(shè)有一不確定性過程{X(t),t∈T}，T為參數(shù)t的參數(shù)集,如果對于任意參數(shù)ti∈T(i=1,2,…，X(ti))，所有可能的值屬于區(qū)間XI(ti)=[XL(ti),XU(ti)],則稱該過程{X(t),t∈T}為區(qū)間過程,記為XI(t)。

定義2對于區(qū)間過程XI(t),其上邊界函數(shù)和下邊界函數(shù)分別記為XU(t)和XL(t),中值函數(shù)MXI(t)定義為

MXI(t)=M[XI(t)]=Xm(t)=[XL(t)+XU(t)]/2

(10)

定義3區(qū)間過程XI(t)的半徑函數(shù)RXI(t)和方差函數(shù)DXI(t)分別定義為

RXI(t)=R[XI(t)]=Xr(t)=[XU(t)-XL(t)]/2

(11)

DXI(t)=D[XI(t)]=[RXI(t)]2

(12)

定義4設(shè)XI(t)為區(qū)間過程,對于任意時刻ti和tj(ti,tj∈T),其對應(yīng)的區(qū)間變量XI(ti)和XI(tj)之間的自協(xié)方差函數(shù)定義為

(13)

式中θ為區(qū)間相關(guān)角(-45°≤θ≤45°),是橢圓不確定域的半軸與水平軸之間的夾角；r1和r2分別表示橢圓的長半軸和短半軸。參數(shù)θ，r1和r2需基于XI(t)的樣本獲得,如圖3所示。

圖2 區(qū)間過程示意圖[20]

Fig.2 Diagrammatic sketch of interval process[20]

關(guān)于如何通過樣本構(gòu)建自協(xié)方差函數(shù),可參考文獻(xiàn)[20,21,27]。由自協(xié)方差函數(shù)的定義,有CovXIXI(ti,tj)=CovXIXI(tj,ti)。特別地,當(dāng)ti=tj=t時,有

CovXIXI(ti,ti)=CovXIXI(tj,tj)=

CovXIXI(t,t)=DXI(t)

(14)

定義5對于區(qū)間過程XI(t),任意兩時刻ti和tj對應(yīng)的區(qū)間變量XI(ti)和XI(tj)的自相關(guān)系數(shù)函數(shù)定義為

(15)

(16)

CovXIXI=

(17)

圖3 區(qū)間過程自協(xié)方差的求取[21]

Fig.3 Calculation of the auto -covariance function of

interval process[21]

關(guān)于自協(xié)方差矩陣的獲取方法,可以參考文獻(xiàn)[27]。

定義6設(shè)XI(t)和YI(t)為區(qū)間過程,對于任意時刻ti和tj,定義其互協(xié)方差函數(shù)為

(18)

式中θ為區(qū)間相關(guān)角,r1和r2分別是橢圓的兩個半軸長度?；f(xié)方差函數(shù)的求解同樣需要基于XI(t)和YI(t)的樣本獲得,具體計算過程與自協(xié)方差函數(shù)類似。如果對于任意ti，tj∈T，CovXIYI(ti,tj)=0,則稱區(qū)間過程XI(t)和YI(t)不相關(guān)。

定義7設(shè)XI(t)和YI(t)為區(qū)間過程,對于任意時刻ti和tj,定義其互相關(guān)系數(shù)函數(shù)為

(19)

3.2 動態(tài)響應(yīng)邊界的計算

當(dāng)P(t)為不確定性載荷且運(yùn)用區(qū)間過程PI(t)進(jìn)行描述時,式(9)彈性梁的撓度響應(yīng)也可以表示成一區(qū)間過程:

(20)

由文獻(xiàn)[20，21]可知,為求彈性梁撓度響應(yīng)區(qū)間過程wI(x,t)的邊界函數(shù),需先求其中值函數(shù)wm(x,t)和半徑函數(shù)wr(x,t)。

對彈性梁撓度響應(yīng)wI(x,t)取中值運(yùn)算,可得到彈性梁任意位置在時域上的撓度中值函數(shù)為

wm(x,t)=M[wI(x,t)]

(21)

式中M[·]表示對區(qū)間變量取中值運(yùn)算。由于M[·]是線性算子[21],可以交換積分和求和的運(yùn)算順序，則彈性梁撓度響應(yīng)wI(x,t)的中值函數(shù)為

hi(t-τ)dτ

(22)

(23)

(i,j=1,2,…,n)(24)

式中CovPIPI(t1,t2)表示載荷PI(t)的自協(xié)方差函數(shù)。

基于式(7,24)可以得到模態(tài)坐標(biāo)的互協(xié)方差函數(shù)為

hj(t2-τ2)dτ1dτ2

(25)

證明見附錄A。

根據(jù)式(2,25)可以得到彈性梁撓度響應(yīng)wI(x,t)的自協(xié)方差函數(shù)為

(26)

證明見附錄B。

由式(14,26)可得，在梁上任意位置x處,任意時刻t的彈性梁撓度響應(yīng)wI(x,t)的方差為

DwI(x,t)=CovwIwI(x,x,t,t)=

(27)

將式(24～26)代入式(27),可得彈性梁在位置x處,t時刻的撓度響應(yīng)wI(x,t)的方差表達(dá)式為

CovPIPI(τ1,τ2)φi(l(τ2))hi(t-τ2)dτ1dτ2

(28)

由式(12),可得彈性梁的撓度響應(yīng)的半徑函數(shù)為

(29)

根據(jù)中值函數(shù)wm(x,t)和半徑函數(shù)wr(x,t),彈性梁撓度響應(yīng)wI(x,t)的上下邊界函數(shù)分別為

wU(x,t)=wm(x,t)+wr(x,t)

(30)

wL(x,t)=wm(x,t)-wr(x,t)

(31)

對于受到不確定性移動載荷激勵的彈性梁,可以根據(jù)式(30,31)得到任意位置處的不確定性動態(tài)響應(yīng)邊界。

4 在車橋耦合振動問題中的應(yīng)用

在諸多可以處理成移動載荷激勵下彈性梁的振動問題的實(shí)際工程中,車橋耦合振動是最典型的一類問題。汽車駛過橋面時會引起橋梁的振動,橋梁的振動又逆向影響車輛的振動,而橋面輪廓的不平順和車輛自身振動使得車橋間的相互影響變得更復(fù)雜,通常把這一類問題統(tǒng)稱為車橋耦合振動問題[28,29]。因?yàn)闃蛎孑喞蛙嚇蜃陨砀鲄?shù)[4]通常具有較強(qiáng)的不確定性,因而車橋接觸力也是不確定的?？紤]如圖4所示的單跨橋梁[5],其抗彎剛度EI=9.6×109N·m2,單位長度質(zhì)量μ=1.5×104kg,橋跨長度L=30 m,前三階阻尼比系數(shù)分別為ξ1=0.02，ξ2=0.02和ξ3=0.04。車橋接觸力用區(qū)間過程PI(t)描述,其中值函數(shù)Pm(t)=3.92×105N,半徑函數(shù)Pr(t)=3.92×104N,自相關(guān)系數(shù)函數(shù)為ρ(τ)。假定車輛是以恒定速度行駛,則有

l(t)=v×t

(32)

式中v為車輛的行駛速度。為便于后續(xù)參數(shù)分析,規(guī)定無量綱速度系數(shù)α和車輛相對橋梁的位置z(t)分別為

(33,34)

現(xiàn)假設(shè)因橋面輪廓形狀在空間分布上的相關(guān)性(圖4),導(dǎo)致車橋接觸力在時間上的自相關(guān)系數(shù)函數(shù)具有如下兩種形式，

ρ(τ)=e- λ z (τ)，ρ(τ)=r0(τ≠0)

(35，36)

式(35)中λ越大,ρ(τ)越小,相關(guān)性越弱；式(36)中r0越大,ρ(τ)越大,相關(guān)性越強(qiáng)。

因?yàn)樵跇蛄核形恢弥?，橋梁中點(diǎn)處撓度最受關(guān)注,所以本文對橋梁中點(diǎn)處的撓度響應(yīng)在不同載荷自相關(guān)系數(shù)函數(shù)ρ(τ)和車輛運(yùn)行速度v(t)下的結(jié)果分別進(jìn)行分析。

(1) 載荷相關(guān)性對橋梁振動響應(yīng)區(qū)間邊界的影響

首先，考察載荷自相關(guān)系數(shù)函數(shù)對橋梁中點(diǎn)處撓度響應(yīng)邊界的影響。考慮式(35)給出的自相關(guān)系數(shù)函數(shù),取λ=15和λ=300。取車輛行駛的速度系數(shù)α=0.2,運(yùn)用本文的方法計算得到橋梁中點(diǎn)處的撓度響應(yīng)邊界如圖5所示?？梢钥闯?首先,λ=15時，橋梁中點(diǎn)處撓度響應(yīng)的區(qū)間寬度始終大于λ=300時橋梁中點(diǎn)處撓度響應(yīng)的區(qū)間寬度，這表明對于式(35)的指數(shù)型自相關(guān)系數(shù)函數(shù),當(dāng)λ不同時,橋梁中點(diǎn)處的撓度響應(yīng)區(qū)間半徑也不同。其次,對于λ=15和λ=300兩種情況,當(dāng)車輛行駛到橋梁的相對位置z=0.35和z=0.68處時,橋梁中點(diǎn)處的撓度響應(yīng)均出現(xiàn)極大值。

圖4 車過橋示意圖

Fig.4 Diagrammatic sketch of a vehicle passing the bridge

(2) 車輛運(yùn)動速度對橋梁振動響應(yīng)區(qū)間邊界的影響

圖5 不同載荷相關(guān)性情況下橋梁中點(diǎn)處撓度響應(yīng)邊界

Fig.5 Response bounds of vibration deflection of the mid-span under different correlationof contact force

圖6 不同速度下橋梁中點(diǎn)處撓度響應(yīng)的邊界

Fig.6 Response bounds of vibration deflection of the mid-span in different cases of constant velocity

5 結(jié) 論

本文針對不確定性移動載荷激勵下彈性梁的振動問題,提出了一種求解彈性梁結(jié)構(gòu)不確定性振動響應(yīng)的非隨機(jī)振動分析方法,可獲得梁結(jié)構(gòu)在時間歷程上響應(yīng)上下邊界的表達(dá)式。在彈性梁的非隨機(jī)振動分析中,使用隨時間變化的區(qū)間變量來描述移動載荷的不確定性,較大程度地降低了對大量實(shí)驗(yàn)樣本的依賴；結(jié)合工程師的經(jīng)驗(yàn)確定時變不確定參數(shù)的波動范圍,更有助于工程應(yīng)用。此外,這種邊界形式的概念也更為直觀,在結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計中,易于工程人員理解和應(yīng)用。本文方法為實(shí)際工程中彈性梁結(jié)構(gòu)的不確定性振動問題提供了一種有效的分析方法。將所提出的彈性梁非隨機(jī)振動分析方法應(yīng)用至車橋耦合振動問題中,并分析了不同工況下橋梁撓度響應(yīng)邊界。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn),載荷相關(guān)性和車輛運(yùn)動速度對橋梁撓度響應(yīng)邊界具有較大的影響。在實(shí)際行車中,應(yīng)盡量避免以危險速度行駛。

附錄A:

(A1)

將式(A1)離散,可以寫為

(A2)

則式(A2)可以寫為

(A3)

(A4)

證畢。

附錄B:

證明由正文式(2)可知,彈性梁撓度響應(yīng)的區(qū)間過程可以表示為

(B1)

在任意t1和t2時刻,載荷分別運(yùn)動到對應(yīng)位置x1和x2處,撓度所對應(yīng)的區(qū)間過程分別為wI(x1,t1)和wI(x2,t2),那么t1和t2時刻對應(yīng)的位置x1和x2處的撓度區(qū)間可以表示為

(B2)

由文獻(xiàn)[21]可知,wI(x1,t1)和wI(x2,t2)之間的協(xié)方差為

CovwIwI(x1,x2,t1,t2)=Cov[wI(x1,t1),wI(x2,t2)]=

(B3)

由文獻(xiàn)[21]可知,式(B3)可以展開為

(B4)

(B5)

證畢。