基于主動(dòng)學(xué)習(xí)Kriging模型的結(jié)構(gòu)多失效模式可靠度計(jì)算

(沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，沈陽 110136)

1 引言

代理模型已成為結(jié)構(gòu)可靠性分析的有效方法之一。常用的代理模型包括多項(xiàng)式、支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Kriging模型等。其中，Kriging模型不僅提供未知點(diǎn)處的預(yù)測(cè)值，而且還能提供預(yù)測(cè)值的方差估計(jì)，已成為目前最具代表性的代理模型之一。國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)Kriging模型進(jìn)行了深入研究，如文獻(xiàn)[1-5]對(duì)Kriging模型進(jìn)行了改進(jìn)和完善。但以往研究大多集中在具有單一失效模式下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和可靠性分析，對(duì)于具有多失效模式的結(jié)構(gòu)，由于經(jīng)典Kriging模型是單輸出代理模型，需要用經(jīng)典Kriging模型對(duì)各失效模式對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)進(jìn)行逐一近似，所計(jì)算效率不高，且在建模過程中無法考慮各失效模式之間的相關(guān)性。

Kriging模型的構(gòu)建大體可以分為初始模型構(gòu)建和模型訓(xùn)練兩部分[6]，為減少用于訓(xùn)練Kriging模型的樣本點(diǎn)數(shù)量，學(xué)者們提出了多種主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)。如H函數(shù)[7]、EGO(Efficient Global Optimization)函數(shù)[8]、EFF(Expected Feasibility Function)函數(shù)[9]、U函數(shù)[10]和CCL(Cumulative Confidence Level)函數(shù)[11]等。在利用這些學(xué)習(xí)函數(shù)挑選訓(xùn)練樣本點(diǎn)過程中，往往依據(jù)隨機(jī)變量的分布形式生成足夠多的樣本點(diǎn)，然后從中隨機(jī)選取少量樣本點(diǎn)作為初始樣本點(diǎn)用于初始Kriging模型的構(gòu)建[12-16]。由于初始樣本點(diǎn)有較強(qiáng)的隨機(jī)性，導(dǎo)致初始Kriging模型的預(yù)測(cè)精度不穩(wěn)定。如果初始精度較低，則后續(xù)更新Kriging模型的次數(shù)較多，即后續(xù)訓(xùn)練樣本點(diǎn)較多，計(jì)算效率不高。

2 多輸出Kriging模型

(1)

式中?是克羅內(nèi)克積算子，vec(·)是向量化操作符，f(X)為回歸基函數(shù)矢量，B是回歸系數(shù)矩陣，Σ是協(xié)方差矩陣，r(X)為相關(guān)矢量，R為相關(guān)矩陣，F(xiàn)為回歸函數(shù)矩陣。

基于給定的樣本點(diǎn)，通過極大似然估計(jì)求得B和Σ的估計(jì)為

(2)

(3)

3 學(xué)習(xí)函數(shù)及其計(jì)算

3.1 EFF函數(shù)

EFF函數(shù)源自EGRA(Efficient Global Reliability Analysis)[8]，定義為

(4)

3.2 U函數(shù)

U函數(shù)能夠挑選出Kriging模型最大可能錯(cuò)誤預(yù)測(cè)響應(yīng)值符號(hào)的樣本點(diǎn)，定義為

(5)

3.3 H函數(shù)

H函數(shù)源于熵理論，能夠定量評(píng)估預(yù)測(cè)值的不確定性，定義為

(6)

3.4 學(xué)習(xí)函數(shù)的計(jì)算

(7)

(8)

(9)

4 本文方法

4.1 基本流程

本文方法分為初始模型構(gòu)建和模型訓(xùn)練兩部分，基本流程如下。

(1) 采用正交試驗(yàn)法布置初始樣本點(diǎn)，初始樣本布置方案見4.2節(jié)。

(2) 計(jì)算初始樣本點(diǎn)的真實(shí)響應(yīng)值。

(3) 利用初始樣本點(diǎn)及其真實(shí)響應(yīng)值構(gòu)建初始多輸出Kriging模型。

(4) 根據(jù)隨機(jī)變量的分布形式采用MCS生成訓(xùn)練樣本點(diǎn)。

(5) 利用已構(gòu)建的多輸出Kriging模型預(yù)測(cè)訓(xùn)練樣本點(diǎn)的響應(yīng)值及其方差。

(6) 計(jì)算各訓(xùn)練樣本點(diǎn)處的學(xué)習(xí)函數(shù)值，根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)值挑選最佳樣本點(diǎn)。

(7) 判斷最佳樣本點(diǎn)處的學(xué)習(xí)函數(shù)值是否滿足學(xué)習(xí)停止條件。如果滿足，則多輸出Kriging模型訓(xùn)練完成，執(zhí)行步驟(10)；否則執(zhí)行步驟(8)。

(8) 計(jì)算最佳樣本點(diǎn)處的真實(shí)響應(yīng)值，并將最佳樣本點(diǎn)加入到初始樣本點(diǎn)中以擴(kuò)充初始樣本點(diǎn)，同時(shí)在訓(xùn)練樣本點(diǎn)中將其刪去。

(9) 利用擴(kuò)充后的初始樣本點(diǎn)更新多輸出Kriging模型，并返回步驟(5)。

(10) 基于訓(xùn)練好的多輸出Kriging模型，采用MCS對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度計(jì)算。

4.2 樣本點(diǎn)

初始樣本點(diǎn)。為確保初始Kriging模型具有穩(wěn)定的預(yù)測(cè)精度，以減少后續(xù)更新多輸出Kriging模型所需的樣本點(diǎn)數(shù)量，本文采用正交試驗(yàn)法在隨機(jī)變量的5倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)布置4n+1個(gè)初始樣本點(diǎn)。

訓(xùn)練樣本點(diǎn)。依據(jù)隨機(jī)變量的分布形式，采用MCS生成106個(gè)訓(xùn)練樣本點(diǎn)。

4.3 學(xué)習(xí)停止條件

根據(jù)文獻(xiàn)[7-10]，學(xué)習(xí)停止條件列入表1。

5 算 例

給出三個(gè)數(shù)值算例，分別為并聯(lián)體系、串聯(lián)體系和串并聯(lián)體系。采用兩種方法布置初始樣本點(diǎn)。方法1，依據(jù)隨機(jī)變量的分布形式，采用MSC生成初始樣本點(diǎn)，初始樣本點(diǎn)具有隨機(jī)性； 方法2，依據(jù)本文方法布置初始樣本點(diǎn)，初始樣本點(diǎn)具有確定性。另外，對(duì)于代理模型本文也采用兩種模型。模型1，采用單輸出Kriging模型對(duì)每個(gè)功能函數(shù)進(jìn)行分別近似，需多次構(gòu)建代理模型；模型2，采用多輸出Kriging模型對(duì)所有功能函數(shù)進(jìn)行近似，只需一次構(gòu)建代理模型。

經(jīng)過組合，共給出四種算法，列入表2。由于訓(xùn)練樣本點(diǎn)是依據(jù)隨機(jī)變量的分布形式采用MCS生成的，計(jì)算結(jié)果給出的樣本點(diǎn)數(shù)量和失效概率等結(jié)果均為50次計(jì)算結(jié)果的平均值。

算例1源自文獻(xiàn)[12]，結(jié)構(gòu)的失效概率為

Pf=P[G1(X)<0∩G2(X)<0∩G3(X)<0]

(10)

(11)

式中x1和x2為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。

四種算法的數(shù)值結(jié)果列入表3。表中Ncall是構(gòu)建模型所需樣本點(diǎn)總數(shù)，N0是初始樣本點(diǎn)數(shù)量，Nt是訓(xùn)練樣本點(diǎn)數(shù)量，Nt列中39+47+38代表用單輸出Kriging模型近似G1(X)，G2(X)和G3(X)分別需要39，47和38個(gè)訓(xùn)練樣本點(diǎn)。Ncall，N0和Nt三者之間的關(guān)系為Ncall=N0+Nt。

表1 學(xué)習(xí)函數(shù)的學(xué)習(xí)停止條件

Tab.1 Stopping conditions of learning functions

學(xué)習(xí)函數(shù)停止條件EFFmax.(EFF(X))<0.001Umin.(U(X))>2Hmax.(H(X))<0.5

表2 四種算法

Tab.2 Four algorithms

算法代理模型初始樣本點(diǎn)算法1模型1方法1算法2模型1方法2算法3模型2方法1算法4(本文方法)模型2方法2

從表3可以看出，當(dāng)利用U函數(shù)對(duì)Kriging模型進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，四種算法所需樣本點(diǎn)總數(shù)相對(duì)其他學(xué)習(xí)函數(shù)均是最少的。當(dāng)利用EFF、U函數(shù)和H函數(shù)對(duì)Kriging模型進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)，相比算法1，本文方法使用的樣本點(diǎn)總數(shù)分別減少52.63%，47.82% 和54.16%；相比算法2，本文方法使用的樣本點(diǎn)總數(shù)分別減少53.67%，44.18%和45.90%。與算法1和算法2相比，本文方法使用的樣本點(diǎn)總數(shù)幾乎減少一半，即多輸出Kriging模型比單輸出 Kriging 模型所需樣本點(diǎn)數(shù)量大幅減少。

從表3還可以看出，相比MCS的計(jì)算結(jié)果，四種算法均具有較好計(jì)算精度。但在50次計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)，算法3采用EFF、U函數(shù)和H函數(shù)計(jì)算失效概率范圍分別為[0.1841,0.2023]，[0.1840,0.2055]和[0.1827,0.2058]，本文方法失效概率范圍分別為[0.1859,0.1994]，[0.1840，0.1980]和[0.1816，0.1968]。相比算法3，本文方法計(jì)算得到的失效概率結(jié)果波動(dòng)更小。由此可見，初始樣本點(diǎn)對(duì)多輸出Kriging模型精度有一定影響，本文算法構(gòu)建的多輸出Kriging模型更穩(wěn)定。

算例2已知結(jié)構(gòu)失效概率為[17]

Pf=P{G1(X)<0∪G2(X)<0∪

G3(X)<0∪G4(X)<0}

(12)

(13)

式中M,ω,F1,F2和L是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，其均值和變異系數(shù)分別為{100,2,60,30,16}T和{0.2,0.2,0.2,0.2,0.03}T。

表3 算例1的結(jié)果

Tab.3 Results of example 1

方法學(xué)習(xí)函數(shù)NcallN0NtPf算法1EFF133939+47+380.1925U92925+28+300.1922H144934+43+580.1926算法2EFF136941+51+440.1923U86929+42+250.1922H122935+51+360.1925算法 3EFF679580.1923U529430.1907H669570.1918本文方法EFF639540.1923U489390.1924H669570.1922MCS[12]-106--0.1924AK-SYS[12]U250+--0.2082

四種算法的計(jì)算結(jié)果列入表4。從表4可以看出，利用EFF、U函數(shù)和H函數(shù)訓(xùn)練Kriging模型時(shí)，本文方法所需樣本點(diǎn)總數(shù)相比算法1和算 法2 均有明顯減少。統(tǒng)計(jì)50次計(jì)算結(jié)果可以得到與算例1相同的結(jié)論，即本文算法的計(jì)算結(jié)果更穩(wěn)定，U函數(shù)所需樣本點(diǎn)總數(shù)最少。

算例3五桿脆性桁架結(jié)構(gòu)共有18個(gè)失效模式[17]，失效模式對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)列入表5。表5中R1,R2,R3,R4,R5,P1和P2為相互獨(dú)立的對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量，其均值和變異系數(shù)分別為{40,40,10,20,20,7,2}T和{0.15,0.15,0.15,0.15,0.15,0.3,0.3}T。該算例為串并聯(lián)體系，結(jié)構(gòu)失效概率為

Pf=P{A1(X)<0∪A2(X)<0∪A3(X)<0∪

A4(X)<0∪A5(X)<0}

(14)

式中

A1(X)=(G1(X)∩G2/1(X))∪(G1(X)∩G3/1(X))∪

(G1(X)∩G4/1(X))∪(G1(X)∩G5/1(X))

(15)

A2(X)=(G2(X)∩G1/2(X))∪(G2(X)∩G3/2(X))∪

(G2(X)∩G4/2(X))∪(G2(X)∩G5/2(X))

(16)

A3(X)=(G3(X)∩G1/3(X))∪(G3(X)∩G2/3(X))∪

(G3(X)∩G4/3(X))

(17)

A4(X)=(G4(X)∩G1/4(X))∪(G4(X)∩G2/4(X))∪

(G4(X)∩G3/4(X))∪(G4(X)∩G5/4(X))

(18)

A5(X)=(G5(X)∩G1/5(X))∪(G5(X)∩G2/5(X))∪

(G5(X)∩G4/5(X))

(19)

表4 算例2的結(jié)果

Tab.4 Results of example 2

方法學(xué)習(xí)函數(shù)NcallN0NtPf算法1EFF3992189+71+92+1260.0106U3362177+61+79+980.0108H3872186+70+93+1170.0107算法2EFF3862188+74+89+1140.0105U3162168+60+74+930.0109H3602182+66+85+1060.0106算法 3EFF123211020.0107U10521840.0103H12021990.0109本文方法EFF11621950.0107U8621650.0108H11821970.0105MCS-5×105--0.0108

四種算法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果列入表6。從表6可以看出，相比MCS的計(jì)算結(jié)果，四種算法均具有較好的計(jì)算精度。相比本文算法，算法1和算法2所需樣本點(diǎn)總數(shù)過多，出現(xiàn)了激增現(xiàn)象，主要是多次重復(fù)構(gòu)建Kriging模型去逐一近似各功能函數(shù)造成的。算法3所需樣本點(diǎn)總數(shù)略多于本文方法，主要原因是初始樣本點(diǎn)具有一定的隨機(jī)性，當(dāng)失效模式數(shù)量較多時(shí)，難以兼顧到所有功能函數(shù)的變化趨勢(shì)，導(dǎo)致初始代理模型精度略低，進(jìn)而后續(xù)訓(xùn)練模型的樣本點(diǎn)數(shù)量增加。該算例的結(jié)果表明，單輸出Kriging模型，即經(jīng)典Kriging模型在處理具有多失效模式可靠度計(jì)算問題時(shí)所需樣本點(diǎn)數(shù)量較多，不建議使用；而多輸出Kriging模型只需一次建模，且能夠考慮各失效模式之間的相關(guān)性，建議使用于處理具有多失效模式可靠性計(jì)算問題；初始樣本點(diǎn)對(duì)多輸出Kriging模型精度有一定影響，當(dāng)失效模式較多時(shí)，不建議采用隨機(jī)方式生成初始樣本點(diǎn)。

表5 算例3的失效模式及功能函數(shù)

Tab.5 Failure modes and performance functions of example 3

失效模式失效路徑 功能函數(shù)① 桿先失效G1(X)=R1-1.127P1+0.826P21①-②G2/1(X)=R2-4/3P12①-③G3/1(X)=R3-P1+3/4P23①-④G4/1(X)=R4-5/4P24①-⑤G5/1(X)=R5-5/3P1+5/4P2② 桿先失效G2(X)=R2-0.206P1-0.826P25②-①G1/2(X)=R1-4/3P16②-③G3/2(X)=R3-3/4P27②-④G4/2(X)=R4-5/3P1-5/4P28②-⑤G5/2(X)=R5-5/4P2③ 桿先失效G3(X)=R3-0.155P1+0.13P29③-①G1/3(X)=R1-4/3P1+P110③-②G2/3(X)=R2-P211③-④G4/3(X)=R4-5/3P1④ 桿先失效G4(X)=R4-1.409P1-0.217P212④-①G1/4(X)=R1-P213④-②G2/4(X)=R2-4/3P1-P214④-③G3/4(X)=R3-P115④-⑤G5/4(X)=R5-5/3P2⑤ 桿先失效G5(X)=R5-0.258P1+0.217P216⑤-①G1/5(X)=R1-4/3P1+P217⑤-②G2/5(X)=R2-P218⑤-④G4/5(X)=R4-5/3P1

表6 算例3的結(jié)果

Tab.6 Results of example 3

方法學(xué)習(xí)函數(shù)NcallN0NtPf算法1EFF38892938600.0134U22152921860.0137H37652937360.0142算法2EFF33672933380.0138U18472918180.0132H35302935010.0139算法 3EFF671296420.0134U408293790.0131H645296160.0137本文方法EFF419293900.0139U252292230.0137H442294130.0140MCS[17]-5×105--0.0139

6 結(jié) 論

(1) 對(duì)于具有多失效模式的結(jié)構(gòu)，本文采用多輸出Kriging模型作為代理模型。該代理模型只需對(duì)所有功能函數(shù)進(jìn)行一次建模，無需對(duì)每個(gè)功能函數(shù)建立各自的代理模型，而且本文方法在建模過程中能夠考慮各失效模式之間的相關(guān)性。因此，理論上本文方法相比經(jīng)典Kriging模型具有更好的計(jì)算效率和計(jì)算精度。

(2) 本文方法設(shè)定的初始樣本點(diǎn)不僅對(duì)隨機(jī)變量均值附近區(qū)域給予足夠重視，而且能夠兼顧設(shè)計(jì)空間的邊緣區(qū)域，能夠保證多輸出Kriging模型在全局空間內(nèi)具有較好初始精度，從而減少后續(xù)更新多輸出Kriging的次數(shù)，提高計(jì)算效率。

(3) 計(jì)算效率方面，相比算法1和2，本文方法所需樣本點(diǎn)總數(shù)大幅減少；相比算法3，本文方法所需樣本點(diǎn)數(shù)量略有減少。計(jì)算精度方面，四種算法均具有較好的精度，但算法3求得的失效概率相對(duì)本文方法略為不穩(wěn)定。另外，對(duì)比不同學(xué)習(xí)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，3種學(xué)習(xí)函數(shù)均具有較好的計(jì)算精度，其中U函數(shù)所需的樣本點(diǎn)總數(shù)最少。